probabilités fréquentistes

Foys

(Discussion scindée à la demande de l'auteur. Ce message fait suite à celui-ci : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1418072,1422896#msg-1422896 )

christophe c a écrit:

Rappelle-toi tous les efforts que tu avais fait pour essayer de justifier qu'il y avait "une sorte de preuve scientifique déductive" conduisant à ces paradigmes, et qu'à chaque fois je te localisais où tu supposais ce que tu voulais prouver.

Non. De plus là on parle d'autre chose (la validité de l'application d'énoncés fréquentistes). Ici il s'agit plutôt de stats inférentielles.

(techniquement l'ensemble de ce qui va suivre est dans le présent fil, HS car parle de probas et non de stats mais j'aimerais répondre à l'allégation comme quoi je suppose à l'avance ce que je prouve. Pour les stats je ferai un post plus tard, car là tu ne parles pas de la même chose que les autres).
Pour le cas particulier du fréquentisme, dans ZFC (et peut-être moins) on a les théorèmes suivants. Je peux fournir les preuves.
Moi j'aimerais qu'on me dise où j'ai supposé l'indépendance avant de la prouver (NB: le texte ci-dessous ne contient aucune occurrence du mot "indépendance" ou aucun autre mot similaire. J'invite le lecteur à examiner les hypothèses en vert).

En principe, l'idée des probas dites fréquentistes est qu'on a un ensemble $E$ de tirages individuels, un nombre entier $n$, et une fonction ensembliste additive $\pi:\mathcal P(E^n) \to [0,1]$ telle que si $A\subseteq E^n$, $\pi(A)$ exprime la "plausibilité" que ledit tirage appartienne à $A$. La seule hypothèse polémique (et encore)-qui n'est rien d'autre qu'une simple hypothèse de symétrie de l'espace des tirages- est mise en vert dans les énoncés ci-dessous et dit en gros que la plausibilité de $A$ ne change pas si on renomme les éléments d'une des $n$ copies de $E$. Contrairement à ce qui est suggéré dans la citation cette hypothèse (ces hypothèses dans la mesure où il y a deux théorèmes) est bien faite explicitement dans mon texte, et (implicitement) dans les applications concrètes où cependant elle est parfaitement naturelle.


Cas fini:
On considère $A_1,...,A_n$ des ensembles finis. On désigne, si $i\in \{1,...,n\}$, et $u,v\in A_i$, $\tau_{u,v}$ la bijection de $A_i$ dans lui-même qui échange $u$ et $v$ et qui laisse invariants les autres éléments.
Soit $\pi_{i,u,v}:\prod_{k=1}^n A_k \to \prod_{k=1}^n A_k$ l'application telle que pour tout $f \in \prod_{k=1}^n A_k$: $\forall k \in \{1,...,n\},f(k)=\pi_{i,u,v}(f)(k)$ et $\pi_{i,u,v}(f)(i)=\tau_{u,v}\big(f(i)\big)$.
Soit $N:=\text{card} \left ( \prod_{i=1}^n A_i \right )$

Théorème 1: Soit $P:\mathcal P \left (\prod_{i=1}^n A_i \right )\to [0,1]$ une fonction telle que:
1.i) $P \left ( \prod_{i=1}^n A_i \right)=1$
1.ii) $\forall S,T \in \mathcal P \left (\prod_{i=1}^n A_i \right ): S \cap T =\emptyset \implies P(S \cup T)=P(S)+P(T)$
1.iii) Pour tout $V \in \mathcal P \left (\prod_{i=1}^n A_i \right )$, tout $i \in \{1,...,n\}$ et tous $u,v \in A_i$, $P(V)=P \big( \pi_{i,u,v} (V)\big)$.

Alors $\displaystyle{\forall W \in \mathcal P \left ( \prod_{i=1}^n A_i \right ), P(W)=\frac{\text{card}(W)}{N}}$

La preuve est triviale, c'est parce que le groupe engendré par les $\pi_{i,u,v}$ est l'ensemble de toutes les bijections de $\prod_{i=1}^n A_i $ dans lui-même(edit: ce n'est pas vrai, par contre ce groupe agit transitivement et c'est tout ce dont on a besoin pour montrer le résultat).

Après on en déduit par exemple (la preuve est un peu astucieuse avec des inégalités de concentrations comme Hoeffding), des résultats de type loi faible des grands nombres.
Par exemple:
Corollaire 1:
Soit $A$ un ensemble fini, $a,b \in \R$ avec $a<b$; $X:A \to [a,b]$ une application; $\displaystyle{m:=\frac{\sum_{a \in A} X(a)}{\text{card}(A)}}$. Soit $\varepsilon>0$. Enfin soit $n \in \N$
On suppose les hypothèses 1.i), 1.ii) et 1.iii) ci-dessus vérifiées (avec $A_1=A_2=..A_n=A$).
On note $\displaystyle{G_{\varepsilon,X}=\left \{b \in A^n \mid \frac{\sum_{k=1}^n X(b_k)}{n} \in [m-\varepsilon,m+\varepsilon] \right\}}$
Alors $\displaystyle{P(G_{\varepsilon,X}) \geq 1-2\exp\left (\frac{-2n\varepsilon^2}{(b-a)^2} \right)}$



***

Cas continu (dans $[0,1[$ (*)):
Tout d'abord des notations (il y en a pas mal)
$[0,1[$ sera systématiquement assimilé au groupe quotient $(\R / \Z,+)$ dans ce qui va suivre. Si $u \in \R / \Z$, on pose $\tau_u=x \mapsto x+u$, qui va de $[0,1[=\R /\Z$ dans lui-même.
Soit $k \in \N$ et $\beta_k:\{0,1\}^{\N} \to \{0,1\}^{\N}$ telle que pour tout $u \in \{0,1\}^{\N}$, le $k$-ième bit de $u$ est changé par $\beta_k$ et les autres sont laissés identiques (autrement dit $\beta_k=\tau_{2^{-{(k+1)}}}$ avec la convention plus haut, un fois assimilés $[0,1[$ et $\{0,1\}^{\N} \backslash \left (\{1\} \cup \{u: \exists n \in \N| \forall k>n: u_k=1\}\right )$edit: non ça c'est faux par contre).

Soient $n \in \N$ $i \in \{1,...,n\}$,
Soit , $u \in [0,1[$;
on pose $t_{i,u}: x \in [0,1[^n \mapsto (x_1,x_2,...,x_{i-1}, \tau_u (x_i),x_{i+1},..,x_n)$.
Soit $k \in \N$
on pose $b_{i,k}: x \in [0,1[^n \mapsto (x_1,x_2,...,x_{i-1}, \beta_k (x_i),x_{i+1},..,x_n)$

On notera $T_1:=\big \{t_{i,u}\mid (i,u)\in\{1,...,n\}\times [0,1[ \big \}$ et $T_2:=\big \{b_{i,k}\mid (i,k)\in\{1,...,n\}\times \N \big \}$

Dans la suite, $n \in\N$ est fixé, $\mathcal M$ est un ensemble de parties de $[0,1[^n$, $\overline{P}:\mathcal M \to [0,1]$ une fonction.
On appelle enfin $\mathcal M^*$ l'ensemble des parties $X$ de $[0,1[^n$ telles que $\inf\{\overline{P}(S) \mid S \in \mathcal M \text{ et } X \subseteq S \}= \sup \{\overline{P}(T) \mid T \in \mathcal M \text{ et } T \subseteq X \}$

