probabilités fréquentistes

christophe c

De mon téléphone : déjà calme-toi et relis doucement. Parce que avoir mis que la partie R doit être dans la tribu produit dans mon "etc" (le fait qu'elle n'y soit pas a l'air de sacrement t'emouvoir au point que tu construis tout un post sur un rappel de ... Fubini) est de ta part un truc qui me parait HALLUCINANT. Si tu relis tranquillement ce que j'ai dit avant il parait évident que j'allais t'objecter cette partie R. Je te rappelle que j'avais commence avec l'ordre de .... IN. Tu voulais du sigma-additif je t'ai mis du sigma-additif.

Je ne comprends pas pourquoi tu m'attaques ainsi et m'accuses presque de ne pas connaitre les questions relatives à la Lebesgue-mesurabilité. Je n'aime pas trop faire ça mais je te rappelle que je suis issu de LA SPECIALITE qui traite ces questions. J'ai quelques notions bien installées en moi en ce qui concerne boréliens etc :-D

Mais JE NE COMPRENDS TOUJOURS PAS POURQUOI TU ES ENTRAIN DE T'ENFERMER DANS CES BANALITES TECHNIQUES pour prouver qu'à l'aide DE SEULS ARGUMENT MATHEMATIQUES on peut prévoir que le paradigme probabiliste marche " en vrai" quand on lance des dès ou joue au casino??? :-S

Et ça doit faire la CINQUIEME FOIS que je te demande si oui ou non c'est bien la dessus qu'on est en désaccord : tu dis que c'est prouvable, et moi je dis que non*** . C'est ça ???????

Tu n'as toujours pas répondu!!!!! Et pour cette question (la seule que je traite) la borelianite ou plus globalement la considération de tribus et de tribus produits dans lesquelles on serait astreint de mettre les jeux dont on parle NE JOUE ABSOLUMENT AUCUN ROLE!!!!!!

Donc de quoi discute-t-on??????????!!!!!!

*** et c'est toi qui a la charge de la preuve. Et de toute façon je ne pourrai jamais prouver que c'est improuvable d'après Godel, je dis juste que ça n'a encore jamais, ni de près, ni de loin été prouvé.

GG

@CC,
.... pour prouver qu'à l'aide DE SEULS ARGUMENT MATHEMATIQUES on peut prévoir que le paradigme probabiliste marche " en vrai" quand on lance des dès ou joue au casino???

N'est-ce pas l'argument (qui repose sur un simple dénombrement) que j'ai donné ?

christophe c

De mon téléphone : @GG bin non :-S tu fais 3 hypotheses dont 2 explicites et une tacite et en plus tu infères un truc matériel d'un énoncé qui parle de ta pensée.

samok

Bon, si je dis à mes élèves que la loi des grands nombres, théorème mathématique, comme le rappelle souvent sieur alea est un axiome de la réalité, c'est osé, mais est-ce faux ?

La MQ axiomatisée selon CC, jamais donnée par ailleurs serait des maths qui prouvent des choses dans le réel = l'illusion provoquée par un manque d'alcool, selon la définition de feu Coluche (tu nous manques).

S

GG

Mais CC, comment pourrais-tu faire la moindre prédiction sur la fréquence des piles que tu vas observer, sans faire l'hypothèse de l'équilibre de ta pièce (et l'indépendance, la non-interaction des lancers) ??

christophe c

@GG de mon téléphone et sans lunette. Tu as tout compris!!!!!! Sans faire ces hypothèses +D'AUTRES! on ne peut pas (ou du moins à ce jour on n'a jamais réussi).

Le plus incroyable mais tu peux vérifier CHACUN DE MES POSTS DANS TOUS LES FILS CONCERNÉS ce que je n'ai JAMIAIS RIEN DIT D'AUTRE QUE ÇA.

Mais comme je suis affectueux je ne m'en vais pas de la fête forumique. Mais je n'ai toujours pas compris pourquoi et surtout COMMENT foys espère réaliser cet exploit. Mais je respecte ses tentatives. (Et je n'ai toujours pas compris non plus les motivations d'afk qui, en tout cas pour des regards fragiles de visiteurs amateurs, semble se ranger à l'idée que foys va réussir ce miracle et même utilise un ton parfois ambigu qui peut carrément laisser penser que ce qu'essaie de réussir foys est e' fait réussi depuis longtemps par d'autres et que ses efforts ne seraient que pour convaincre le "résistant borné que cc serait)

GG

@CC, c'est bien la première fois en dix ans qu'on se serait compris sur quoi que ce soit ! :-) J'ai comme le pressentiment que ça ne va pas durer longtemps !!
Oui, d'autres hypothèses sont nécessaires, en particulier la première que j'ai mentionnée.
Son paramètre seuil est très délicat à fixer.
Quelqu'un lance une pièce devant moi et me dit qu'il ne triche pas.
Dix piles apparaissent. Je fronce un sourcil.
Dix autres piles suivent. Je me dis que c'est incroyable.
Puis encore cent autres piles. Et là je dis non, tu triches.
Pourquoi ?
Comment fixer le seuil ? 10 ^-20 ?, 10 ^-50, 10 ^-1000 ?

P.S. Il faut que tu prennes conscience que tu as des problèmes de communications qui proviennent du fait que tu ne t'exprimes pas en français. Tu parles une autre langue que je ne peux définir autrement qu'en disant que c'est du CC ! :-)

Foys

christophe c a écrit:

De mon téléphone : déjà calme-toi et relis doucement. Parce que avoir mis que la partie R doit être dans la tribu produit dans mon "etc" (le fait qu'elle n'y soit pas a l'air de sacrement t'emouvoir au point que tu construis tout un post sur un rappel de ... Fubini) est de ta part un truc qui me parait HALLUCINANT. Si tu relis tranquillement ce que j'ai dit avant il parait évident que j'allais t'objecter cette partie R. Je te rappelle que j'avais commence avec l'ordre de .... IN. Tu voulais du sigma-additif je t'ai mis du sigma-additif.

