valeurs de la dérivée d'une fonction

Est-il vrai que toute fonction dérivable $f:\R\to\R$ telle que pour presque tout $x\in \R$ on a $f'(x)\in \Z$, est nécessairement une fonction affine ?

Je n'ai pas réfléchi sérieusement à la question, je ne sais pas si elle est difficile.
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Réponses

  • Le théorème de Darboux implique alors que $f'$ est constante, et donc $f$ est affine.
  • @Skyfer
    Il faut quand même justifier que si $f$ n'est pas constante alors $f'(\R)$ ne peut pas être un intervalle.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Il n'y a rien à justifier d'autre si on admet le théorème de Darboux, qui se démontre simplement.

    $f'$ est forcément constante, car si $f'$ prenait deux valeurs différentes alors elle devrait aussi prendre toutes les valeurs entre, ce qui n'est pas possible car elle ne prend que des valeurs entières.
  • Pour presque tout $x$, $f'(x)$ est entier. Mais peut-être pas pour tout $x$.
  • Ok j'ai carrément mal lu l'énoncé en zappant complètement le "pour presque tout" B-)- Mais bon j'ai l'impression que l'argument se rattrape quand même.
  • Une piste par ici.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • J'essaye de rattraper le coup.

    Supposons que $f$ n'est pas affine, alors $f'$ prend deux valeurs différentes en deux points $a$ et $b$. Par Darboux, $f'([a,b])$ est un intervalle, non réduit à un seul réel, donc est de mesure strictement positive. Sauf que $f'([a,b])$ est négligeable par hypothèse (car $\mathbb{Z}$ est de mesure nulle). D'où la contradiction.
  • Je n'ai pas vraiment prouvé que $f'([a,b])$ était négligeable ... Je pensais au raisonnement suivant. On partitionne $[a,b]$ en deux ensemble $I$ et $J$, tel que sur $I$ la dérivée prend une valeur entière (et donc $J$ est le complémentaire). Alors $f'([a,b]) = f'(I) \cup f'(J)$, et $f'(I) \subset \mathbb{Z}$ est négligeable. Et $f'(J)$ est l'image d'un ensemble négligeable donc négligeable, mais en fait c'est faux de dire ça !

    Du coup je n'ai aucun argument convaincant.
  • @skyfer
    La nuit porte conseil:-D
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • De mon téléphone, suggestion: prendre un fermé négligeable, en dehors de faire une localement affine, puis ajuster pour que ce soit dérivable aux éléments du fermé. Ça donnera un contre-exemple à l'énoncé "forall" de JLT. S'il y a des obstructions, je ne vois pas trop quel théorème générale d'analyse les mettrait en exergue. Il faudrait alors chercher du côté "théorie descriptive des ensembles". J'ai l'impression qu'on peut même demander que sur le gros ouvert la dérivée soit toujours par exemple 6 ou 14 par exemple. Par contre je suis beaucoup moins sur qu'on puisse aller plus loin et demande der par exemple que pour presque tout x: f'(x) = 29 par exemple.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Peut-être peut-on considérer $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=0$ si $x>1$ ou $x<-1$, $g(x)=1-x$ si $x\in [0,1]$, $g(x)=x+1$ si $x \in[-1,0]$.
    Ensuite, si $h$ est une fonction continue bornée, on définit $T(h)(x)=\frac{1}{8}h(8(x-1))+\frac{1}{8}h(8(x+1))-\frac{1}{8}h(8x)$.
    Alors si $h$ est continue affine par morceaux et si $h'(x)\in \Z$ quand $h$ est dérivable, il en est de même de $T(h)$.
    De plus $\|T(h)\|_{\infty}\leq \frac{3}{8}\|h\|_{\infty}$
    Ensuite, on pose $$f=\sum_{n=0}^{\infty} T^{n}(g)$$.
    Donc $f$ est continue.
    Est-ce que $f$ est dérivable partout ?
    En tout cas, $f$ est dérivable presque partout, et $f'(x)\in\Z$ presque partout.
  • On a même $f'(x) \in \{-1,0,1\}$ presque partout. Mais $f$ ne doit pas être dérivable en $x=1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+\dots$
  • @CC : Supposons $f'(x)=0$ presque partout. En utilisant l'intégrale de Kurtzweil-Henstock on sait que $f'$ est KH intégrable et que $f(a)-f(b)=\int_a^b f'(t)dt$ (au sens KH). Maintenant comme $f'$ est nulle presque partout elle est aussi Lebesgue intégrable et de même intégrale que celle de KH donc $f(a)-f(b)=0$ et $f$ est bien constante. Donc effectivement si $f'(x)=9$ presque partout on a bien à faire à une fonction affine. Je pense que le recours à l'intégrale de KH n'est pas nécessaire ici (ou même ailleurs...) mais je n'ai pas trouvé d'équivalent du premier résultat pour l'intégrale de Lebesgue.