Hypothèses:
$A_1$) Si $A,B\in \mathcal M$, $A\cap B \in \mathcal M$.
$A_2$) Si $A \in \mathcal M$, $[0,1[^n\backslash A$ aussi.
$A_3$) $\emptyset \in \mathcal M$
$A_4$) pour tous $s,t \in [0,1[^n$, $\prod_{k=1}^n[s_k,t_k[ \in \mathcal M$
$M_1$) $\overline{P}$ est croissante: si $A\subseteq B$ alors $\overline{P}(A) \leq \overline{P}(B)$) (edit: cette hypothèse est redondante car conséquence des autres )
$M_2$) $\overline{P}([0,1[^n)=1$
$M_3$) si $A,B \in \mathcal M$ et $A\cap B=0$ alors $\overline{P}(A)+\overline{P}(B)=\overline{P}(A \cup $

enfin si $k$ vaut $1$ ou $2$:
$I_k$) $\forall f \in T_k$, $\forall A \in \mathcal M$, $f(A) \in \mathcal M$ et $\overline{P}(A)=\overline{P}\big( f(A)\big)$

Théorème 2: Soit $k \in \{1,2\}$
Si les hypothèses $(A_i)_{1 \leq i \leq 4}$, $(M_i)_{1 \leq i \leq 3}$ et enfin $I_k$ sont satisfaites, alors:
1) $\mathcal M \subseteq \mathcal M^*$
2) Toute partie de $[0,1[^n$ dont la frontière est de mesure de Lebesgue nulle appartient à $\mathcal M^*$. On notera $\mathcal M^{**}$ l'ensemble de telles parties
3) $\overline P$ admet un unique prolongement croissant à $\mathcal M^*$. Sa restriction à $\mathcal M^{**}$ est égale à la restriction à $\mathcal M^*$ de la mesure de Lebesgue (i.e la mesure produit).

(la preuve consiste essentiellement à reconstruire l'intégrale de Riemann sur $[0,1[^n$)
A partir de là on récupère une loi faible des grands nombres analogue au corollaire 1 sans problème.


[size=x-small](*)Se placer dans $[0,1[$ n'est pas vraiment une restriction dans la mesure où pour tout espace polonais $F$ et pour toute mesure de proba $\nu$ sur la tribu borélienne de $F$ il existe $g: [0,1[ \to F$mesurable telle que $\forall A$ mesurable dans $F$, $\mu\big (g^{-1}(A)\big )=\nu(A)$.[/size]

Foys

Merci JLT

christophe c

@foys: tu montres (ce qui est intéressant en soi) qu'on peut déduire les propriétés qu'on suppose habituellement en supposant autre chose qui les implique. Mais je ne comprends pas vraiment ce que TU VEUX DEMANDER!

Foys

Je cherche surtout à expliquer pourquoi les probas ne sont pas un dogme et les phénomènes de convergence ne sont en aucun cas des miracles: ZFC les prouve sous des hypothèses complètement minimalistes et naturelles.

Prenons un autre exemple: soit $(\Omega,\mathcal A, P)$ un espace probabilisé(*), $(Y_n)_{n \in \N}$
une famille de variables aléatoires à valeurs réelles telle que $\int_{\Omega} |Y_0(t)| dP(t) <+ \infty$ (**) et telle que (***) $$ \forall n \in \N , \forall (t_0,t_1,...,t_n)\in \R^{n+1}, P\left(\{\omega \in \Omega\} \mid \forall i \leq n: X_i(\omega) \leq t_i\right)=P\left(\{\omega \in \Omega\} \mid \forall i \leq n: X_{i+1}(\omega) \leq t_i\right)$$
Alors il existe $Z:\Omega \mapsto \R$ mesurable, telle que $\int_{\Omega} |Z(t)| dP(t) <+ \infty$ et $$\frac{\sum_{k=0}^{n-1}Y_k}{n} \underset {n \to +\infty}{\longrightarrow} Z$$, la convergence ayant lieu presque sûrement et dans $L^1$.

Pour montrer ce théorème on pose $X:=\R^{\N}$ muni de la tribu produit, si $U$ est dans cette tribu on pose $\mu(U):= P\left (\{ \omega \in \Omega \mid Y(\omega) \in U \right)$ ($Y$ désignant $(Y_n)_{n \in \N}$). On définit $T: X \to X $ en posant $T\left( (x_n)_{n \in \N}\right):=(x_{n+1})_{n \in \N}$ ($T$ est un opérateur de décalage es coordonnées).
1°) l'hypothèse (***) ci-dessus est équivalente à ce que: pour tout $B \subseteq \R^{\N}$ mesurable, $\mu(B)=\mu \left(T^{-1}(B) \right)$ par un argument de classe monotone.
Le théorème ci-dessus est donc conséquence du théorème ergodique de Birkhoff : lire cet article court et pédagogique pour un énoncé et une preuve complète: comme fonction $f$, prendre la première projection ($\forall x \in \R^{\N}, f\left((x_n)_{n \in \N}\right)= x_0$).
Soit donc $\overline f =\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \circ T^k$. La fonction $Z:=\overline f \circ Y : \Omega \to \R$ convient.

Bref, si la proba est invariante par décalage dans le temps on est déjà dans le cadre des probas fréquentistes (i.e. la suite des moyennes converge presque sûrement), même si la limite n'est pas constante (c'est une variable aléatoire.)

Noter aussi que si une famille de VA réelles $(X_n)_{n \in \N}$ est échangeable (j'en parle dans ce post) alors elle est aussi invariante par translation (i.e. vérifie l'hypothèse (***)). En effet, si on pose, quand $(t_i)_{0 \leq i \leq n} \in \R^{n+1}$ $A_{n+1}=\R$, $A_i=]-\infty,t_i]$ si $i \leq n$ et $\sigma$ la permutation de $\{0,...,n\}$ telle que $\sigma(n+1)=0$ et $\sigma(i)=i+1$ pour $0 \leq i \leq n$ alors(****):
$$P(X_0 \leq t_0,...,X_n \leq t_n)=P(X_0 \in A_0,...,X_{n+1} \in A_{n+1})=P(X_{\sigma(0)} \in A_0,...,X_{\sigma(n+1)} \in A_{n+1})=P(X_1 \leq t_0,...,X_{n+1} \leq t_n)$$
Autrement dit sous la simple hypothèse que les V.A. sont permutables on a déjà convergence presque sûre, vers une limite non constante certes (le théorème de De Finetti dit un peu plus mais là on n'exige pas la constance de la limite, au contraire).

[size=x-small](*)Sauf mention expresse du contraire je me place dans le cadre classique; toutes les mesures sont $\sigma$-finies et $\mathcal A$ est une $\sigma$-algèbre. On avait déjà discuté de pourquoi ce n'est pas une vraie restriction[/size]
[size=x-small](**)trivialement vérifié si $X_0$ est bornée[/size]
[size=x-small](***) Dit que la loi de la famille $(Y_n)_{n \in \N}$ est invariante par translation: la probabilité que la roulette du casino donne 36,1,36 à ses 3 premiers tirages du 10 mars 2017 est la même que celle de tirer 36,1,36 à ses premiers tirages du 4 avril 2099. En quoi cette hypothèse est abusive?[/size]
[size=x-small](****)j'utilise ici les conventions de notation habituelles des probas pour éviter les lourdeurs. Tu as le droit de les trouver abusives mais c'est le langage de tout le monde. $P(X_1 \in M_1,...,X_r \in M_r)$ désigne $P\left(\big \{\omega \in \Omega \mid \forall i \in \{1,...,r\} X_i(\omega) \in M_i \big\} \right)$[/size]

christophe c

De mn téléphone et en pleine période de conseils de classe: eh be quand j'aurai fini ces échanges avec toi j'aurai suivi une UV complète de probas.

Bon de mon téléphone je suis bien sur incapable de digérer en un coup doeil tous ces théorèmes de maths. Mais j'ai tendance à craindre qu'il y ait malentendu. TOUTE HYPOTHESE D INVARIANCE AUSSI FAIBLE QU ELLE AIT L'AIR D'ETRE est déjà très forte car est déjà l'argument "quantique" dans la mesure où on suppose LA REALITE de plusieurs (et même beaucoup) mondes. Donc on a déjà quasiment tout supposé !!!!! Cliniquement "invariant par translations" par exemple veut dire que si H est une histoire réelle alors la translatée de H aussi. Je detaillerai d'un PC.

christophe c

Suis sur un pc. @foys, je détaille un peu l'objection que j'ai faite à toutes tes tentatives d'essayer de faire passer dans le champ déduit des démarches probabilisto-statistiques.

