divisibilité du trinôme d'Euler

donnet

Le trinôme d'Euler P(X)=X^2+X+41 est célèbre pour donner 40 nombres premiers successifs .
Par contre ses diviseurs dans le cas P(X) non premiers à été très peu étudiés.

Quelques résultats démontrés ou nécessitant de l'être.
P(X) peut s'écrire sous forme d'un produit de deux diviseurs R1*R2
P(X) est toujours diviseur d'un autre P(X), la réciproque n'est pas vraie
Tous les diviseurs de P(x) sont premiers lorsque leur valeur numérique est inférieure à 41*41=1681
Les diviseurs de type trinôme du second degré sont tous de la forme
R =(G*X+k) * ( G*X+G+k) + G*G*Q
Il existe enfin une famille particulière de diviseurs dont les coefficients sont des nombres de FIBONACCI
R(i)=(F(i)*X+F(i-1)) * (F(i)*X+F(i+1)) + Fi*Fi*Q]
ou F(i) est le ième nombre de Fibonacci

À partir de cela il pourrait être intéressant de former un groupe pour aller plus avant

donnet

Bonjour,

je n'ai pas beaucoup de succès avec mon sujet.
je vais quand même expliquer ce que j'ai fait jusqu'ici (mon Pdf fait 35pages)

[size=large]Ière étape formalisation du but[/size]
chercher des trinômes diviseurs des valeurs de P(T_i)=T_i²+T_i+Q
en considérant que T_i est un trinôme du second degré de la variable entiere X de la forme
T_i(X) = a_i*X²+b_i*X+c_i
et les trinômes diviseurs sont de la forme
R_i(X) = n_i*X² +l_i*X+o_i

Cependant au lieu de travailler dans la base ( X² ,X¹,X⁰))
nous exprimerons nos trinômes dans la base ( P(X), X¹,X⁰ )
avec P(X)=X²+X+Q
les formules seront les mêmes mais avec des majuscules
Et en rendant muette la variable Xdans les fonctions l'utilisant ;ie T_i(X) devient T_i
ce qui allège l'écriture.
ainsi T_i=A_i*P+B_i*X+Q et
R_i=N_i*P+L_i*X+Oi
nous cherchons les trinômes R1 et R2 tels que :
[size=medium]R₁*R₂ = P(T₂)[/size]
avec [size=medium]P(T₂)=T₂+T+Q[/size]
on développe les deux expressions de P(T₂)
En procédant par simple identification on obtient les 6 équations fondamentales

termes en P² ....... .......... ; N₁*N₂=A₂²
termes en P*X ................. ; N₁*L₂+N₂*L₁=2*A₂*B₂
termes en P ....................; N₁*O₂+N₂*O₁=A₂*(2*C₂+1)+1
termes X² ................. ..... ; L₁*L₂= B₂² – 1
termes X ......................... ; L₁*O₂+L₂*O1=B₂*(2*C₂+1) -1
termes numérique..............; O₁*O₂= C₂² + C₂

les calculs sont assez longs et laborieux (5 pages A4 bien remplies mais de niveau petit mathsup )
on introduit G₁et G₂ tels que G₁₂=N₁ et G₂²=N²
G₁ et G₂ sont premiers entre eux k1 et k₂ étant la plus petite solution particulière des coefficients de Bezout de l'identité associée :

[size=medium]G₁*k₂-G₂*k₁=(-1)ⁱ i prenant les valeurs 1 ou 2[/size]
les expressions finales sont très simples
T₂=G₁*G₂*P + (k₂*G₁ + k₁*G₂ )*X + k₁*k₂ + (k₂*G₁ + k₁*G₂ -1)/2
R₁=G₁² *P + 2 * G₁ * k₁*X + k₁*(k₁+G₁)
R₂=G₂² *P + 2 * G₂ * k₂ *X + k₂*(k₂+G₂)

A noter que ces expresssions ne dépendent que des deux parametres G₁ et G₂
Elles se factorisent comme indiqué dans le mémo de départ

cordialement

dans un second temps je dirais comment on arrive aux coefficients de Fibonacci (avec encore Bezout et l'algorithme d'Euclide)

donnet

Bonjour à tous

j'ai terminé la rédaction de mon étude sur les diviseurs des formules des nombres chanceux d'Euler
(Un PDF de 35 pages )

Cela serait bien de me la critiquer (je ne suis absolument pas susceptible)
et aussi d'apporter des améliorations ou des compléments (je ne revendique absolument aucune
propriété sur ce que j'ai fait et que je dois à d'autres qui m'ont précédé et appris ce que je sais)

je pense en particulier à LEG pour les problèmes liés à la densité et à Fredrick sur les modulo x

Amicalement

Serge Donnet