Topologie "cohérente": valeur d'adhérence

Krokop

Bonjour,

Soit $(X_1,\mathcal{T}_1)\subset (X_2,\mathcal{T}_2)\subset\cdots\subset (X_n, \mathcal{T}_n)$ une suite croissante d'espaces topologiques où chaque $X_i$ est fermée dans $X_{i+1}$. On note $X:=\cup_i X_i$ qu'on munit de la topologie suivante $\mathcal{T}=\{U\subset X_{\infty}:U\cap X_i\in \mathcal{T}_i \quad\forall i\ge 1 \}.$

Soit $f$ une fonction strictement croissante de $\Bbb{N}$ dans $\Bbb{N}$ et quelque soit $n$ entier naturel une suite $(x_n)$ d'éléments de $X_{f(n)}$. On suppose de plus que si $f(n)>0$ alors $x_n\notin X_{f(n)-1}.$

Je suis sensé montrer que $(x_n)_n$ ne possède aucune valeur d'adhérence.

Je bloque sur cette question, j'ai essayé de raisonner par l'absurde; si $l$ est une valeur d'adhérence pour la suite alors quelque soit le voisinage de $l$ une infinité d'éléments appartiennent à ce voisinage. Ensuite je me suis dis qu'il fallait trouver le rang à partir duquel $x_n\in V$ où $V\in\mathcal{B}(l)$ est impossible.

Formellement, si $l$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)_n$ alors quelque soit $n_0$ il existe $n\ge n_0$ tel que $x_n\in V$.
Si je prends $n_0=f(n)$ cela se réécrit: $\exists n\ge f(n): x_n\in V$. Si $f(n)>0$ alors $x_n\notin X_{f(n)-1}$. Comme il doit exister un ouvert de $X$ noté $\omega$ tel que $x_n\in \omega$ il existe $i_0>f(n)-1$ tel que $x_n\in X_{i_0}$.

Je ne vois pas comment aboutir.

Poirot

C'est malin d'appeler $(x_n)_n$ une suite d'éléments d'un espace dépendant de $n$... Et c'est quoi $j$ ?

Krokop

Poirot: je me suis emmêler les pinceaux, désolé, mais l'énoncé de l'exercice est (je trouve ou alors je comprends rien) mal écrit. Ne pourrait-on pas reformuler comme suit:

Soit $(x_n)_{n\in \Bbb{N}}$ une suite d'éléments de $X$ telle que $x_n\in X_{n}\setminus X_{n-1}$ ?

EDIT: Je pense qu'il faut supposer $X$ séparé sinon c'est foutu.

Algèbre

Salut, un contre-exemple je pense : pose pour tous $k$ entier non nul $X_{k} = \{0\} \cup \{\frac{1}{i} \mid 0 < i \leq k\}$ muni de la topologie discrète.

Alors $X_{i}$ est fermé dans $X_{i+1}$, $X_{\infty} = \{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}^*} \cup \{0\}$ et ta topologie coïncide avec la topologie discrète sur cette espace et cela le rend même séparé.

Pourtant la suite $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers 0.

Poirot

@Algèbre. Pour la topologie discrète la suite $\Big(\dfrac{1}{n}\Big)_n$ ne converge pas vers $0$.

toutoune

J'ai l'impression qu'on peut raisonner "intuitivement" en définissant une bornologie, c'est-à-dire une notion de partie "bornée". On peut dire qu'une partie est bornée si elle est entière contenue dans un $X_i$, on montre que l'espace $X$ est localement borné, tout point possède un voisinage borné, et que ta suite "tend vers l'infini", c'est à dire qu'elle est séparée de toute partie bornée. La conjonction des deux montre qu'elle ne peut converger.

toutoune

J'ai l'impression qu'il manque une hypothèse pour dire que c'est "localement borné". on peut imaginer un contre exemple
dans le plan d'origine $O$, on prend pour $X_n$, un secteur du plan de sommet $O$ et compris entre les angles $[\frac{\pi}{2}(1-\frac{1}{n}),- \frac{\pi}{2}(1-\frac{1}{n})]$ avec la topologie induite du plan. Cela satisfait les hypothèses et on peut prendre une suite $x_n \in X_n \backslash X_{n-1}$ par exemple sur la parabole $x \mapsto \sqrt{x}$. qui tend vers $O$

GaBuZoMeu

Ton contre-exemple ne marche pas, toutoune : tu peux vérifier que l'intérieur de la parabole $x=2y^2$ union le singleton origine est un ouvert de $X_\infty$ pour la topologie décrite dans l'énoncé (l'intersection avec chaque $X_n$ est bien un ouvert de $X_n$). Et ce voisinage ouvert de l'origine dans $X_\infty$ ne contient aucun élément de ta suite.

Algèbre

OK GaBuZoMeu : je pose $X_{n} = [0, 1]^{n} \times ([0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} )^{\{n' > n+1\}}$ munis de la topologie produit et je prend la suite $(x_{n})$ dont le terme de rang k vaut $1$ si $k \leq n$ et
$1 - \frac{1}{n}$ sinon.