Soit $L$ la conjonction des "lois de la Nature" tout compris. Je ne le suppose pas écrit dans un langage ou quoi ou qu'est-ce. Juste, je suppose qu'on n'en a oublié aucune.

Soit $Realite$ l'ensemble des histoires qui vérifient $L$. Pourquoi ce nom "Realite"? A cause du "tout compris". Autrement dit, je mets dans $L$ les éventuelles "conditions initiales"***** si tant est que ça a un sens et qu'il y a une notion de temps.

Admettons maintenant (juste pour l'exemple), que le format des histoires soit d'être des applications de $\R^4$ dans $C$ (un ensemble de couleurs). Autrement dit, et grossièrement, une histoire c'est un truc qui dit ce qu'il se passe pour chaque endroit et chaque date.

L'ensemble $Realite$ est donc une partie de $C^{\R^4}$ (encore une fois ce format est juste pour l'exemple et est plus Newtonien qu'Einsteinien, mais ça n'a pas d'importance ici). Lorsque tu énonces un principe d'invariance par exemple, et bien pour être précis, tu vas demander que $Realite$ soit stable par certaines opérations. Par exemple, si tu dis qu'il y a invariance par translations temporelles de $L$, comme on n'a pas accès à $L$ qui est juste un slogan, tu dis en fait que $Realite$ est invariant par translations temporelles, ce qui signifie très formellement que pour tout $h\in Realite$ et tout $a\in R$ (en posant que la première coordonnée est celle du temps), l'histoire $h_2: (t,x,y,z)\mapsto h(t+a,x,y,z)$ est un élément de $Realite$

J'ai pris un exemple pour alléger la description. Mais bien évidemment, ceci est valable quelque soit le format, les logiques et les philosophies qui présideraient à la façon dont $L$ est écrit.

Du coup, quand tu essaies d'affaiblir les dogmes, postulats, axiomes, etc sur lesquels tu veux faire reposer l'idée qu'il y a de la justification mathématique derrière les lois constatées des grands nombres telles que diffusées expérimentalement*** devant des publics jeunes ou amateurs, tu ne fais que changer la forme "typographique" sous laquelle tu vas écrire ... ces axiomes. Autrement dit, tu ne cesses pas de les supposer, mais tu les affirmes d'une autre façon.

Les enseignements scientifiques actuels (hors abord de la MQ), même s'ils ont tort et le font exprès (ie n'ignorent pas que c'est une "simplification" selon eux) reposent sur l'idée presque toujours supposée que $card(Realite) = 1$. Or il n'est pas possible de faire cohabiter cette hypothèse avec autre chose que des $Realite = \{h\}$ où, $h$ est ... constante, dès lors qu'on s'appuie sur les habituels postulats de symétrie (exercice de niveau L1 facile au langage près).

Alors une objection qu'on peut faire est le fait que j'ai bien insisté sur le fait qu'on met les conditions initiales dans $L$. Beaucoup diraient "non, ce qu'il faut faire, c'est "les sortir" de $L$ car elles seraient de nature différente". Là encore, ça ne résout rien du tout et c'est facile à prouver. Soit $Z$ l'ensemble des conditions initiales. Tout ce que je viens de dire s'adapte mot à mot quasiment à cette tentative de sortie, puisqu'on a juste à remplacer $Realite$ par $z\mapsto Realite_2(z)$, et on arrive alors à dd:=

$$\forall z\in Z: card(Realite_2(z))=1$$

au lieu de $card(Realite)=1$

Et en plus, on peut très bien remonter à la typographie précédente, on a juste "sorti" $Z$. Ce qui donne alors que $Realite = \cup_{z\in Z} Realite_2(z)$. On n'est pas plus avancé. Et ceux qui voudraient vraiment, en tordant le bras à ces théorèmes évidents , forcer à retrouver une fondation aux approches fréquentistes seraient alors obligés d'identifier $Z$ avec l'univers probabilisé. Ce n'est quand-même pas très acceptable comme paradigme d'avoir une structure rigide comme celle des CI que l'on doive considérer comme un ensemble infini d'issues sur lequel on doit s'échiner à mettre artificiellement une probabilité qui ne serait justifiée par pas grand chose, quand on a supposé dd

[small]*** par exemple le prof lambda de seconde qui jette pendant 30mn un dé équilibré environ 300 fois et essaie de dire à ses élèves que le fait que 4 soit sorti approximativement une cinquantaine de fois et qui, de manière complètement fautive essaie de faire croire à ses élèves que c'était déductible par les maths seules (induisant une grave désinformation puisque c'est un phénomène naturel "expliqué" seulement depuis moins de 30ans par la théorie quantique moderne)[/small]

***** par définition, les CI sont ce qui fait que l'histoire est ce qu'elle est quand on a juste retiré les lois de la Nature.

Foys

l'hypothèse d'invariance par translation temporelle est banale en pysique. On ne prend pas au sérieux les théories qui disent par exemple que "dans un an les lois de la physique (ce qui inclut la MQ) se mettront à être toutes fausses expérimentalement". Pourtant c'est impossible de réfuter une telle théorie, même ton paradigme fait cette hypothèse.

La loi de Benford
Est-ce que ceci est un phénomène quantique aussi?
(on peut la comprendre en disant que les distributions envisagées sont à valeurs dans le groupe compact $\R_+^* / \{10^n,n \in \Z\}$ muni de la mesure de Haar, c'est ce que l'invariance par changement d'échelle dit en substance)


Soit $F$ un ensemble fini et $n\in \N$.
Soit $\varphi: F \to [0,1]$ une fonction, si $t \in F^n$ notons $M_n (\varphi)(t)= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \phi(t_k)$ (bref la moyenne empirique des $k \mapsto\varphi(t_k)$)
Notons $\overline{\varphi}=\frac{1}{\text{card}(F)} \sum_{u \in F} \varphi(u)$ la moyenne "théorique" de $\varphi$.
Soit $\delta>0$, $\displaystyle{B(\varphi,\delta,n):=\left \{t \in F^n :\overline{\varphi}-\frac{\delta}{\sqrt n} \leq M_n(\varphi)(t) \leq \overline{\varphi}+\frac{\delta}{\sqrt n} \right \}}$
On a un résultat mathématique qui dit que $$\forall (\varphi,\delta,n) \in [0,1]^F \times \R_+^* \times \N: \frac{\text{card}\left( B(\varphi,\delta,n)\right)}{\text{card}(F^n)} \geq 1-2\exp(-2\delta^2)$$

Si $\delta=10$ par exemple, on a $2\exp(-2\delta^2) \leq \frac{1}{3.62\times 10^{86}}$
Donc si $n$=100 millions, la proportion des $t \in F$ tels que $M_n(\varphi)(t)$ est dans $[\overline {\varphi}-\frac{1}{1000},\overline {\varphi}+\frac{1}{1000}]$ est extrêmement proche de 1 alors que la naïveté humaine la croit petite vu qu'un intervalle de largeur $\frac{2}{1000}$ est "petit" dans $[0,1]$. Le comble de l'incurie étant atteint quand on considère que comme l'intervalle est "petit" c'est un MIRACLE si la moyenne empirique tombe dedans.