Je ne comprends pas pourquoi tu m'attaques ainsi et m'accuses presque de ne pas connaitre les questions relatives à la Lebesgue-mesurabilité. Je n'aime pas trop faire ça mais je te rappelle que je suis issu de LA SPECIALITE qui traite ces questions. J'ai quelques notions bien installées en moi en ce qui concerne boréliens etc grinning smiley

qui est R?
:-(

Shah d'Ock

À chaque fois j'essaye de comprendre la source du désaccord entre Foys et Christophe sur l'interprétation des probas, et à chaque fois ça part tellement dans tous les sens et il y a tellement à lire que je m'y perd. Donc, voici ce que je crois avoir compris:

Une variable aléatoire est par définition une application mesurable d'un espace probabilisé $\Omega$ vers un espace mesuré $M$. En l'occurence $M$ est l'ensemble des phénomène physiques que l'on peut effectivement... mesurer.
Mais qui est $\Omega$: c'est là-dessus que Foys et CC s'écharpent. CC dit (si je comprends bien) que si le monde est déterministe alors $\Omega$ a cardinal 1 ce qui est un cas dégénéré, et qu'avec la méca quantique on a un bon $\Omega$.

Est-ce que c'est bien ça ou est-ce que je suis à côté de la plaque?

Foys

Je rentre de l'apéro, je découvre que le fil s'est poursuivi.
Je vais faire un résumé que j'espère simple.

un ensemble $A$ est (dans ce post) dit "abusif" si:
1°) $A\subseteq [0,1]^2$
2°) $A$ est Lebesgue-mesurable (comprendre: il existe $U,U' \subseteq [0,1]^2$ boréliens tels que $U\subseteq A \subseteq U'$ et $\mu(U'\backslash U)=0$ où $\nu$ est la mesure de Lebesgue sur $\R^2$)
3°) $\forall x \in [0,1], \mu \left(\{y \in [0,1]\}\mid (x,y)\in A\right)=0$
4°) $\forall y \in [0,1], \mu \left(\{y \in [0,1]\}\mid (x,y)\notin A\right)=0$

[ZFC+"il existe au moins un ensemble abusif"] démontre que 1=0.
Les détails sont dans mon long post ci-dessus.

Moi j'aimerais savoir quel est ce fameux exemple d'ensemble "abusif", je suis intrigué.

christophe c

De mon téléphone : @foys je te laisse le temps de relire mes derniers posts qui récapitulent nos interrogations mutuelles. Je ne crois pas que tu les as lus puisque pour la deuxième fois tu rappelles le théorème de Fubini avec le sous entendu que quelqu'un l'aurait nié. J'aimerais bien que tu cités le moindre extrait où j'aurais exprimé même de manière indirecte pour toi qu'un ensemble abusif existerait :-S

Foys

GG a écrit:

Oui, d'autres hypothèses sont nécessaires, en particulier la première que j'ai mentionnée.
Son paramètre seuil est très délicat à fixer.
Quelqu'un lance une pièce devant moi et me dit qu'il ne triche pas.
Dix piles apparaissent. Je fronce un sourcil.
Dix autres piles suivent. Je me dis que c'est incroyable.
Puis encore cent autres piles. Et là je dis non, tu triches.
Pourquoi ?
Comment fixer le seuil ?

Lis ceci:
article sur le théorème de De Finetti.

Foys

christophe c a écrit:

J'aimerais bien que tu cités le moindre extrait où j'aurais exprimé même de manière indirecte pour toi qu'un ensemble abusif existerait

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1423134,1427908#msg-1427908

et aussi

christophe c a écrit:

A noter que HC n'est pas nécessaire pour prouver le même théorème où on remplace "dénombrable" par négligeable. Tu affirmerais donc que ZFC est contradictoire???? grinning smiley Là, vraiment j'ai hâte!!!

Les messages en question sont là: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1423134,1427900#msg-1427900
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1423134,1427704#msg-1427704

La formulation "respectant toutes les exigences (pourtant non nécessaires, sigma-additivité," est à vrai dire vague mais vu ton insistance cela semble suggérer que le "$R$" ci-dessus est mesurable (ce qu'il ne peut pas être sauf anomalie) et donc serait ce que j'ai appelé "ensemble abusif."

Bon qui est ce $R$ ?

GG

Merci Foys ! Je n'ai malheureusement pas le niveau pour comprendre l'article (et faire un lien avec mes interrogations).

Shah d'Ock

J'aurais bien aimé une réponse aussi...

Foys

GG je tente une version équivalente digeste: soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé, soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires de $\Omega$ dans $\{0,1\}$ telle que pour tout $n\in\N^*$ et tout $\sigma \in \mathfrak S_n$, les lois de $(X_{\sigma(1)},...,X_{\sigma(n)})$ et $(X_1,...,X_n)$ sont les mêmes (*).
Alors il existe un autre espace probabilisé $(\Omega',\mathcal A',P')$, des variables aléatoires indépendantes $(U_n)_{n \in \N}$ de $\Omega'$ dans $[0,1]$, telles que $U_i$ est uniforme pour $i \geq 1$ (peut-être pas $U_0$ par contre) et telles que si $Y_k$désigne $1_{U_k \leq U_0}$ alors les familles $(Y_n)_{n \geq 1}$ et $(X_n)_{n \geq 1}$ ont même loi. De plus $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Y_k$ converge vers $U_0$ p.s.

En gros sous la seule hypothèse d'échangeabilité des $X_i$ (l'hypothèse (*)), la suite se comporte comme si un paramètre était tiré avant d'utiliser la pièce puis qu'on était dans un schéma classique de VA de Bernoulli indépendantes identiquement distribuées avec ce paramètre.

(La loi de $U_0$ est un prior bayésien, on peut donc toujours supposer leur existence).