    Par contre pour la question de JLT... Je n'arrive même pas à avoir l'intuition de si c'est vrai ou non. Je dirais quand même que $f$ est affine parce que sinon ça serait probablement un contre exemple connu, mais c'est tout.

    J'avais pensé à prendre $f$ une primitive d'un ensemble $A$ vérifiant $0<\lambda(A\cap I)<\lambda(I)$ pour tout intervalle $I$, ça donne bien $f'(x)=0$ ou $1$ presque partout par le théorème de Lebesgue mais n'assure pas que la fonction soit dérivables partout...
  • En utilisant Baire (la conséquence historique du théorème de Baire en fait ^^) (ah ah .. toujours ^^), on peut montrer que $f$ est affine en restriction à des intervalles ouverts dont les centres sont denses....
    Vu que $f$ est dérivable, on est pas loin de dire que $f$ est affine....
    Indication : En fait, il faut utiliser la conséquence historique du théorème au complémentaire des points où $f$ est localement au voisinage d'un point une fonction affine. Bonne chance!
  • @BobbyJoe
    Est ce que tu peux nous dédier un fil pour les applications du lemme de Baire sous forme de questions à la Christophe.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • C'est ce que j'ai dit plus haut, Bobby; mais avec une autre intention que la tienne, à savoir de préciser à quoi ressemble un contre-exemple. Il n'y a rien de choquant à ce qu'il existe un ensemble dense de points ayant un voisinage sur lequel $f$ est affine.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • -Un contre exemple si $f$ est seulement supposée dérivable en Lebesgue $pp$?
    Les escaliers du diable.... supportés par n'importe quel Cantor de dimension de Hausdorff plus petit que $1$.
    -Si tu prescris seulement les valeurs de $f'$ sur un ensemble dense mais à valeurs bornées alors il existe des contre-exemples également, les fonctions de type Cauchy-Pompéiu dont une construction est proposée dans l'excellent livre de D. Choimet : "grands théorèmes du 20iéme siècle" et dont une preuve sophistiquée est donnée dans l'ams par Y. Katznelson mais je connais plus la ref.... dsl :(
  • J'ai regardé le livre de Choimet mais j'ai l'impression que ça ne répond pas vraiment à la question de JLT. Pour ceux que ça intéresse il s'agit de fonctions de Pompéiu, la formule de Cauchy Pompéiu c'est autre chose ;-)
  • C'est surtout qu'il me semble que exemples intéressants de fonctions de type Cauchy-Pompéiu sont dérivables en tout point ^^ donc, oui ça me parait être un contre-exemple à la propriété de l'énoncé...
    -ou tu es seulement dérivable pp mais la dérivée est nulle pp --->escalier du diable
    -ou tu es dérivable mais tu prescris la valeur de la dérivée sur un ensemble dense (mais non de mesure pleine visiblement) comme valant ce que tu veux (à condition d'être uniformément borné)---> fonction non affine!
  • Je ne suis pas d'accord, on cherche des fonctions dérivables partout et telles que leur dérivée soit entière presque partout. L'escalier de Cantor ne répond pas à ces critères et, a priori, les fonctions de Pompéiu non plus.
  • Le truc, c'est qu'il n'y a pas de contre-exemple à l'énoncé : les seules fonctions vérifiant la propriété de l'énoncé sont des fonctions affines à coefficients directeurs entiers relatifs....
    J'ai donné la réponse (et une preuve) dans un de mes précédents posts.
    Je pense que JLT cherchait un contre exemple lorsque les hypothèses de l'énoncé étaient violées mais de manière subtile ^^
  • Bob a écrit:
    J'ai donné la réponse (et une preuve) dans un de mes précédents posts.