******
Soit maintenant $\mathfrak S_F$ l'ensemble des bijections de $F$ dans lui-même. si $f \in \mathfrak S_F^n$, soit $\Phi_n(f)$ l'application envoyant $x \in F^n$ sur $\big(f_n(x_n)\big)_{n \in \N} F^n$.
Soit $A\subseteq F^n$ une partie et $J_A:=\{(f,x) \in \mathfrak S_F^n \times F^n \mid \Phi_n(f)(x) \in A\}$. On envisage un jeu où Alice prend $g \in \mathfrak S_F^n$, Bob prend $y \in F^n$, aucun des joueurs ne voit ce que fait l'autre(*) et Bob gagne si $(g,y) \in J_A$

C'est un simple résultat de théorie des jeux à stratégie mixte que de constater que lorsque $A=B(\varphi,10,n)$, Bob est exagérément monstrueusement avantagé à ce jeu. Et là la "MQ" ne joue absolument aucun rôle (quid de la participation d'Alice?)
des réalisations concrètes sont possibles, quand $F=\{0,1\}(=\Z/2\Z)$
on peut assimiler $\mathfrak S_F$ et $F$ lui-même et $\Phi_n(f,x)=f+x =(f_k+x_k)_{1\leq k \leq n}$ (addition bit à bit).
Bref Alice et Bob produisent chaqun un fichier de $100$ millions de bits ($12\sim 13$ mo ce n'est pas la mort) et Bob gagne si la différence symétrique bit à bit contient une proportion de $1$ comprise entre $0,499$ et $0,501$. Un "miracle quantique"?

[size=x-small](*) on peut imaginer un système d'enveloppes cachetées, ou de la crypto informatique. C'est un jeu à information imparfaite où du reste chaque joueur a intérêt à cacher ce qu'il fait l'autre.[/size]

Foys

De toute façon, ça n'existe pas les phénomènes "probabilistes". Les gens sont hypnotisés par des moyennes et on a produit une abondante littérature uniquement sur la base de malentendus sur la taille des ensembles mis en jeux.

Donc quelqu'un prend un "gobelet" , "l'agite" et jette 300 fois une pièce de monnaie, et le fait que dans le tirage obtenu il y a presque autant de piles que de face est promu au rang d'événement impressionnant mais les gens savent que presque tous les éléments de $\{p,f\}^{300}$ ont cette propriété ? (le "presque" étant entendu comme un rapport de cardinaux).
Moi j'essaie dans mes postes d'exhiber ce fait. J'ai juste la forte impression que les gens n'en n'ont pas conscience.

christophe c

De mon téléphone : bon je vois ou crois voir qu'on est (presque) d'accord. Le seul point t de désaccord est sociologique: je pense contrairement à toi que la loi des grands nombres ne passe pas pour un miracle mais pour une banalité auprès "du peuple". Mais ça n'a rien à voir avec les maths.

Mais tu sembles admettre qu'on rajoute TOUJOURS des hypothèses "physiques" improuvables quand on essaie de prédire avec des maths-probas ce qui se passera quand on va secouer le gobelet en termes de moyennes. Pour faire concis: on rajoute tout bêtement que secouer gobelet => faire une expérience aléatoire.

Concernant ton jeu OUI c'est quantique!!!! D'un PC je detaillerai. Si ça t'intéresse de détecter tout ce qui est quantique dans notre linguistique instinctive bravo car on est servi au delà de nos espérance. Commence par le conditionnel tout simplement (qui ne peut pas avoir d'existence mathematique au dessus de la logique affine) et qui est devenu une réalité physique avec la MQ). Dans la notion de jeu c'est TRES EXACTEMENT le conditionnel qui est pertinent: que ferait Alice si même i, Bob, je fais ceci cela?

christophe c

J'ajoute quelques points:

foys a écrit:

Les gens sont hypnotisés par des moyennes et on a produit une abondante littérature uniquement sur la base de malentendus sur la taille des ensembles mis en jeux.

Entièrement d'accord avec toi sur ce point

foys a écrit:

C'est un simple résultat de théorie des jeux à stratégie mixte que de constater que lorsque ........ Bob est exagérément monstrueusement avantagé à ce jeu. Et là la "MQ" ne joue absolument aucun rôle (quid de la participation d'Alice?)

Pas du tout d'accord sur ce point. Je ne sais pas si tu as un lien rapide vers ma thèse, mais j'en traite ce que j'estime "être le coeur atomique" dans ma thèse au chapitre 9 et je l'avais déjà traité il y a 10ans sur le forum (je chercherai le lien).

Pour que tu comprennes bien (ce n'est pas péjoratif, mais j'ai parfois l'impression que tu as un paradigme philosophique bien à toi qui te fait écrire en trop petits caractères certains phénomènes, qui sont systématiquement considérés comme des détails dans toutes tes argumentations sur ce sujet, me semble-t-il avoir remarqué en tout cas), je vais réécrire EXACTEMENT ce que tu as écrit en changeant "juste les prénoms et les univers":

foys fictif a écrit:

Bref Alice et Bob produisent chacun un [size=x-small]fichier de 100 millions de bits (12-13 mo ce n'est pas la mort)[/size] nombre entier naturel (simultanément et sans info sur ce que joue l'autre) et Bob gagne [size=x-small]si la différence symétrique bit à bit contient une proportion de 1 comprise entre 0,499 et 0,501[/size] quand le nombre qu'il joue est supérieur ou égal à celui joué par Alice.

(deloc) Bob est exagérément monstrueusement avantagé à ce jeu (sous-entendu, pour chaque entier jouable par Alice, la proportion des entiers qui font gagner Bob est > 1-epsilon très petit (en fait, c'est même "essentiellement" 1 ici)

Un "miracle quantique"?

J'ai barré ce que tu avais réellement écrit et changé "sans changer vraiment" l'exemple et fait un ajout vert.

Pardon de ne pas t'avoir posté ce détail avant (je suis en pleine période de CDC, etc, peu dispo)

Foys

christophe c a écrit:

je vais réécrire EXACTEMENT ce que tu as écrit en changeant "juste les prénoms et les univers":

Ah non certainement pas, tu as enlevé des parties essentielles qui font que ça marche. Ce n'est pas du tout le même jeu, dans ton exemple on ne sait même pas si une stratégie mixte pour Bob existe et si, le cas échéant , Bob a significativement plus de chances de gagner qu'une sur deux.
Dans mon exemple on a un ensemble fini et Bob a une stratégie triviale.

christophe c a écrit:

mais j'ai parfois l'impression que tu as un paradigme philosophique bien à toi

::o Ce n'est pas moi qui ai inventé les jeux à stratégie mixte, ni la théorie de la mesure, ni les probas classiques (l'intégralité de ce que je dis se place dans ce cadre).

afk

CC a écrit:

Mais j'ai tendance à craindre qu'il y ait malentendu. TOUTE HYPOTHESE D INVARIANCE AUSSI FAIBLE QU ELLE AIT L'AIR D'ETRE est déjà très forte car est déjà l'argument "quantique" dans la mesure où on suppose LA REALITE de plusieurs (et même beaucoup) mondes. Donc on a déjà quasiment tout supposé !!!!! Cliniquement "invariant par translations" par exemple veut dire que si H est une histoire réelle alors la translatée de H aussi. Je detaillerai d'un PC.

Je ne suis pas sur de comprendre. Es-tu en train de dire qu'un lancer de des releve d'arguments quantiques? Quel est cet argument quantique?

J'ai l'impression que tu dis les probas presupposent un univers de resultats possibles qu'on n'observe pas donc elles supposes l'existence de mondes alternatifs donc elles relevent du quantique. Est-ce bien cela?

christophe c

Tu as presque tout compris (au bout de la 150ième fois que je le dis, c'est bien :-D ) . Alors, je vais être un peu plus précis, parce que sinon, il peut y avoir une confusion avec l'idée qu'on serait dans l'interprétation (je te connais).

On peut (bon, il faut un peu plus que des bases en logique) prouver qu'il ne peut en être autrement, ce n'est pas "une option".

