Matrices stochastiques en Term S

acetonik

Bonsoir à tous,

Je n'exerce plus en Term S depuis quelques années , et n'ai pas eu à enseigner le programme actuel en spécialité.
Concernant les chaines de Markov (le nom n'apparait pas dans le programme officiel), ,j'ai appris en Maitrise Proba à écrire les matrices de transition (stochastiques) avec la somme des lignes égale à 1 et donc les distributions de probabilités sur une ligne( c'est encore le cas dans le supérieur, je crois).

Ma petite fille en Term S m'a demandé de l'aide sur les processus markoviens, pas de souci pour moi. Elle, par contre, a des soucis, car selon les textes de son professeur, les matrices de transition et les calculs associés sont parfois transposés sans que le texte le dise clairement. .. ce qui engendre des difficultés ( par exemple la matrice de passage proposée ne donne pas une matrice diagonale parce qu'il aurait fallu transposer la matrice de transition trouvée dans une question précédente)

Ma question est simple et s'adresse aux collègues enseignant actuellement en spécialité TS :
Existe-t -il dans les documents d'accompagnement une consigne précisant que les matrices ont leur somme de lignes égale à 1 (et non leur somme de colonnes ), c'est à dire que l'état stable L, s'il existe, se trouve en résolvant L = L T ( et non L = T L ) .

Merci par avance pour vos réponses

christophe c

De mon téléphone : les doc d'accompagnement n'ont pas de valeur et sont généralement mal écrits entre autre parce que pas de comptes à rendre et peu motivés.

Le plus sûr pour obtenir LA BONNE REPONSE concernant ces conventions est de feuilleter LES SUJETS DE BAC. Ils font norme!

chris93

Alors,
- en TES, l'état stable $L$ est une matrice ligne telle que $L=LM$ où $M$ est la matrice de transition du système.
- en TS, l'état stable $C$ est une matrice colonne telle que $C=M'C$ où $M'$ est la transposée de la matrice de transition $M$. Et il me semble que c'est la "norme" en TS ...

acetonik

Merci pour ces premières réponses

@cc oui , regarder les sujets du BAC est a priori une bonne idée, mais il y a peu de sujets sur les chaines de Markov ( sans le dire bien sûr)
@ chris93 le changement de convention s'avérerait donc assez curieux.
C'était la convention inverse qu'il fallait choisir , pour que cela se passe bien dans le sujet de TS que j'ai vu.

J'ai regardé dans les annales récentes:
Exercice 4 spécialité :
Amerique du Nord 1er juin 2016 -> somme des lignes égales à 1
Amerique du Sud 24 nov 2015 -> somme des colonnes égales à 1
Cela ne pose pas de problème dans ces textes car les matrices sont données sans les nommer et on ne demande que de vérifier des calculs matriciels.

Il n'en va pas de même si l'on demande de trouver la matrice de transition ( laquelle ? écrite en lignes ou en colonnes de somme égale à 1 ?) et que l'on donne une matrice de passage qui diagonalise dans un cas et pas dans l'autre...

à suivre...

Edit:
Je suis de plus en plus perplexe: note 7 bas de la page 159 du pdf ici
et aussi vu le complément du programme là

chris93

Je n'ai pas beaucoup réfléchi au pourquoi du comment il y a une telle différence (les programmes étant parfois très obscurs dans leur construction...) mais j'ai peut-être un début d'explication.
En TES, on passe par les graphes et la matrice de transition s'obtient très simplement à partir de celui-ci. Et il est vrai qu'on se limite souvent dans les exercices de bac à un système à deux états pour rendre les calculs accessibles. En classe, on peut étudier un système à trois états mais on doit admettre certains résultats... ou cela devient très très laborieux !
En TS, on ne passe pas par les graphes puisqu'ils ne sont pas au programme de TS, on utilise la formule des probabilités totales pour obtenir les relations de récurrence qui se traduisent peut-être plus facilement pour un élève avec une écriture avec des matrices colonnes. Et, d'après ce que je vois autour de moi, c'est souvent cette écriture utilisée par l'enseignant mais il peut y avoir des collègues qui font autrement...

acetonik

Ok , merci!!