    Peux-tu mettre un lien? (J'ai parcouru le fil sans la trouver).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • J'ai du mal à croire que Baire tout seul donne la solution quand on sait que mesure de Lebesgue et catégories de Baire ne s'entendent pas du tout sur ce qu'est un petit ensemble.
  • Merci gebrane:
    Bob a écrit:
    Vu que f est dérivable, on est pas loin de dire que f est affine....

    :-D Il n'y a aucune preuve au lien que tu donnes, juste une déclaration "moi j'ai trouvé, moi j'ai trouvé" (ça n'a rien de méchant, je blague), il n'est pas interdit d'écrire ça, ça met même une petite ambiance qui sent la fleur de vestiaire, mais je croyais que Bob ne faisait pas de l'humour quand il écrivait "j'en ai donné une preuve dans un post précédent"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Par contre en un point de continuité de $f'$, on peut trancher, c'est ça le truc!
  • Oui, je vois.... Le truc, ce que je n'ai effectivement pas rédigée la preuve du fait que j'ai avancé... J'ai juste donné (car c moins frustrant pour ceux qui veulent chercher qu'une sol toute faite!) les grandes lignes.
  • $f'$ est mesurable, soit $A_n = f'^{-1} (n)$, on a les $A_n$ mesurables disjoints et le complémentaire de leur réunion est de mesure nulle. L'un au moins des $A_n$ est de mesure non nulle, il est limite de boréliens $A_n = \cup_i O_i^n$ (de mesure non nulle) $f$ est alors approximé sur les boréliens $O_i^n$ par $nx+t_i$, à la limite, sur $A_n$, on a que $f(x)=nx+t_n (x)$ avec $t_n (x)$ constant presque partout (à valeurs discrètes).
  • @BobbyJoe est ce que tu pourrais écrire cette démonstration ? Ca ne m'amuse pas vraiment de chercher plus et je ne vois pas comment tu t'y prends.

    @Satan : comment obtiens-tu que $A_n$ est de mesure pleine ? comment obtiens tu que $t_n$ est constante presque partout ?
  • Je pense au lemme suivant : si $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et si $K$ est dense dans $I$ avec $f'$ nulle sur $K$, alors $f$ est une constante.
  • Malheureusement ce lemme n'est pas vrai, les fonctions de Pompéiu en sont un contre exemple.
  • On a sûrement le lemme suivant :
    si $f$ est dérivable presque partout sur $[0,1]$ et $f'$ est nulle presque partout, alors $f$ est une constante.
  • L'escalier de Cantor en est un contre exemple...
  • Je prends $f$ continue....Il y a aussi un contre-exemple? On peut écrire :
    $$f(x)-f(x_0)= \int_{x_0}^x f'(t) dt,$$ avec $f'$ mesurable.
  • L’escalier de Cantor est continu. As-tu au moins cherché ?
  • C'est donc un contre-exemple à la question de JLT?
  • Non, l'escalier de Cantor n'est pas dérivable partout.
  • Je pense avoir trouvé la réponse à la question de JLT et voici comment :
    soit $$
    \Delta = \{ (x,x) \in \R^2 \},
    $$ la diagonale et soient les ouverts $$
    O(\epsilon, \eta)= \big\{ (x,x') \in \R^2 ,\ x \neq x', \ |x-x'| < \eta ,\ | \exp \Big( 2i \pi \frac{f(x)-f(x')}{x-x'} \Big) -1 | < \epsilon \big\}
    $$ On a que $$
    \Delta \hookrightarrow \bar O(\epsilon, \eta)
    $$ inclusion de $\Delta$ dans la fermeture de $O(\epsilon, \eta),\ \forall (\epsilon, \eta)$. Et donc, $\Delta$ est fermé et on a $$
    \Delta \hookrightarrow \bigcap_{\epsilon,\eta} \bar O (\epsilon, \eta)
    $$ de sorte que $f'(x) \in \Z$ pour tout $x \in \R$.
  • Je n'arrive pas à savoir si ce que tu dis est vrai ou faux pour la simple raison que je ne sais même pas si tu réponds oui ou non à la question de JLT...

