Une série

flipflop

Bonjour
Quelqu'un a-t-il une idée pour trouver la somme de la série : $$
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(3n+1)(3n+2)}
$$ Wolfram me fournit $\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$.

aissalh

Décompose en éléments simples et utilise le telescopage

flipflop

Salut,

Je pense que ce n'est pas télescopique !

Guego

Soit $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{3n+2}}{(3n+1)(3n+2)}$ pour tout $x\in [-1; 1]$. Ce qu'on cherche est $f(1)$. Or, $f''(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{3n} = \dfrac{1}{1-x^3}$, et $f(0)=f'(0)=0$. En intégrant $2$ fois et en passant à la limite quand $x$ tend vers $1$, on doit s'en sortir.

gebrane

Bonjour,
Plusieurs façons ici http://math.stackexchange.com/questions/112161/showing-sum-n-0-infty-frac13n13n2-frac-pi3-sqrt3

flipflop

Merci Guego ! un peu bourrin tout de même !

Merci Gebrane0, la solution me plaît !