Effectivement le texte de TS que j'ai vu commence par le graphe, puis demande la matrice de transition.
Cela ne correspond donc pas au programme de TS et risque de poser problème...

Cdt

LP

Bonjour,

quelques remarques :
1) les graphes apparaissent explicitement dans les exemples de problèmes cités par le programme. A ce titre, il ne semble pas raisonnable de décréter que les graphes probabilistes ne sont pas au programme en TS. Ils apparaissent d'ailleurs dans certains sujets (par exemple, Liban mai 2016, Antilles-Guyane mai 2016 ou métropole septembre 2013.)
2) Le programme de spécialité est particulièrement mal écrit et peut laisser penser que seules les suites de matrices colonnes sont au programme, confusion renforcée par l'oubli, ensuite corrigé, de la référence aux matrices lignes. Ceci a probablement incité certains collègues et certains manuels à utiliser des matrices colonnes pour les marches aléatoires et il est vrai que certains sujets de bac suivent cette démarche.
3) Cependant, plusieurs sujets de bac sont venus confirmer qu'il était plus naturel d'utiliser une suite de matrices lignes (et donc une matrice de transition stochastique en ligne) dont ceux de métropole septembre 2013 et métropole juin 2015.

Au final, il me semble plus naturel et légitime d'utiliser des suites de matrices lignes et des graphes pour les marches aléatoires en TS et signaler aux élèves qu'on pourrait tout aussi bien utiliser la convention inverse, que cela peut éventuellement se produire dans un sujet de bac, mais que ce n'est pas celle de la communauté scientifique.

Maintenant, pour répondre à la question initiale, le mieux est que le sujet ne laisse pas d'ambiguïté en affirmant clairement si on travaille avec des matrices lignes ou des matrices colonnes, ce qui est en général le cas dans les sujets posés au bac.

Cordialement,
LP

acetonik

Bonsoir,

Merci pour cette réponse très claire.
Elle contredit ce que j'ai lu précédemment dans ce fil et ailleurs, mais semble tout à fait plausible puisque l'on trouve les deux types de matrices stochastiques dans les sujets de Bac (d'ailleurs feu Métivier, mon prof en proba utilisait déjà les lignes dans les processus markoviens il y a 50 ans)

Vu du coté des élèves, c'est quand même une source de difficultés; quant au programme de Spécialité, mal écrit , je suis d'accord: les mauvaises habitudes ont la vie dure ...normal, les programmes sont souvent rédigés, au final, par des personnes qui n'ont pas vus d'élèves du secondaire depuis longtemps...

Cordialement

christophe c

La collègue de spécialité vient de me dire (croisée dans la cour, je précise le contexte) qu'on écrit Matrice fois Colonne en spé TS

chris93

Je précise ce que j'ai dit mais je ne vais pas épiloguer.

Je maintiens que les graphes probabilistes ne sont pas réellement au programme de TS du fait qu'on ne parle pas de matrice de transition d'un tel graphe. Mais, oui, le terme peut apparaitre dans un exercice... au cours duquel on donnera la matrice de transition si dans la suite on utilise des matrices lignes OU la transposée de la matrice de transposition si on utilise des matrices colonnes. Ou alors on utilisera un arbre. Donc, en gros, on utilise le terme mais sans plus.
Quant aux exercices du bac (j'ai regardé 2016...), je n'en ai pas trouvé utilisant réellement les graphes probabilistes. L'exercice du Liban utilise juste l'expression, Antilles-Guyane 2016 ne parle pas de probabilités... La plupart du temps, quand on parle de probabilités, on utilise un arbre et la formule des probabilités.

Evidemment, il y a certainement des enseignants qui font les choses comme ils pensent qu'elle doivent être faites...
Personnellement, je n'imagine pas parler de graphe probabiliste sans parler de matrice de transition...

Et, pour finir, par rapport au bac, tout est donné dans l'énoncé donc quelle que soit la "convention" choisie, cela ne change pas grand chose.

Edit : je n'ai pas cherché longtemps un cours de spé maths mais j'ai trouvé ça... On parle bien de marches aléatoires mais sans passer par les graphes.

acetonik

Merci à tous pour votre éclairage.
J'espérais, à minima, une note interne de l'inspection précisant les choses.

Cordialement