Une autre précision aussi: j'ai choisi le mot "MQ" parce que c'est la première et seule théorie historique qui prétend axiomatiser la totalité de la physique (pas comme, par exemple, la thermodynamique qui assume être une approximation) et qui introduit dans ses axiomes une indétermination réelle et non pas illusoire. Mais la MQ n'est, elle, pas une obligation. Il peut exister formellement de nombreuses théories qui imposent l'indétermination.

Je ne sais pas (et n'ai pas trop le temps) de vérifier où tu extrais ta citation de moi. Il y a un post plus haut dans le fil où je donne plus de détails et tu parais ne pas l'avoir lu, sinon, tu ne poserais pas cette question. Je ultrarésume : en notant P l'ensemble des histoires "possibles" et R l'ensemble des histoires réelles, et en appelant (ce n'est qu'une définition) "CI" pour "conditions initiales" les réalités physiques qu'on décrète ne pas être des lois et qui font que les histoires qui sont dans $P\setminus R$ ne sont pas dans $R$, on obtient qu'en dehors de la MQ, aucune autre théorie avant ne proposait un $CI$ qui a la "gueule d'une espace probabilisé assumé***"

@foys: je ne te comprends pas. On se moque bien de qui a inventé "les jeux à stratégies mixtes", là n'est pas la question. Ton argument est que tu proposes un jeu à information cachée qui est une partie $R$ de $E\times F$ et argues que pour chaque $x\in E$, il y a une proportion écrasante de $y\in F$ tels que $(x,y)\in R$. (Bon, tu sous-entends peut-être que pour chaque $y\in F$ la proportion des $x\in E$ tels que $(x,y)\notin R$ n'est pas aussi écrasante, mais ce n'est pas explicite, car la seule phrase que tu as prononcée est que "Bob a un nombre écrasant de coups à jouer qui gagnent" (tu n'as pas parlé d'Alice).

C'est la raison pour laquelle je t'ai dit que je refais exactement le même exemple que le tien, sauf que là, La proportion des $y$ tels que $(x,y)\in R$ est carrément $1$ (une partie cofinie de IN).

Et si j'ai pris IN, c'est parce que c'est plus accessible pour les aurtes lecteurs, mais si tu veux arguer qu'on ne le munit pas habituellement d'une proba diffuse, je peux prendre d'autres ensembles, ce ne serait pas une objection sensible.

*** par exemple, tu n'y trouves pas de quoi extraire des histoires de dés indépendamment lancés, etc

à nouveau à afk et au lecteur "durs de la feuille" :-D , je simplifie, car je veux éviter les HS comme ils ont été imposés dans un autre fil où certains ont voulu essayer de parler de stats inférentielles, qui n'étaient pas du tout le sujet. Personne, et surtout pas moi, ne dit que les dés qu'on lance en classe en secouant un gobelet ne respectent pas naturellement ce qu'on attend d'un comportement aux apparences de l'aléatoire. Ce que je dis est que ce comportement ne trouve aucun fondement dans les maths. Ce n'est pas du tout la même chose. Autrement quand le prof de seconde ayant lancé 6000 fois son dé fait remarquer aux gamins que la proportion des 5 est d'environ 1000/6000 et que ça illustre "la loi des grands nombres au sens des théorèmes de maths qui l'énoncent", il ment gravement à sa classe.

Mais encore une fois, ça n’empêche pas qu'on constate que le dé semble se comporter aléatoirement. Et la seule théorie physique qui a fait un théorème de cette conclusion est la MQ (les autres ou bien le prennent comme axiome ajouté ad hoc comme le principe de Fermat ou bien ne prétendent pas êter correctes et assument leur seule "utilité en pratique".

Foys

christophe c a écrit:

@foys: je ne te comprends pas. On se moque bien de qui a inventé "les jeux à stratégies mixtes"

Je répondais à ce que tu disais tel que c'était formulé ("...j'ai parfois l'impression que tu as un paradigme philosophique bien à toi...")

christophe c a écrit:

C'est la raison pour laquelle je t'ai dit que je refais exactement le même exemple que le tien, sauf que là, La proportion des y tels que $(x,y) \in R$est carrément $1$ (une partie cofinie de $\mathbb N$).

Et si j'ai pris $\mathbb N$, c'est parce que c'est plus accessible pour les aurtes lecteurs, mais si tu veux arguer qu'on ne le munit pas habituellement d'une proba diffuse, je peux prendre d'autres ensembles, ce ne serait pas une objection sensible.

Ce n'ets pas la même chose (je ne vois pas en quoi ça simplifie la lecture), ça sert surtout à transformer l'énoncé en un autre que tu peux critiquer? Une proba non sigma additive ne peut pas marcher ici parce que quand on parle de Jeux à tratégie mixte le tirage doit être réellement réalisable par les joueurs. Tous les résultats dont je parle dans le cadre de jeux (qui sont d'analyse fonctionnelle en fait) le supposent, car une stratégie mixte se doit d'être exploitable.
En fait lorsque $(E,\mathcal A)$ est un espace polonais muni de sa tribu borélienne (ce qui inclut $\N$, $[0,1]$, n'importe quel ensemble fini et n'importe quel produit dénombrable d'espaces polonais) et $\varphi$ une fonction définie sur $\mathcal A$ y a équivalence entre 1) $\varphi$ est une mesure de proba ($\sigma$-additive!!) et 2) il existe une fonction mesurable $f:[0,1] \to E$ telle que pour tout $B\in \mathcal A$, $\mu \big(f^{-1}(B) \big)=\varphi(B)$.
Autrement dit on ne sait pas ce que veut dire "tirer un nombre dans $\N$".
L'exemple que j'ai proposé est lui, immédiatement réalisable tel que décrit.

christophe c a écrit:

car je veux éviter les HS comme ils ont été imposés dans un autre fil où certains ont voulu essayer de parler de stats inférentielles,

HS: les intervalles de confiance sont précisément le sujet des stats inférentielles.

Foys

christophe c a écrit:

Autrement quand le prof de seconde ayant lancé 6000 fois son dé fait remarquer aux gamins que la proportion des 5 est d'environ 1000/6000 et que ça illustre "la loi des grands nombres au sens des théorèmes de maths qui l'énoncent", il ment gravement à sa classe.

Quelqu'un qui dit "Pour toute transposition $\tau$ dans $\mathfrak S_6$", tout $k\in \{1,...,6000\}$ et tout $x \in \{1,2,3,4,5,6\}^{6000}$ s'il est également plausible qu'un tirage vale $x$ ou vale $x'=(x_1,x_2,x_3,...,x_{i_1},\tau(x_i), x_{i+1}, x_{i+2},...,x_n)$ alors cette personne ne ment pas quand elle dit qu'il est quasi sûr qu'un tirage de $6000$ dés est expérimentalement équilibré en moyenne, c'est un théorème de maths que tu refuses systématiquement d'examiner en remplaçant l'exemple par d'autres de ton crû radicalement différents.

Foys

(HS)
Faisons un post pour entamer un peu le prestige de ces fameuses mesures "additives mais non sigma-additives sur $\N$" parce que là aussi, il y a malentendu je pense: elles n'apportent rien au maths et il s'agit en fait de mesures de proba au sens classique du terme, mais définies sur le mauvais espace (toutefois compact).
Dans le reste du post le mot proba signifiera systématiquement $\sigma-additive$. Les vraies probas sont $\sigma-additives$.
Dans la suite je parle de $\N$ mais il pourrait être remplacé par n'importe quel ensemble.


Soit $\beta \N$ le compactifié de Stone-Cech, (i.e. en l'espèce l'ensemble des ultrafiltres mais d'autres présentations sont possibles) de $\N$. Soit $\delta: \N \mapsto \beta \N$ l'application qui à $x \in \N$ associe l'ultrafiltre principal défini par $x$ (i.e. $\{A \subseteq \N \mid x \in A\}$). On sait que
1°) $\delta$ est une injection continue de $\N$ sur un ouvert de $\beta \N$
2°) Pour toute fonction bornée $f:\N \to \R$ il existe une unique fonction continue $g:\beta \N \to \R$ telle que $g \circ \delta=f$. Dans le reste du post une telle $g$ sera notée $\overline f$.