GG

Merci Foys, je vais essayer d'assimiler ça ...

christophe c

foys a écrit:

La formulation "respectant toutes les exigences (pourtant non nécessaires, sigma-additivité," est à vrai dire vague mais vu ton insistance [large]cela semble suggérer que le "R" ci-dessus est mesurable (1)[/large]

Merci d'avoir précisé, mais je t'ai DEJA répondu, je m'auto-cite <<le fait que tu aies mis dans "etc" le sous-entendu que R est mesurable est HALLUCINANT>>

Tu ne trouveras à aucun endroit le fait que j'ai dit qu'il devrait être mesurable (la notion de mesurabilité est complètement arbitraire et n'a rien à voir avec notre débat)

Par ailleurs, dès la première occurrence où tu as semblé effectivement "croire" que j'avais sou-entendu qu'il est mesurable, je t'ai dit que tu te trompais.

(1) concernant ton "aveu" :-D que tu as cru que je disais qu'il devrait être mesurable, j'aimerais bien comprendre pourquoi tu veux (sans parler du fait que tu m'as attribué de le vouloir) qu'il le soit. Ca n'a aucun sens. Le débat que je nous attribues est bien plus en amont que ça et bien plus basique que ça. Je reprends les détails:

1/ Tu cites un jeu où un des joueurs est "avantagé" si on plonge l'analyse de sa situation dans un paradigme où on fait semblant de croire que son adversaire pense à un coup fixe alors que lui il peut "le choisir aléatoirement" (ton tout premier jeu, où Bob est avantagé), et où tu écris que 1-epsilon des coups joués par Bob le font gagner. A ce moment tu ne précises que c'est important pour toi que Alice a peu de chances elle, si on considère que Bob est fixe et qu'elle ne connait pas son coup

2/ Je te réponds que si ton argument était convaincant, alors le jeu où chacun pense à un entier et où qui a choisi le plus grand gagne devrait fournir un argument convaincant.

3/ tu me réponds que c'est un mauvais argument** car "ce n'est pas sigma-additif" (ce sont tes mots)

4/ Je te réponds alors que le jeu où chacun joue un ordinal dénombrable et où qui a choisi le plus grand gagne respecte toutes tes contraintes (en l'occurrence la sigma-additivité). Pour te faire plaisir je mets IR et omega1 en bijection (mais ça n'a rien d'autre comme intérêt que de te plaire, je n'aurais pas dû apparemment), puisque pédagogiquement, c'est "parlant" d'avoir des suites de 0 et de 1 plutôt que des ordinaux

5/ Tu recules encore dans tes tolérances en exigeant maintenant de se placer dans IR avec Lebesgues et EN PLUS que l'exemple soit mesurable.

Toute cette évolution n'a aucun sens. Pour les raisons suivantes:

R1/ Si un argument dans notre débat était valable en ta faveur, il devrait l'être sans sigma-additivité évidemment

R2/ Si un argument dans notre débat était valable en ta faveur, il devrait encore plus évidemment l'être sans parler de tribus, etc.

Et je te rappelle aussi que selon moi, dès le début, tu as la charge de la preuve même si ça n'a pas été posé formellement. Je n'ai rien à prouver puisque mon positionnement (je ne demande qu'à me tromper) est qu'on n'a jamais pu prouver de manière purement mathématique que les casinos gagnent de l'argent ou que les dés équilibrés se comportent conformément, en moyenne, aux prédictions idéalisées des modèles classiques prétendant parler du "vrai hasard", autrement dit que l'enseignant de seconde qui introduit la vulgarisation de la loi des grands nombres ment quand il prétend "comprendre mathématiquement" ce qui n'est qu'un phénomène PARFAITEMENT PHYSIQUE

Je ne veux vraiment pas te vexer, mais je ne saurais le dire autrement, donc merci de prendre l'analogie suivante comme un effort de simplicité et non une pique. J'avais dit une fois sur le forum qu'en 21ans de carrière, jamais un élève n'avait eu l'idée de me moucher de la manière suivante (le premier(e) qui me fera ce coup gagnera un 20/20 à coef 10):

<<Elève: "$5^2\geq 0$ donc $\forall x: x^2\geq 0$" --- moi: "votre raisonnement consiste à dire que comme Leslie est blonde, toutes les filles de la classe sont blondes" --- Elève: "votre reproche consiste à me dire que comme mon raisonnement n'est pas valable si on le modifie avec les concepts Leslie ; blondeur, il n'est pas valable avec 5 et la positivité des carrés">>

J'ai franchement l'impression que tu es entrain de me faire le coup quelque chose de mignon.

J'attire ton attention (et celui d'afk, qui, voyant de la lumière est venu blaguer avec toi) sur le fait que moi ce n'est pas grave mais que si des lecteurs un peu néophytes vous lisent, sans comprendre les calculs techniques, ils vont croire que je suis obtus et ne comprends pas que tu es entrain de me prouver que les maths démontrent le postulat fréquentiste. Et ça aura comme conséquence que quand ils se déconnecteront du forum, ils garderont en mémoire l'idée que des experts ont rappelé et diffusé sur un forum sérieux que les maths justifient le postulat** fréquentiste. (Et ils oublieront qu'un quidam***** inconnu pseudoté "cc" a semblé rechigner face auxdites preuves)

Vous avez une forte responsabilité qui n'a rien à voir avec ma personne, mon pseudo. C'est pour ça que je t'ai répété 3 à 5 fois la demande qu'on reprécise exactement sur quoi on n'est pas d'accord et de confirmer que tu cherches bien à prouver ce que je déclare moi que tu cherches à prouver.

***** Encore une fois, je le redis les gens qui me connaissent d'une part savent pour partie d'entre eux aussi que j'ai raison, et en tout cas, pur tous, n'attendent pas après moi pour avoir une opinion sur ces questions: ils ne sont influencés ni par toi ni par moi (ni par afk). Ce sont ceux qui ne nous connaissent pas, n'ont pas toutes les clés, sont sensibles aux postures un peu "autoritaires" qui sont le plus bernables.

** voir son énoncé avant dans le fil, je le re-résume: on peut par des moyens strictement mathématiques prouver que "secouer un gobelet" est un générateur d'alea (ou pour paraphraser afk*** que le chaos déterministe est générateur d'alea qui suit les lois de ce que les modèles mathématiques appellent "théorie qui étudient les expériences aléatoires"

*** qui d'ailleurs a posté une intervention comique en me rappelant sur un ton docte très exactement ce que j'avais dit**** 100 fois comme s'il souhaitait ... m'en convaincre.