Soit un ouvert $U$ de la suite constante valant $(1)$ : $U \cap X_{1}$ est alors ouvert dans $X_{1}$ donc cotient $]1 - \eta_{1}, 1] \times ]1, 1 - \eta_{2}, 1] \times ... \times ]1 - \eta_{l}, 1] \times ]\eta_{1}, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \times ]\eta_{2}, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \times ... \times ]\eta_{l'}, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \times [0, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \cup ^{\{n' > l + l'\}}$ et cette ensemble contient les termes de la suite pour n assez grand.

Et $X_{n}$ est fermé dans $X_{n+1}$.

toutoune

Il me semble qu'il y a un problème puisque la suite $ \{i \mapsto 1\}$ n'est pas dans $\cup X_i$

Algèbre

Bon alors je ne sais pas. Si x est une valeur d'adhérence, elle est dans un $X_{N}$ mais comme $x_{n}$ n'est pas dans $X_{N}$ pour n assez grand mais peut être dans son adhérent, au sens de la topologie infinie.

christophe c

De mon téléphone en espérant avoir bien lu le premier post (c'est écrit petit) le complémentaire de la suite est un ouvert (Ainsi que celui de chaque suite <un, suivants) donc elle ne risque pas d'avoir de valeur d'adhérence (la CS de cette remarque est quand même que les parties finies des Xn soient fermées je ne peux pas remonter la fenêtre pour vérifier si c'est supposé au 1er post)

Algèbre

Salut, j'ai apporté une correction.

Là $(1)$ est bien la limite. Le fait que les ouverts doivent avoir pour tout $i$ une trace sur $X_{i}$ qui est ouverte évite que $(1)$ est un point isolé, c'est-à-dire que un produit avec des facteurs finis valant $(1)$ soit ouvert.

Là je pense (avec un mal de tête certes) que c'est bon.
Surtout n'hésitez pas.

christophe c

De même mon téléphone: Algèbre, il y a pas de contre exemple séparé le truc est vrai (et évident).

christophe c

Etant sur un pc, je précise en latex. Je ne souhaitais pas déprimer les gens en disant que l'exercice est évident. Il est évident une fois qu'on a décidé de se demander si l'image directe de la suite est fermée.

Question: faut-il être inspiré pour le dire?

Je ne sais pas, mais une suite sans valeur d'adhérence est une suite dont l'image directe est fermée donc l'inspiration n'est pas non plus énorme, puisque d'une certaine façon c'est la "première chose à regarder".

J'ai relu le premier post, assez brumeux. L'hypothèse que les $X_n$ sont fermés n'est pas à priori utile, sauf erreur. Le fait que la suite (je l'appelle $u$) a une image directe $A$ fermée vient de ce que pour chaque entier $n$, $X_n\cap A$ est fini par hypothèse. Mais dans le premier post la fermeture des ensembles fini dans chaque $X_n$ n'est pas supposée. Mais c'est un oubli à priori, puisque l'énoncé est faux sans hypothèse de séparation.

Pour les mêmes raisons pour chaque entier $n$, la suite partielle $w(n):=(x\in [n,+\infty[\cap \N\mapsto u_x)$ a une image directe fermée.

Si $a$ est une valeur d'adhérence de la suite alors $a$ ne peut être que l'un des $u_p$, du coup. Or il n'est pas dans $Im(w_k)$ quand $k$ est assez grand et donc il apprtient à l'ouvert $X\setminus Im(w_k)$, qui est un ouvert qui le contient et ne rencontre pas la suite $u$ au delç d'un certain rang.

Algèbre

Oui mais tu es d'accord que si tu prends un voisinage $U$ de 1 par hypothèse $U \cap X_{i}$ est ouvert dans $X_{i}$ c'est vrai aussi pour $i = 1$.

Donc $U \cap X_{1}$ contient un ouvert de la forme : $V = ]1 - \eta_{1}, 1] \times\, ]1 - \eta_{2}, 1] \times \cdots \times\, ]1 - \eta_{l}, 1] \times [0, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\}^{\{n' \}}$. Et à partir d'un certain rang $x_{n}$ est dans cet ouvert.

Et comme $V \subset X_{1} \cap U \subset U$. Tu as le résultat annoncé.

GaBuZoMeu

Pourquoi t'obstiner ? Ne comprends-tu pas l'argument pourtant lumineux de Christophe ?

Krokop

Bonjour.

(Désolé je n'ai pas eu beaucoup de temps cette semaine).

Christophe. Oui j'ai supposé l'espace séparé dans mon deuxième message. Par contre je n'ai pas bien compris pourquoi $X_n\cap A$ est fini (pourtant lumineux parait-il).

Algèbre

GaBuZoMeu a écrit:

Pourquoi t'obstiner ? Ne comprends-tu pas l'argument pourtant lumineux de Christophe ?