A) $\big(C^0(\beta \N, \R),\| \cdots \|_{\infty}\big)$ et $\big( \ell^{\infty},\| \cdots \|_{\infty}\big)$ sont des $\R$-algèbres de Banach isomorphes ($\ell^{\infty}$ désignant l'ensemble des fonctions bornées de $\N$ dans $\R$) Et le reste du présent poste consiste à établir fastidieusement des corollaires de ça. On en déduit aussi un isomorphisme entre leurs duals, si $\psi$ est une forme linéaire continue de $\ell^{\infty}$ on notera encore $\overline {\psi}$ l'unique forme linéaire continue de $C^0(\beta \N, \R)$ telle que $\overline {\psi}(\overline g)=\psi(g)$ pour tout $g \in \ell^{\infty}$. Compte-tenu du théorème de Riesz, on voit que $\ell^{\infty} \: '$ n'est rien d'autre que l'ensemble des mesures signées sur $\beta \N$ et en particulier que pour toute forme linéaire $\zeta: \ell^{\infty} \to \R$ positive (i.e. telle que pour toute suite bornée à termes positifs $x\in \ell^{\infty}$), il existe une mesure $\mu$ positive borélienne sur $\beta \N$ telle que $\mu(\beta \N)<+\infty,$ $\mu$ est $\sigma$-additive, et pour tout Borélien $T\subseteq \beta \N$ et tout $\varepsilon>0$ il existe $K\subseteq T$ et $U$ tel que $T \subseteq T$, tels que $U$ est ouvert et $K$ compact, et tels que $\mu(U \backslash K)<\varepsilon$.

Soit $m:\mathcal P(\N) \to [0,1]$ une fonction telle que $m(\N)=1$ et pour tous $A,B \in \mathcal P(\N)$ tels que $A \cap B=0$, $m(A)+m(B)=m(A \cup $. Alors il existe sur $\ell^{\infty}$ une unique forme linéaire positive $\psi$ telle que $\forall A \in \mathcal P(\N), \psi(1_A)=m(A)$.
Pour le voir soit $A$ l'ensemble des $f: \N \to \R$ telles que $f(\N)$ est fini. Alors $A$ est un sous-espace vectoriel dense de $\ell^{\infty}$ :si $g \in \ell^{\infty}$ considérer pour $n \in \N$, et $k \in \{0,1,...,2^n-2\}$ (resp. $k=2^n-1$) $A^n_k:= \{p \in \N \mid \frac{k}{2^n} \leq g_p <\frac{k+1}{2^n}\}$ (resp $\{p \in \N \mid \frac{2^n-1}{2^n} \leq g_p \leq 1\}$) et poser $\gamma_n:=\sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{k}{2^n} 1_{A^n_k}$, de sorte que $\| \gamma_n-g\|_{\infty} \leq 2^{-n}$ d'où la densité. Si maintenant $m$ est une fonction ensembliste comme dans l'énoncé, on construit trivialement $I_m :A \to \R$ une forme linéaire positive telle que $I_m(1_A)=m(A)$ pour tout $A\in \mathcal P(\N)$ (il n'y a qu'une seule telle $I_m$), on voit que comme $I_m$ est croissante elle est continue pour $\|\cdots \|_{\infty}$ et donc qu'elle se prolonge en unique forme linéaire continue de $\ell^{\infty}$ par densité de $A$ vérifiant les propriétés voulues.

En résumé, grâce à A) et ci-dessus, on a des bijections violemment canoniques entre:
-L'ensemble des mesures de proba ($\sigma$-additives, au risque d'être lourd)de Radon sur $\beta \N$
-L'ensemble des formes linéaires positives de $\ell^{\infty}$ envoyant $n\mapsto 1$ sur $1$
-L'ensemble des fonctions ensemblistes additives de $\mathcal P(\N)$ dans $[0,1]$ envoyant $\N$ sur $1$.

En résumé si $Q:\mathcal P(\N) \to [0,1]$ est une telle fonction additive, il y a une unique mesure de Radon $\overline Q$ sur $\beta \N$ telle que pour toute partie $A\subseteq \N$, on ait $Q(A)=\int_{\beta_\N} \overline{1_A}(x) d\overline Q (x)$. Mais $1_A$ et $\overline{1_A}$ ne sont pas égales, elles ne le sont même pas presque partout pour $\overline{Q}$ en général.
Si $Q$ est "diffuse", $\N$ est carrément de mesure nulle pour $\overline{Q}$!!

afk

@CC Merci pour les piques qui tombent a l'eau.

Tel que je le vois tu confonds l'oeuf et la poule.

Il y a deux types de "hasard"
- Le hasard non-deterministe de la MQ qui est irreductible et absolu.
- Le hasard deterministe ou l'aspect aleatoire represente notre manque d'information. Le lancer d'un de est l'exemple basique. Mais c'est aussi le cas toute la physique statistique qui explique les proprietes macroscopiques (temperature, pression, entropie) des gaz parfaits avec des probas sur un espace de configuration fini.

Le formalisme probabiliste n'a pas le meme sens dans les deux cas.

Dans le cas d'un de, meme si le lancer est deterministe, on a un phenomene chaotique: un infime changement dans les condition initiales conduit a un resultat totalement different. C'est ce qui rend le point de vue probabiliste bien plus efficace. La MQ ne peut pas expliquer pourquoi lancant un grand nombre de fois un de equilibre, la frequence de chaque face va tendre vers 1/6 car tout est dans la facon de le lancer. Si on a une machine tres finement calibree on peut avoir 100% de 6. J'ajoute que le point de vue probabiliste n'est qu'une approximation. Il est en fait tres difficile de simuler en pratique des tirages parfaitement independents d'une loi donnee.

Les point sur lesquels on est d'accord sont
A) Le formalisme (et l'interpretation qui va avec) de la MQ correspond a un formalisme probabiliste.
Une theorie du tout devrait avoir un fondement quantique.
mais ca n'est pas dire grand chose. Quand tu affirmes que la MQ justifie les raisonnements probabilistes, tu n'en donnes pas de preuve. Ce qui est bien dommage par ailleurs, cela m'aurait heureusement surpris.


Quant a l'invariance des lois de la physique par symetries (translation dans le temps n'etaant qu'un exemple), c'est un principe independent de la MQ. La relativite restreinte et generale sont chacune basee sur ce principe (invariance des lois de Maxwell par changement de referentiel). Donc je ne comprends pas l'argument: "tu supposes l'invariance donc tu releves de la MQ".

Allez, je te laisse repondre a Foys (a son vrai exemple de jeu stp, pas a ta traduction qui n'a plus rien a voir avec).

christophe c

@afk, il n'y avait aucune pique détournée, ma phrase est on ne peut plus cash (faut d'ailleurs que je réécrive à Bruno qui a pris parti en fermant l'autre fil). Je la reproduis : citation de moi-même = << je simplifie, car je veux éviter les HS comme ils ont été imposés dans un autre fil où certains ont voulu essayer de parler de stats inférentielles, qui n'étaient pas du tout le sujet>>

C'est un reproche on ne peut plus direct, pas une pique. Et d'ailleurs, je peux te le ré-adresser à propos de ton dernier post. Si tu veux progresser*** , il faut que tu arrêtes de jouer au chat et à la souris. Quand je dis bleu,

au lieu de me répondre "moi, afk, je ne suis pas d'accord avec toi, je défends la position nonbleu, voici mes arguments blabla",

tu me réponds "je te signale que tu es entrain de dire bleu sans le faire exprès, alors consulte et sache que nonbleu"

Alors même si pour toi c'est une façon de dire non bleu, cette forme de discours rend l'échange extrêmement difficile.