***** à un post plus haut afk rappelle que la coutume est de distinguer l'indéterminisme "vrai" (le vrai hasard) et l'aléatoire apparent (j'abrègerai ça avec le mot "chaos" même s'il est mal choisi, ci-dessous), provenant de l'ignorance "des conditions initiales" (on dit ça en général pour aller vite). Il me "rappelle" que le deuxième "suit aussi" les lois du hasard. Faisant ainsi "semblant" de ne pas avoir compris que tout le débat est là: peut-on prouver par la seule logique (ie les maths) que le "chaos" a un comportement de "vrai hasard" classique? Moi je dis qu'on ne l'a jamais fait même un peu et foys SEMBLE défendre sur plusieurs fils du forum que OUI ON PEUT!

@GG: je te trouve sévère et j'aurais préféré que tu me dises à quel point tu me trouves "étranger" en MP. Je pense qu'il y a plein de gens qui me comprennent très bien. Mais pourquoi voudrais-tu qu'ils perdent leur temps à poster pour dire "si si, msieurs dames, moi, je comprends"

christophe c

@foys: concernant le théorème (que j'ai affirmé dans l'autre fil!!!!) que tu viens de poster, c'est surtout dans l'autre fil qu'il aurait fallu le poster (celui qui est fermé par Bruno). Car c'est dans cet autre fil que tu as eu l'idée d'en parler, et en l'occurrence, c'est parce qu'il dit formellement qu'indicer les probas où indicer comme je le faisais les VA donne de toute façon un outil équivalent.

C'est tout de même dommage qu'il atterrisse dans le présent fil (où il n'a rien à voir avec la choucroute)

GG

@CC, excuse-moi si je t'ai heurté. Ce n'est qu'une impression personnelle, subjective. Il se peut après tout que tu sois très clair, et que ce soit moi qui ne te comprends pas.

samok

Bonjour,

le hasard simulé par les ordinateurs, disons la fonction ALEA() d'un tableur vérifie la loi des grands nombres est-il un théorème mathématique ?
Je me souviens qu'il y a une vingtaine d'années, alors que j'encadrais une stagiaire dans une vie antérieure actuarielle, les examinateurs avaient fait des reproches à l'emploi d'excel qui ne simulait pas bien le hasard.

Sieur Foys, si mes questions indiscrètes vous donne le sentiment que je pollue la discussion que vous avez initiée, dites-le moi en haut et clair, j'arrêterai aussitôt. Si d'autres personnes ont ce sentiment, vous pouvez également me le dire mais je ne garantis pas que j'arrêterai.

S

samok

Bon en fait,

je vais arrêter de participer à ce fil.
Je crois que si un prof de maths enseignait la mécanique Newtonienne, ce qui a un sens car elle est axiomatisée, du moins j'en connais une axiomatisation, Christophe objecterait que ce serait un mensonge de la même manière.

J'aimerais bien être 10 ans dans le futur, pour voir ce que tu écriras sieur cc.

S

Shah d'Ock

J'aimerais bien qu'on me réponde, mais comme dit Samok:

Sieur Foys, si mes questions indiscrètes vous donne le sentiment que je pollue la discussion que vous avez initiée, dites-le moi en haut et clair, j'arrêterai aussitôt. Si d'autres personnes ont ce sentiment, vous pouvez également me le dire mais je ne garantis pas que j'arrêterai.

(en fait je vois mal l'intérêt de ce débat, où on sait par expèrience quà la fin chacun restera sur ses positions, si les questions indiscrètes des lecteurs innocents ne sont pas répondues, mais passons)

cc a écrit:

peut-on prouver par la seule logique (ie les maths) que le "chaos" a un comportement de "vrai hasard" classique?

Il me semble, mais je ne connais rien à ce domaine, que les travaux récents sur les systèmes dynamiques tendent à montrer que c'est le cas.

Un autre point, à propos de ce que t'as dit GG: ce n'est pas comme s'il était le premier à te l'avoir fait remarquer. Rien que dans le passage que j'ai copié, tu écris "la seule logique (ie les maths)", ce qui est éminemment personnel comme interprétation du langage.

Foys

@impatients
Je ne suis pas devant mon ordi 24h/24!! (christophe c non plus)

@samok
Une suite générée par un logiciel n'est en fait jamais aléatoire (au sens épuré où on l'entend en maths).
Si $E$ est un ensemble fini et $F$ l'ensemble de toutes les fonctions récursives totales de $\N$ dans $E$ (une suite générée par un programme informatique), alors l'ensemble des $x \in E^{\N}$ tels que pour tout $f \in F$, $x\neq f$ est de mesure 1 pour la mesure produit (i.e la mesure de proba usuelle).

Ce qu'on exige des générateurs dits aléatoires c'est qu'ils passent certains tests statistiques, et ils sont considérés plus ou moins bons en fonction de leurs performances.

afk

@CC tu as affirmé toi que la MQ prouvait l'approche fréquentiste pour un lancer de dés. Tu as aussi affirmé que supposer l'invariance par translation dans le temps, c'est deja faire de la MQ. Tu as promis des preuves il y a 3 jours et j’attends toujours. Le théorème de Gleason que tu as mentionné ne dit rien sur les fréquences. J'ai donc cherché moi même et trouvé "the measurement of relative frequency" de Neil Graham dans The many worlds interpretation of quantum mechanics. Mais ça ne semble pas du tout s'appliquer à un lancer de dés.

PS: Merci AD pour les corrections

remarque

Shah d'Ock écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1423134,1428322#msg-1428322

---

cc a écrit:

peut-on prouver par la seule logique (ie les maths) que le "chaos" a un comportement de "vrai hasard" classique?

> Il me semble, mais je ne connais rien à ce domaine, que les travaux récents sur les systèmes dynamiques tendent à montrer que c'est le cas.

Tu fais sans doute allusion à la théorie ergodique ? Ce n'est pas spécialement récent et ça montre un certain nombre de choses relatives en particulier aux fréquences, sous des hypothèses précises.