Parce que je veux savoir où est la faute dans mon contre-exemple ?

GaBuZoMeu

je n'ai pas bien compris pourquoi $X_n\cup A$ est fini

Normal, puisqu'il s'agit en fait de $X_n\cap A$

Parce que je veux savoir où est la faute dans mon contre-exemple ?

Je veux bien regarder si tu le réécris proprement et soigneusement, en entier.

Krokop

Bravo, je me suis trompé entre cup et cap!

Algèbre

OK GaBuZoMeu : je pose $X_{n} = [0, 1]^{n} \times ([0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} )^{\{n' > n+1\}}$ munis de la topologie produit et je prend la suite $(x_{n})$ dont le terme de rang k vaut $1$ si $k \leq n$ et
$1 - \frac{1}{n}$ sinon.

Soit un ouvert $U$ de la suite constante valant $(1)$ : $U \cap X_{1}$ est alors ouvert dans $X_{1}$ donc cotient $]1 - \eta_{1}, 1] \times ]1, 1 - \eta_{2}, 1] \times ... \times ]1 - \eta_{l}, 1] \times ]\eta_{1}, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \times ]\eta_{2}, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \times ... \times ]\eta_{l'}, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \times [0, 1 - \frac{1}{n}] \cup \{1\} \cup ^{\{n' > l + l'\}}$ et cette ensemble contient les termes de la suite pour n assez grand.

Et $X_{n}$ est fermé dans $X_{n+1}$.

GaBuZoMeu

$X_{n} = [0, 1]^{n} \times ([0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} )^{\{n' > n+1\}}$

Désolé, mais je trouve cette définition assez inconsistante, pour commencer.

la suite $(x_n)$ dont le terme de rang $k$ vaut $1$ si $k\leq n$ et $1 - \frac{1}{n}$ sinon.

et ça, ce n'est pas beaucoup plus clair pour moi.

Quand je te demandais de réécrire proprement et soigneusement, ce n'était pas pour que tu fasses un copier-coller. Tu n'as même pas corrigé les coquilles. Tu te fiches un peu du monde.

J'attends que ça devienne propre, je ne veux pas jouer aux devinettes.

Algèbre

Salut, $X_{n} = [0, 1]^{n} \times ([0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} )^{\{n' > n+1\}}$ écris le $X_{n} = [0, 1]^{n} \times [0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} \times [0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} \times ... $ muni de la topologie produit.


Après je suis navré mais ma suite de suite est défini ainsi : la suite de rang n a son terme général $x^{n}_{k}$ qui vaut $1$ si $k \leq n$ et $1 - \frac{1}{n}$ sinon.

Un ouvert $U$ contenant la suite constante valant 1 de $X_{\infty}$ est en particulier tel que $U \cap X_{1}$ est ouvert dans $X_{1}$ par définition.

Donc pour des $\eta_{j}$ assez petit, en notant $V = [\eta_{1}, 1] \times [\eta_{2}, 1] \times ... \times [\eta_{l}, 1] \times [ [0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} ] \cap [\eta_{l+1}, 1] \times [ [0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} ] \cap [\eta_{l+2}, 1] \times ... \times [ [0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} ] \cap [\eta_{l+l'}, 1] \times [0, 1 - \frac{1}{n+1}] \cup \{1\} \times ... $ alors $V \subset U \cap X_{1} \subset U$ et pour n assez grand, $x_{n} \in V \subset U$. Donc $(x_{n})$ converge vers $(1)$ dans $X_{\infty}$.

Là j'ai tous ré écris bien. Merci de lire car je ne vois pas où est l'erreur.

GaBuZoMeu

Là j'ai tous ré écris bien.

Hum...

L'énoncé spécifie que pour tous entiers $p<n$, $x_{n}\not\in X_p$. Or tu écris " $V \subset U \cap X_{1} \subset U$ et pour n assez grand, $x_{n} \in V \subset U$". J'en déduis normalement que $x_n \in X_{1}$ pour $n$ assez grand.

C'est peut-être une coquille.

Autre exemple de phrase incohérente

"la suite de rang n a son terme général $x^n_k$ qui vaut 1 si $k\leq n$ et $1-\frac1n$ sinon."

J'attends que tu produises un texte cohérent.

PS. Tu peux faire toi-même le travail de "trouver l'erreur". Christophe t'a fourni l'ouvert $U= \bigcup_n X_n \setminus \{x_n\mid n\in \N\}$ qui te permettra de voir ce qui cloche dans tes affirmations.

Algèbre

J'ai constaté mon erreur hier soir(idiote : les termes ne sont pas dans le ensemble.). mais ma réponse ne figure plus.

En tous cas Christophe c est dans le vrai. Pardon.

Sinon y a t il des cpntres exemples séparés?

Krokop

Algèbre: Si on prend $X_n=\{1,2,\ldots,n\}$ muni de la topologie grossière et $x_n=n$ me semble-t-il.

Algèbre

Salut et merci Krokop.

Comme quoi ne jamais chercher compliqué.