    Dans tous les cas je te signale que quand tu fais l'intersection des $\overline{O}_{n,\epsilon}$ selon $\eta>0$ tu retrouve exactement $\Delta$,peu importe la condition sur $\epsilon$, donc j'ai l'impression que ton message se résume à $\Delta=\Delta$.


    J'en profite pour relancer BobbyJoe : si tu as une démonstration je voudrai bien l'entendre, par MP même si tu ne veux pas spoiler les gens ici.

    Sinon JLT, d'où t'es venue cette question ? je suppose qu'elle à germé du fil de gébrane sur l'équation $f(f'-1)=0$ ?
  • Moi aussi je veux une solution détaillée.
    @mojojo
    Si satan a prouvé que de
    Satan a écrit:
    sorte que $f'(x) \in \Z$ pour tout $x \in \R$.
    alors la réponse est oui en utilisant le raisonnement initial de skyffer
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @mojojojo : l'idée de la question m'est effectivement venue de la question de gebrane0. Je me suis demandé si on pouvait trouver une condition suffisante sympathique sur des ensembles $A$ et $B$ tels que toute fonction dérivable vérifiant

    $$\forall x\in \R,\; f(x)\in A\mbox{ ou } f'(x)\in B$$
    est affine. L'exercice de gebrane0 correspond à $A=\{0\}$ et $B=\{1\}$. Puis mes pensées ont dévié...

    J'en profite pour dire que je ne suis pas capable non plus de répondre à ma question, même lorsque dans l'énoncé on remplace $\Z$ par $\{0,1\}$, donc si quelqu'un a une démonstration précise, je serais intéressé.
  • J'en profite pour relancer BobbyJoe : si tu as une démonstration je voudrai bien l'entendre, par MP même si tu ne veux pas spoiler les gens ici.

    Il existe une possibilité qu'on est un certain nombre à pratiquer parfois qui consiste à tout écrire en blanc sur blanc en utilisant le bouton de coloration. Ainsi les gens qui ne veulent pas lire la solution n'ont tout bêtement qu'à ne pas sélectionner le texte.

    Concernant l'énoncé, je n'y pas ai pas repensé depuis l'autre jour, mais j'avais posté "un pronostic" qu'un contre-exemple est possible en connectant des réunions de segments de pentes entières le long d'un fermé d'intérieur vide et de mesure nulle (il en existe plein).

    Cependant, je suis nettement plus réservé sur ce pronostic du fait qu'un tel contre-exemple devrait de toute façon avoir la propriété que la dérivée serait surjective de n'importe quel petit intervalle (bien centré), pourtant troué de partout (densément) sur un bon gros bout du genre $[n,n+1]$ (rappel: les dérivées vérifient le TVI). Et effectivement ça donnerait à cette dérivée une élasticité impressionnante.

    Je signale aussi (enfin ce n'est peut-être pas le cas pour tout le monde) que rechercher à faire apparaître une affirmation d'analyse comme une application de Baire est chronophage (des heures de recherches en tâtonnant, sauf si "ça coule de source"), car (enfin ce n'est qu'un indice) l'ANS ne trivialise pas Baire (et quand l'ANS ne trivialise pas un truc, c'est en général un truc "inédit" qui fait intervenir "puissamment" les relations entre $\N$ et $\R$ :-D )
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • A propos de l'élasticité de la dérivée, je ne vais bien sûr pas jusqu'à dire que la dérivée est continue (ce serait d'une fausseté violente), mais les discontinuités de la dérivée nécessite de "prendre de la place", puisqu'il faut avoir la place de positionner une tangente, puis une autre, puis une autre. Alors une quantitié non dénombrable (et même explicitement un continuum) casées sur des intervalles troués de partout et aussi petits qu'on veut, c'est effectivement quelque peu difficile de parier que ça existe.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • J'étais en train de lire l'article original de Zahorski sur la classification des fonctions qui sont des dérivées, puis l'article de D. Preiss qui précise certaines classes introduites par Zahorski. Enfin, il existe un livre qui recense toutes ces preuves, Absolute Measurable Spaces de Togo Nishiura.
    En fait, je m'étais avancé trop vite :

    -la preuve par Baire ne permet de conclure que lorsque le complémentaire des points où $f$ est affine au voisinage de ce point est de mesure non nulle. Sinon, je ne sais pas... (c'était mon erreur de raisonnement intial, mea culpa!)