Shah d'Ock

Ce n'est pas pour rien que j'ai précisé que je n'y connais rien.

christophe c

Bon, je vais essayer de répondre à ceux qui réclament des réponses et qui ne les ont pas eues.

@Shah: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1423134,1428170#msg-1428170 <--- c'est bien ça ta question?

Si oui, non, pas du tout, enfin presque pas. (Pour les désaccord que j'ai avec foys, mais de toute façon, je ne sais pas ce que lui a en tête, car je lui ai demandé plusieurs fois de repréciser et il ne le fait pas). Par contre, ce que je vais te dire, je l'ai déjà dit plusieurs fois dans le fil (je n'ai même dit que ça) et je ne vais faire que me répéter.

Il existe un mot, enfin une expression, qui est "approche fréquentiste", qui est utilisé dans l'enseignement secondaire, par des non-matheux. Il y a quelques années, je signalais (pour informer les matheux de cet exemple où des NM interviennent administrativement) que lesdits non-matheux avaient un pouvoir administratif qui leur conférait le "droit" de "faire peur" aux stagiaires qui avaient le malheur de traiter le chapitre de probabilités avant celui des statistiques. Ils ordonnent de faire comme suit devant des enfants: <<on lance 6000 fois un dé, on remarque qu'il tombe environ 1/6, c'est à dire proche de 1000 des fois sur 5 et on leur dit "on avait le devoir de le deviner à l'avance car il y a des théorèmes DE MATHS qui prouvent qu'il ne peut pas en aller autrement. Ca n'a rien à voir avec la Nature>> (un peu comme on dirait que geogebra n'est pas programmé pour "faire exprès" de faire se croiser les diagonales des parallélogrammes en leur milieu)

En dénonçant cette grosse faute scientifique, je ne pensais pas susciter d'autres réactions que "politiques" (au sens bas du terme, ie des propos de ceux qui sont bien contents qu'on ne fasse plus de maths au lycée, etc). Et de fait, je n'ai pas dû en provoquer beaucoup.

Mais, dans l'environnement de ce contexte, Foys, qui pour tout ce qui concerne le secondaire est exactement du même avis que moi, avait souhaité produire des résultats mathématiques "allant dans le sens" de 'l'approche fréquentiste (il ne discutait la pertinence de dire ceci plutôt que cela aux enfants, mais la véracité de dire que la Nature n'y est pour rien quand le dé semble obéir aux lois du hasard, autrement dit, il contestait, si je ne me trompe pas, la totale vérité de mon propos. Il défendait je crois quelque chose du genre "ce n'est pas tout à fait faux de dire que les maths prouvent ce qu'on observe")

Voilà en gros, la démarrage. Par la suite, il est arrivé de nombreuses fois que Foys poste des théorèmes de maths ou ouvre des fils dans le cadre de cette ambition.

Ces derniers jours, suite à une phrase que j'ai dite dans un autre fil, il a réouvert un fil pour développer à nouveau ce point. La phrase devait être un truc du genre "rappelle-toi quand tu essayais de prouver que blabla et que chaque fois, j'objectais que tu mettais dans tes hypothèses ce que tu veux prouver blabla"

Par un mystérieux mécanisme sociologique, que je ne contrôle pas plus que toi, le présent fil s'est vu enrichir de moult interventions qui n'ont rien à voir avec cette question. Entre afk qui "prolonge" d'autres préoccupations, ou exige de moi que je poste des preuves sur autre chose, et d'autres intervenants qui posent leurs propres questions. C'est pourquoi depuis une dizaine de posts, je me borne à demander à Foys de bien vouloir redéfinir exactement ce sur quoi on se dispute. Parce que toutes les fois où je lui ai attribué une ambition précise (toujours la même), il n'a pas dit oui et il n'a pas dit non non plus. Un peu comme s'il n'avait pas lu.

Concernant le chaos (mais j'avais juste choisi ce mot par flemme pour abréger autre chose qui est "l'ignorance des conditions initiales", donc attention, ce n'est pas le mot "chaos" habituel), je réponds à ton dernier post, non, les théories concernant la percolation (je suppose que tu penses peut-être à ces trucs) ou l'ergodicité n'ont rien à voir avec notre désaccord et n'ont rien à voir non plus avec "une preuve que le hasard apparent est indiscernable du hasard véritable". Il s'agit de formes diverses pour exprimer des théorèmes de la forme "chaos=non mesurable", qui de toute façon est une sorte d'évidence ou au pire de définition (quand on passe du chaos fini au chaos infini, en quelque sorte par définition, une partie de IR chaotique est un ensemble au moins pas (non-?) mesurable (il peut avoir d'autres qualités). Si on en reste au fini, ça donne des trucs du genre "tout ensemble "gentiment-chaotique" est négligeable ou conégligeable (?) " (par exemple tout filtre sur IN est négligeable). Bref... rien à voir avec notre débat. D'ailleurs les premières lignes d'un traité sur ces spécialités commencent par "soit une tribu T, une mesure P, etc." :-D Autrement dit, on suppose d'emblée (occurrence négative) ce que dans notre débat il est question de prouver (occurrence positive)

En espérant t'avoir aidé.

Shah d'Ock

Oui c'était bien ça ma question.

Donc votre débat c'est plutôt: "quand je tire physiquement un dé physique est-ce une variable aléatoire et si oui pourquoi?" Ou je n'ai toujours pas compris?

christophe c

afk a écrit:

@CC tu as affirmé toi que la MQ prouvait l'approche fréquentiste pour un lancer de dés.

[...]

Le théorème de Gleason que tu as mentionné de dis [ne dit ?] rien sur les fréquences. J'ai donc cherché moi même et trouvé "the measurement of relative frequency" de Neil Graham dans The many worlds interpretation of quantum mechanics. Mais ça ne semble pas du tout s'appliquer à un lancer de dés.

Oui, je redis une fois de plus que je l'ai bien promis!!! Ne t'inquiète pas.