C'est ce que tu viens de faire en ne me reconnaissant pas (alors que je l'ai répété 100 fois au bas mot) le fait de faire exprès et d'avoir réfléchi au fait que j'affirme que la partie2 ** que tu décris n'est pas fondée mathématiquement. Tu écris un post avec une certaine emphase pour expliquer que j'ai nié quelque chose que tu affirmes, mais tu utilises un style qui pourrait laisser penser "qu'en plus je ne l'aurais pas fait exprès et que ce serait de l'amateurisme ou de la superficialité ou de l'incompétence de ma part qui me conduirait à cette folle position non pesée"

C'est ce que tu as fait dans l'autre fil en passant ton temps à m'accuser de dire "les stats inférentielles c'est ça" pour pouvoir te positionner en disant "non, les stats inférentielles c'est ci" puis en recopiant d'interminables extraits de manuels de Terminale ou de L1 de stats

Ca ne me parait pas facile d'échanger tant que ou bien tu maintiens cette stratégie volontairement, ou bien tu t'aperçois qu'involontairement tu pratiques inconsciemment cette stratégie, et corriges le tir.

Je te cite:

afk a écrit:

Tel que je le vois tu confonds l'oeuf et la poule.

Il y a deux types de "hasard"
- (1) Le hasard non-deterministe de la MQ qui est irreductible et absolu.
- (2) Le hasard deterministe ou l'aspect aleatoire represente notre manque d'information. Le lancer d'un de est l'exemple basique. Mais c'est aussi le cas toute la physique statistique qui explique les proprietes macroscopiques (temperature, pression, entropie) des gaz parfaits avec des probas sur un espace de configuration fini.

Le formalisme probabiliste n'a pas le meme sens dans les deux cas.

On ne peut rien te cacher!!!! Est-ce que tu as seulement l'impression que j'ai un micro-millième de gramme laissé planer l'ambiguité que je ne nierais pas que le numéro (2) n'est pas mathématiquement fondé (et que je pronostique que ce n'est probablement pas mathématiquement fondable?)


Je te cite:

afk a écrit:

on a un phenomene chaotique: un infime changement dans [size=x-large]les conditions initiales[/size]

Y aurait-il le moindre milliardième de doute quant au fait que je n'ai pas abordé et détaillé ma position de la manière la plus exhaustive possible et le plus explicite possible à ce propos? :-S

afk a écrit:

Quand tu affirmes que la MQ justifie les raisonnements probabilistes, tu n'en donnes pas de preuve

Voilà heureusement un point technique. Hélas, ce n'est pas QUE ce que je dis. Ce que je dis AVANT TOUT est qu'on n'avait même pas la moindre pré-pré-pré-idée de preuve avant la MQ. Et là, la charge de la preuve ne m'appartient pas. J'attends une éventuelle preuve (que j'affirme ne pas exister).

Pour la façon dont la MQ explique (je ne pense pas avoir dit "prouve", mais même si je l'ai dit, je ne renis pas le mot "prouve") qu'il est prévisible que si on jette 1000000 fois un dé en "secouant un gobelet de manière bonne enfant et sincère" les prévisions issues des théorèmes de maths du chapitre "loi des grands nombres" se réaliseront, je veillerai à donner un plan de la preuve "célèbre" (et banale!!) de ça quand j'aurai plus de temps, menfin, je trouve ça un peu étonnant que tu ne la connaisses pas (c'est essentiellement la même que celle qui déduit le principe de Fermat des axiomes quantiques)

@foys: je te réponds demain.


*** pas dans le sens où je serais ton prof qui te donne des leçons, mais dans le sens de mieux saisir mon point de vue, pour éventuellement le démonter, ce qui me ferait on ne peut plus plaisir, je ne demande qu'à me tromper.

remarque

@Foys : intéressant développement. Un truc que je ne comprends pas dans ta conclusion. Si je prends une mesure finiment additive sur $\N$ (je ne me fais pas l'avocat des mesures finiment additives, qui pour moi, en poussant un peu le bouchon, ne sont que des trucs rigolos pour faire des contre-exemples) donnée par un ultrafiltre non principal, elle est forcément diffuse et donne $1$ comme mesure à $\N$. Or tu sembles dire que cette mesure est nulle, mais en fait, je ne suis pas sûr que c'est ce que tu sembles dire ?

Foys

@remarque:
Si $m$ est la "mesure" finiment additive, $\overline m$ la mesure de Radon sur $\beta \N$ correspondante, et pour toute $f:\N \to \R$ bornée, si $\overline f$ désigne l'unique prolongement continu de $f$ à $\beta \N$ alors $m(A)="\int_{\N} 1_A dm"=\int_{\beta \N}$$\overline{1_A}$$d \overline m$ (et non pas $\int_{\beta} 1_A d\overline m$). Donc quand même $m$ et $\overline m$ diffèrent un peu...
On a aussi le fait que si $(f_n)_{n \in \N}$ est une suite croissante de $\ell^{\infty}$ convergeant simplement vers $g\in \ell^{\infty}$, alors $(\overline{f_n})_{n \in \N}$ sera bien une suite croissante mais ne convergera plus forcément vers $\overline g$(bref le théorème de convergence monotone est faux pour une mesure non sigma additive mais ça ne crée pas de paradoxe).

Foys

En fait ce qui compte vraiment dans mon long message ce sont les points mis en bleu et rouge. Dans l'exemple extrême où $m$ est définie par l'ultrafiltre $U$ $\overline m$ est la masse de Dirac en U...

christophe c

foys a écrit:

Ce n'ets pas la même chose (je ne vois pas en quoi ça simplifie la lecture), ça sert surtout à transformer l'énoncé en un autre que tu peux critiquer?

Je ne cite pas la suite, mais je n'adhères pas du tout à ton argument, ni à la suite qui semble consister à dire "on prend ceci et cela comme admis car on peut mieux travailler avec" comme justification "qu'un truc est vrai".

Je veux bien convenir tout ce que tu veux sur la pratiquitude de tels et tels axiomes, mais ça ne les rend pas préférables. Si j'ai pris le jeu "qui pense au plus grand entier", c'est pour faire simple. Mais si tu supposes l'hypothèse du continu, tu peux jouer à qui pense au plus grand réel, et le jeu non seulement se joue avec la mesure de Lebesgue, mais en plus pour chaque réel x, et ce qu'il soit penser par Alice ou par Bob, l'autre joueur ne perd que s'il joue un réel dans un ensemble dénombrable. Tout est sigma-additif et complètement classique.

Or tu sais aussi boen que moi qu'on n'a pas d'arguments mathématique incontestables à l'heure actuelle pour prouver la négation de l'hypothèse du continu.

Bref, parle-t-on de la même chose, sur quoi sommes-nous en désaccord? Si on s'en tient à ton jeu exemple, je ne vois pas pourquoi tu le vantes comme concluant. si tu pouvais préciser ce point?

afk

Pourquoi refuser de répondre sur l'exemple de Foys qui a un ensemble fini.

Si ton raisonnement ne tient pas sur le cas basique d'un ensemble fini c'est qu'il est faux non?

christophe c

De mon téléphone @afk. Peux-tu approfondir un peu ta lecture tu as comme je t'ai l'ai dit tendance à repondre CHAQUE FOIS à côté.

Ce n'est pas moi qui "fait un raisonnement". C'est FOYS!!!

Ma réponse est "si ton exemple me convaincait alors celui que je lui substitue DEVRAIT AUSSI me convaincre. Ce qui n'est pas le cas.

Pour les lecteurs je rappelle la mission impossible que foys essaie de réussir: convaincre par des arguments UNIQUEMENT MATHEMATIQUES que les casinos ont vocation à faire des bénéfices. Je ne critique pas foys.

afk

C'est ça continue à me lancer des piques en évitant de répondre sur le fond .

christophe c

:-X :-X :-X :-X :-X :-X :-X :-X

Quelle pique t'ai-je lancé? Au lieu d'échanger sainement tu remplaces le mot "critique" par le mot "pique". Oui, je te l'ai adressé [large]une critique![/large]

Ce n'est pas une "pique".