    -Il existe des exemples "sympathiques" dans la classe des applications strictement croissantes au sens suivant :

    Soit varepsilon>0. Il existe une application strictement croissante sur $[0,1]$, dérivable en tout point de $[0,1]$ telle que l'ensemble des zéros de $f'$ soit de mesure plus grande ou égale à $1-\varepsilon.$
    Par contre, il est impossible que l'ensemble des zéros de $f'$ soit de mesure pleine!

    Il est très probable qu'il faille se document plus avant en théorie descriptive des ensembles avant de répondre à cette question!
    Voilà le lien de l'article de Zahorski :
    -http://www.ams.org/journals/tran/1950-069-00/S0002-9947-1950-0037338-9/S0002-9947-1950-0037338-9.pdf
  • Je viens d'y réfléchir (ça me fait digérer mon petit dej :-D ). Voici un plan de preuve : WLOG on peut supposer qu'on a une courbe dérivable où 99% des points ont une tangente de pente 1 une comaigre de points où la pente de la tangente est l'entier p et où les images des extrémités de l'intervalle intéressant sont egales.

    Je suppose (mon académisme étant peu cultivé je ne l'affirme pas) que la longueur de la courbe est finie. Je pense pouvoir prouver que les propriétés précédentes impliquent son infinitude. D'où 0=1.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Comme je disais mon académisme est lacunaire: wiki signale que la notion historique de longueur, quand elle est reliée à un calcul avec des dérivées utilise l'hypothèse $C^1$ :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Sauf erreur, je pense avoir prouvé l'énoncé de JLT. Il est con séquence routinière de l'énoncé suivant, que je vais appeler (NDD):

    NDD: soit $f$ dérivable sur $\R$ à valeurs dans $\R^+$ telle que $f'(0)=1$ et $f'(1) = -1$. Soit $e>0$. Alors il existe u,v tels que $0\leq u<v\leq 1$ tels que $\forall x\in [u,v]: |f'(x)| \leq e$.

    Je laisse en exercice à ceux que ça passionne de prouver NDD (et aussi NDD=>JLT, mais ça c'est facile). Ce n'est pas méchant, c'est juste que j'ai ciné dans quelques minutes, je vais voir Lion.

    On peut aussi essayer de chercher si je me suis trompé [small](je suis endormi, je fais tout de tête (et pas une tête très alerte :-D et j'écoutais les meeting de l'après-midi sur BFM. Ca fait beaucoup de risques. Mais j'ai quand-même réfléchi posément avant de poster)[/small]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • NDD m'a l'air faux.

    Soit $f$ une fonction dérivable qui ne soit monotone sur aucun intervalle (ça existe, voire par exemple le livre de Choimet donné par bobyjoe). Les seuls points où $f'$ est continue sont forcément des points où $f'(x)=0$ et donc on sait aussi que $f'$ s'annule sur un ensemble dense. Maintenant on prend $g : x \mapsto f(x)+x$, alors $|g'|>1/2$ sur un ensemble dense mais rien n’empêche d'avoir $g'(0)>0$ et $g'(1)<0$.
  • Je reverrai ça demain mais il est probable que tu aies raison. Par contre j'ai oublié f(0)=f(1)=0 dans les hypothèses mais ça ne doit pas changer grand chose.

    De mon téléphone.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • De mon téléphone : je confirme (sauf erreur) que l'énoncé JLT est un théorème. Par contre mon lemme NDD est foireux j'ai oublié plein d'hypothèses en le postant (que j'avais obtenues par une cascade de WLOGs et que j'ai semés en route).

    Mais j'ai une autre preuve purement bairique en tête et la probabilité que deux preuves très différentes contiennent de gros bugs est moins grande.

    Quand j'aurai du temps et un PC je poste raï ces détails.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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