Je te trouve "fine bouche" là, concernant le théorème de Gleason. Je ne vais pas écrire non plus un traité de statistique le jour où je tiendrai ma promesse, juste je te prouverai que la TQ IMPLIQUE le paradigme probabiliste ENTIEREMENT. Mais une fois qu'on dispose du paradigme, on dispose de ses conséquences et ça je ne sais pas prouver tous les théorèmes de la spécialité proba. Je ne te parlerai donc pas de fréquence même le jour où je tiendrai ma promesse

Bon, mais j'insiste, même en attendant que je la tienne et fasse l'effort d'une rédaction formelle exhaustive assez longue, je redis que la preuve est en fait un "bien commun" bien connu et sans surprise. Pour te satisfaire, j'ai voulu te fournir un article qui PROUVE même que "prendre les carré des modules" est une obligation, mais, vue ta réaction "d'enfant gâté" :-D (ce n'est pas méchant) qui ne trouve pas "délicieux" le plat Gleason, je me dis que j'aurais pu être beaucoup plus trivial en signalant que la MQ SUPPOSE D'EMBLEE le paradigme probabiliste (donc qu'il n'y a rien à prouver).

Bon la réalité est que c'est un peu plus fin que ça, et JUSTEMENT GLEASON permet d'être "raisonnable" philosophiquement en ne supposant pas d'emblée ce paradigme, mais en le déduisant d'une postulat un peu plus "sérieux".

Mais j'insiste sur le point que mon "suppose d'emblée" n'aurait pas été un mensonge. Je me suis juste retenu de te frustrer en l'écrivant. Si, moi-même je préfère passer par Gleason que d'admettre purement et simplement le postulat redondant c'est parce que ces preuves se ressemblent toutes et ont toute une très grande qualité: elles sont EXPLICATIVES. Mais rien ne m'y obligerait. J'invite d'ailleurs les patients à faire une recherche dans les posts passés. Je suis presque sûr que je n'ai pas annoncé "la MQ prouve le fréquentisme" mais plutôt "la MQ explique le fréquentisme" (une explication n'a rien à voir avec une preuve).

christophe c

@remarque: pardon, comme je fais défiler dans l'ordre chronologique, je n'avais pas vu que tu avais déjà répondu à Shah.

Foys

christophe c, le fait de se placer dans une partie de $\R$ munie de la tribu des boréliens n'est en rien une restriction, et même on peut supposer qu'on est exclusivement dans les probas finies.
On parle d'un lancer de dé quand même...
Ou as tu vu des casinos où les joueurs choisissent des cardinaux non dénombrables au cours du jeu...

Comme la question de base était "peut-on expliquer pourquoi les casinos s'enrichissent" on peut supposer que toutes les situations envisagées le sont (allez m'exhiber un seul jeu de casino concret vraiment infini.)

La théorie ergodique rentre parfaitement dans ce cadre puisque le théorème de Birkhoff (que j'ai cité dans les tous premiers messages du fil) en fait partie.

christophe c

Shah a écrit:

Donc votre débat c'est plutôt: "quand je tire physiquement un dé physique est-ce une variable aléatoire et si oui pourquoi?" Ou je n'ai toujours pas compris?

Oui, essentiellement. Bon avec quelques petites précautions car tout peut être vu comme une VA,mais tu as compris l'essentiel.

Je précise comment on peut le dire autrement: << quand je secoue un gobelet, puis lance le dé, est-ce que je fais une expérience aléatoire?>>

Je dis qu'on ne peut pas prouver** que oui. foys (selon moi) ambitionne de prouver que oui

Bon, je précise aussi des théorèmes. Je ne l'ai pas dit pour maintenir la motivation de personnes qui cherchent des preuves que oui, mais je crois que je peux le dire. Je mentionne 2 théorèmes qui disent essentiellement que "j'ai raison définitivement".

Théorème-principe1: si on peut prouver que le vrai hasard est indiscernable statistiquement du hasard-ignorance-CI alors la preuve "passe à l'infini et l'axiome du choix"

Preuve: évident.

Théorème2: on peut discerner reproductiblement le vrai hasard du hasard-ignorance-CI (c'est le chapitre 9 de ma thèse par exemple***)

Par conséquent, si foys parvenait à prouver que HICI est indiscernable de VH, ZF serait contradictoire. Lorsque je lui réponds, j'ai en tête ce phénomène amusant et du coup ce n'est pas "par inspirations philosophiques qui me viennent comme ça" que je trouve où ses arguments admettent un axiome audacieux. C'est juste parce que je sais à quel moment, il aura ajouter aux preuves des théorèmes de quoi conclure 0=1

*** je l'avais déjà signalé sur le forum il y a 10ans dans un fil avec toutes les preuves.

** attention, je ne dis pas que ce n'est pas vrai, juste qu'on ne peut pas le prouver.

christophe c

@foys: j'ai bien lu ton dernier post, mais j'ai l'impression que tu refuses de répondre à la question suivante: peux-tu redire au juste où est notre désaccord?? (Quant à moi, je l'ai redit 5 fois ces derniers posts).

Parce que pour l'instant, j'ai l'impression qu'on est en train chacun de poster nos petits messages qui n'ont aucun rapport les uns avec les autres. Je ne vois vraiment pas ce que vient faire le borélisme ici, et encore moins la distinction fini/infini. Il est bien évident que si tu donnes une preuve que le prof de seconde ne ment pas quand il dit le blabla que tu sais, ta preuve ne pourra pas répondre à ses détracteurs "ah oui, mais là vous avez pris un ensemble infini" ou encore "ah oui mais là, vous avez prix un ensemble non mesurable", etc. La notion d'espace mesuré n'a aucune existance au point où notre désaccord se trouve.

J'en suis (mais je te respecte trop pour le faire) presque à me demander si tu n'es pas en train de me dire que notre X est .... vrai . Ce que je n'ai jamais contesté (je crois même qu'il est vrai et je l'ai toujours cru), je m'épuise à dire qu'il n'est pas prouvable, ce qui n'est strictement rien à voir.

Shah d'Ock

D'accord, mais sans être indiscernable du vrai le "hasard-ignorance" pourrait tout de même vérifier pas mal de propriétés en commun, non? En particulier, suffisamment pour expliquer les observation fréquentistes*?

Une expèrience visant à discerner le vrai hasard du hasard-ignorance a-elle, par ailleurs, été effectivement réalisée?

*j'irai même jusqu'à dire que la méca quantique intervient de façon tellement epsilonesque dans les casinos, que si notre monde était régi par la mécanique de Newton, la différence observationnelle serait si insignifiante que les casinos s'enrichiraient tout de même.

Foys

christophe c a écrit:

peux-tu redire au juste où est notre désaccord??

Il serait impossible (d'après toi) d'expliquer pourquoi un casino gagne de l'argent au cours d'expériences répétées.

Quitte à être lourd je redis que non seulement je ne suis pas d'accord (et j'explique tout dans mes posts, pourvu qu'on regarde les calculs...)mais qu'en plus lesdites expériences ont entièrement lieu dans un cadre dénombrable voire finitiste.

christophe c

foys: Non, pas d'expliquer pourquoi (on peut tout expliquer :-D ) !!!

De prouver avec des arguments exclusivement mathématiques que les casinos gagnent de l'argent

Si tu me dis que tu es capable de l'expliquer avec la théorie des probas habituelles ou avec les derniers traités de voyance de Madame Irma, il n'y a aucun désaccord entre nous et on a perdu notre temps.

Si tu me dis que tu es capable de le prouver sans d'avance le supposer, et avec uniquement des arguments mathématiques, alors notre désaccord EST PARFAITEMENT CLAIR et je te dis que tu n'as toujours pas apporté cette preuve.

remarque

Un petit grain de sel vu de l'extérieur : sans en nier la puissance et la pertinence, je n'ai jamais personnellement trop accroché au « mode de pensée » probabiliste, donc la question ne me tient pas tant à cœur que ça. :-D Néanmoins, j'ai compris l'axiomatique de Kolomogoroff comme l'acceptation du fait nous ne pouvons pas quantitativement tout savoir. Pour pouvoir dire des choses quantitatives sur le monde, on décide donc délibérément d'acter ce fait en ne s'autorisant à montrer que des propriétés partagées par tout un tas de fonctions, ce qui dépend de leur loi, et non par telle ou telle fonction particulière, qui en serait une réalisation. Cela, ça me paraît très clair et inattaquable. Bien sûr, on en profite pour emmerder le monde à appeler des fonctions des variables, les noter avec des grands $X$, noter l'intégrale avec un grand $E$, etc., c'est historique et véniel (quoiqu'irritant).

La justification de cela dans le monde classique, c'est bien le chaos déterministe. Dans un monde déterministe, régi par des edo ou des edp d'évolution, ce n'en est pas pour autant que l'on peut qualitativement savoir tout ce qui se passe. Par contre, on peut démontrer que ce comportement déterministe se présente comme une sorte de hasard dans un certain nombre de situations bien précises, qui ne va probablement pas jusqu'à la dynamique des dés dans un gobelet, mais bon... Dans ce contexte, il n'y a pas de hasard. Et il n'y a pas d'hypothèse a priori d'existence de mesure etc., dans la théorie ergodique : ça c'est juste une abstraction pour prendre un peu de recul par rapport à tel ou telle application. Le flot géodésique sur une surface à courbure négative ne suppose rien de tel d'entrée.

Dans le monde quantique, je n'en sais rien, je ne connais pas suffisamment. Mais il semble être soit postulé, soit déduit d'autres postulats l'existence d'un hasard irréductible... bah, peut-être que dans 100 ans, ça sera le contraire.

christophe c

foys a écrit:

Quitte à être lourd je redis que non seulement je ne suis pas d'accord (et j'explique tout dans mes posts, pourvu qu'on regarde les calculs...)

Tous tes posts techniques commencent par "soit un univers (E,T,P) tel que ..". Ils ne concernent donc pas notre désaccord. Tu n'es pas lourd, tu sembles juste ou bien dire que tu voulais te contenter "d'expliquer" ou bien que tu n'étais as d'accord sur notre désaccord.

christophe c

@remarque: je ne suis pas sûr de comprendre si dans ton paragraphe numéro2 tu affirmes qu'on peut prouver MATHEMATIQUEMENT que le "chaos déterministe" se comporte "de manière aléatoire" au sens fort?

Shah d'Ock

remarque a écrit:

Par contre, on peut démontrer que ce comportement déterministe se présente comme une sorte de hasard dans un certain nombre de situations bien précises, qui ne va probablement pas jusqu'à la dynamique des dés dans un gobelet, mais bon...

Probablement pas, probablement pas... en pratique quand tu tires Dédé tu obtiens 6 une foix sur six non?

Shah d'Ock

Foys a écrit:

@samok
Une suite générée par un logiciel n'est en fait jamais aléatoire (au sens épuré où on l'entend en maths).
Si $E$ est un ensemble fini et $F$ l'ensemble de toutes les fonctions récursives totales de $N$ dans $E$ (une suite générée par un programme informatique), alors l'ensemble des $x\in E^N$ tels que pour tout $f\in F$, $x\neq f$est de mesure 1 pour la mesure produit (i.e la mesure de proba usuelle).

Si l'on admet que l'on vit dans un monde discret, déterministe, et que les lois de la nature sont récursives, cet argument s'adapte aussi bien à la roulette des casinos qu'aux générateurs pseudo-aléatoires des ordinateurs.

Foys

Soit $q\in \N$, $E=\Z/q \Z$ un ensemble fini, si $n\in \N $ soit $F_k$ l'ensemble de toutes les fonctions récursives totales de $\bigcup_{d\in \N} \{d\} \times E \to E^k$.
Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue (i.e. la mesure produit usuelle) sur $E^{\N}$. Soit $X$ l'ensemble des $x\in E^{\N}$ tels que:
1°)Pour tout $k\in \N^*$, $n\mapsto (x_n+1,x_n+2,...,x_{n+k})$ est une suite équirépartie dans $E^k$
2°)Pour tout $k \in \N$ et toute $g \in F_k$, la suite $n \mapsto (x_{n+1},x_{n+2},...,x_{n+k})-g(n,x_1,x_2,...,x_{n})$ est équirépartie dans $E^k=(\Z/q\Z)^k$ (notamment les termes sont imprévisibles)(EDIT: ne marche que si $k=1$...)

Alors c'est un simple exo de proba que de montrer que $X$ est mesurable et que $\mu(X)=1$. Par suite on en déduit que si pour tous $r,s\in \N$, pour tous $(\alpha_1,...,\alpha_r,\beta_1,...,\beta_s)\in\N^{r+s}$, tout $\varepsilon >0$, tous $(f_1,...,f_r,g_1,...,g_s) \in \prod_{i=1}^r \Q^{E^{\alpha_i}} \times \prod_{j=1}^s F_{\beta_j}$ et tout $n\geq \max\{\alpha_1,...,\alpha_r,\beta_1,...,\beta_s\}$, Si $A_n$ désigne l'ensemble des $x \in E^n$ tels que
1°) $$\forall i\in \{1,...,r\} \left|\frac{1}{n-\alpha_i+1} \sum_{k=0}^{n-\alpha_i} f_i(x_k,x_{k+1},...,x_{k+\alpha_i}) - \frac{1}{q^{\alpha_i}} \sum_{u \in E^{\alpha_i}}f_i(u)\right|<\varepsilon$$
2°)$$ \forall j \in \{1,...,s\}\left| \frac{1}{n-\beta_j+1} \sum_{k=0}^{n-\beta_j+1} 1_{(x_{k+1},...,x_{k+\beta_j})=g(k,x_1,...,x_k) }-\frac{1}{q^{\beta_j}} \right|<\varepsilon$$.
EDIT:ci-dessusil faut supposer $\beta_1=\beta_2=,...,\beta_s=1$
Alors $\frac{card(A_n)}{q^n}$ tend vers 1 quand $n$ tend vers l'infini.

en d'autre termes si on prend n'importe quelle famille finie de test statistiques, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $n$ assez grand tel que pour tout $m\geq n$, la proportion d'éléments de $E^m$ qui en rate au moins un, est inférieure à $\varepsilon$.

Bref au lieu de s'extasier sur la victoire du casino on peut très bien dire qu'au fond il prend sa suite voir carrément la choisit dans un tel $A_n$, et les joueurs perdent.

remarque

@ cc : je ne sais pas ce que c'est la « manière aléatoire au sens fort ». Mais dans un certain nombre de cas précis, comme le flot géodésique sur une surface de courbure négative, on peut montrer sans a priori que la dynamique, qui existe et est unique par Cauchy-Lipschitz, fait apparaître une mesure et se comporte vis à vis de cette mesure comme quelque chose d'aléatoire, au moins en ce qui concerne les fréquences.* Pour les autocorrélations et ce genre de trucs, je n'en sais rien.

@ Shah d'Ock : et ben oui, je crains bien que la dynamique de l'ensemble dés + gobelet ne soit un peu trop hors d'atteinte pour pouvoir lui appliquer un théorème du genre ergodique.

* Pour l'anecdote, c'est comme ça qu'Arnold a expliqué l'impossibilité pratique de prévoir le temps qu'il fera dans les jours à venir : en interprétant l'équation d'Euler comme un flot géodésique sur une variété à courbure strictement négative, bon, de dimension infinie en plus...

Foys

Shah d'Ock, si la nature est déterministe calculable, etc, le joueur qui est capable de calculer la future position de la boule en se basant sur ce qu'il perçoit avant de parier gagne. Le paradigme probabiliste parle en fait de son incompétence (i.e. d'un manque d'information).

Shah d'Ock

Oui, mais alors l'ordinateur qui calcule tellement plus vite que nous qu'on est incapable de faire le même calcul dans le même temps, de notre point de vue son pseudo-aléa devient du vrai aléa non?

Shah d'Ock

Remarque: ce système est trop complexe pour espérer lui appliquer un théorème, mais, connaissant le résultat (ie: ayant souvent joué aux dés) on subodore fortement que la conclusion est la même...

christophe c

De mon téléphone :

Merci remarque!


@foys tu ecris "Bref au lieu de s'extasier sur la victoire du casino on peut très bien dire qu'au fond il prend sa suite voir carrément la choisit dans un tel An"

Merci pour ce baroud d'honneur humoristique :-D Mais je ne suis pas sur que tout le monde a vu. Pour le mettre en relief je donne quelques informations mathématiques pas toujours très bien diffusée.

Appelons suite finie de 0 et de 1 "suite BSDH" une suite telle que le plus petit programme qui la calcule dépasse la racine carrée de sa longueur. C'est définition gentielle car toutes les suites aléatoires sont BSDH par exemple.

Alors POUR TOUTE THEORIE MATHEMATIQUE T récursive il existe qu'un nombre fini de suite finies u telles que T prouve que u est BSDH.

Mieux (enfin pas pour toi vu que le mot "infini est présent). ZF ne prouve pas qu'il existe une fonction f tel que pour tout borélien de mesure nulle X f(X) est en dehors de X.

Tu en demandes beaucoup aux patrons de casinos :-D . Heureusement qu'ils ont un moyen plus simple d'y arriver...: secouer un gobelet.

Foys

On a une famille d'ensembles finis $E_1,...,E_n$ on appelle "cibles" les parties de $A_1 \times ..\times A_n$, on définit la taille d'une cible $F$ comme étant le réel $\frac{card(F)}{card(E_1) \times ...\times card(E_n)}$. $n$ vaut mettons $1000$ milliards,$\prod_{i=1}^n A_i$ est assimilé à l'ensemble de toutes les parties de casino de toute l'histoire,l'humanité réalise un seul tirage la cible a une taille inférieure à $\exp(-10000)$ et on m'explique que "comme les gens choisissent maladroitement, le fait que le tirage RATE la cible est un MIRACLE" nécessitant l'introduction de nouvelles lois physiques pour être expliqué.
C'est ce qu'on n'arrête pas de me dire dans ce post alors moi j'hallucine.

Shah d'Ock

"On" ccc?

Je sens bien qu'il y a un problème dans mon avant-dernier post, mais je ne vois pas où.