Et elle est manifestement fondée puisque dans ton avant-dernier post, tu ne semblais même pas au courant des différents statuts qu'on a foys et moi dans cette histoire (que tu n'as pas suivie, elle n'a pas commencé avec ce fil): il essaie de prouver quelque chose et j'essaie de lui dire si oui ou non je suis convaincu. Autrement dit, je suis "le sceptique".

Ton dernier post est une forme d'aveu de trolling, car tu écris <<en évitant de répondre sur le fond>> après avoir lu dans un post de quelques lignes (donc peu réaliste de penser que tu ne l'as pas lu) que je disais << Ce n'est pas moi qui "fait un raisonnement". C'est FOYS!! >>. Tu sais donc que je n'ai pas le statut de qui doit prouver et pourtant tu m'accuses de ne pas répondre. Je ne peux pas croire que tu ne le fais pas exprès.

Mais question: où veux-tu en venir exactement :-S ?

Je ne suis pas le seul sceptique!!!! Rien ne t'interdit de dire à foys qu'il t'a convaincu TOI qu'on peut prouver mathématiquement, sans faire aucune hypothèse physique** que les casinos feront des bénéfices. Vu le mal qu'il s'est donné, il n'y sera pas insensible.

Mais permets-moi d'avoir un avis différent.

** qui n'affirme pas d'avance ce qu'on veut prouver, ie qui n'affirme pas d'avance la fiabilité de l'approche fréquentiste, évidemment, on peut (et doit) faire des hypothèses inoffensives (représenter les jeux de casinos avec des ensembles finis de numéros, etc)

afk

CC a écrit:

afk a écrit:

Tel que je le vois tu confonds l'oeuf et la poule.

Il y a deux types de "hasard"
- (1) Le hasard non-deterministe de la MQ qui est irreductible et absolu.
- (2) Le hasard deterministe ou l'aspect aleatoire represente notre manque d'information.
Le lancer d'un de est l'exemple basique. Mais c'est aussi le cas toute la physique statistique qui explique les proprietes macroscopiques (temperature, pression, entropie) des gaz parfaits avec des probas sur un espace de configuration fini.

Le formalisme probabiliste n'a pas le meme sens dans les deux cas.

On ne peut rien te cacher!!!! Est-ce que tu as seulement l'impression que j'ai un micro-millième de gramme laissé planer l'ambiguité que je ne nierais pas que le numéro
(2) n'est pas mathématiquement fondé (et que je pronostique que ce n'est probablement pas mathématiquement fondable?)

(1) n'est pas plus fonde mathematiquement que (2) et ne le sera jamais! Il n'y a pas de fondement mathematique a la realite physique. On ne fait qu'utiliser le langage mathematique pour la decrire. Ces descriptions n'en decrivent chacune qu'une partie et ne sont pas uniques. C;est ce qu'on appellle un modele! Je sais que tu es allergique a ce mot car tu ne le connais que par les programmes de l'EN donc je te proposes d'utiliser le terme "formalisation" a la place.


Ce que Foys affirme est que l'approche frequentiste est fondee mathematiquement sur des hypotheses extremement reduites et naturelles. Il donne une formalisation dont l'une des hypotheses utilisees est une propriete de symetrie. Tu critiques ces hypotheses ce qui est parfaitement ton droit. Mais la ou tu es totalement HS, c'est quand tu affirmes "supposer l'invariance par translation c'est deja de la MQ" alors que la MQ n'a strictement rien a voir la dedans. Foys te l'a dit, je te l'ai dit mais visiblement tu decides d'ignorer cela.

Pour la façon dont la MQ explique (je ne pense pas avoir dit "prouve", mais même si je l'ai dit, je ne renis pas le mot "prouve") qu'il est prévisible que si on jette 1000000 fois un dé en "secouant un gobelet de manière bonne enfant et sincère" les prévisions issues des théorèmes de maths du chapitre "loi des grands nombres" se réaliseront, je veillerai à donner un plan de la preuve "célèbre" (et banale!!) de ça quand j'aurai plus de temps, menfin, je trouve ça un peu étonnant que tu ne la connaisses pas (c'est essentiellement la même que celle qui déduit le principe de Fermat des axiomes quantiques)

C'est allechant. Je suis reellement impatient de lire cette preuve. Si tu n'as pas le temps de la rediger proprement (et quand as-tu le temps de rediger proprement quoi que ce soit? ), une simple reference me suffira amplement.

Siméon

Quand Christophe parodie Magritte :

christophe c

De mon téléphone : @afk. Voilà un post qui est précis!! Merci. Mais je suis déconcerté car en gros tu dis que tu es d'accord à 90% avec tout ce que je me suis épuisé à dire et ce des la première phrase.

En plus il n'est même pas très clair que tu m'attribues lesdites positions (ta phrase la plus spectaculaire étant "je propose formalisation à la place de modèle").

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec la modération que tu attribues à la position de foys mais il est bien mieux placé que moi pour la rappeler de toute façon.

Sur les 10% restants : j'ai bien noté que tu attends une preuve que la MQ fonde le fréquentisme et un explication detaillée que la MOINDRE utilisation d'une stabilité de l'ensemble des mondes possibles par certaines transformations dans un raisonnement déductif C'EST DEJA FAIRE DE LA MQ.

Comme tu dis je dis souvent "promis je détaille plus tard" et tu as raison. Mais au moins, je reconnais que je le promets.

Sur les 90% d'accord je précise aussi quand-même mais c'est un autre sujet que je suis en désaccord totale avec "la forme du discours" que tu utilises même s'il est équivalent. Je trouve qu'il se veut présenter certains points clé comme des détails même s'il les reconnaît vrais.

Georges Abitbol

Désolé d'apporter mon grain de sel, mais j'aimerais bien comprendre votre point de désaccord.

Christophe, quand tu dis

christophe a écrit:

Autrement quand le prof de seconde ayant lancé 6000 fois son dé fait remarquer aux gamins que la proportion des 5 est d'environ 1000/6000 et que ça illustre "la loi des grands nombres au sens des théorèmes de maths qui l'énoncent", il ment gravement à sa classe.

est-ce que tu veux dire quelque chose comme : la théorie des probabilités, en particulier la (les) loi(s) des grands nombres, n'explique pas ce phénomène, mais a choisi leurs axiomes de sorte que dans sa formalisation, ce phénomène devienne un théorème ?
Et si je comprends bien, tu dis que s'il y a une explication, elle est à chercher du côté de la mécanique quantique et non des maths ? Si oui, une référence m'intéresse aussi ! Mais je croyais que la mécanique quantique aussi avait choisi ses axiomes pour expliquer les expériences bizarres qui ont été faites...

Et Foys, tu cherches à démontrer que c'est quand même miraculeux que des axiomes si "naturels" entraînent quand même ces théorèmes ?

samok

Bonsoir,

C'est pas que je sois foncièrement contre le mensonge, mais j'aimerais prendre conscience de mon mensonge car effectivement je suis un menteur sur ce coup.

Mais comme d'habitude dans ces cas là avec toi, sieur CC, je suis sûr que c'est une histoire de mots et de non-dit.
Par ailleurs que dis-tu à tes élèves à part que toi tu es droit dans tes bottes, que tu ne leur mens pas, que tu les informes ?

Les propos ci-dessus sont peu aimables, mais bon c'est pas la première que tu traites des personnes de menteur, sans explication. Le premier qui me vient et qui fréquente le forum est sieur Rescassol.

S

Foys

christophe c a écrit:

@foys: je ne te comprends pas. On se moque bien de qui a inventé "les jeux à stratégies mixtes", là n'est pas la question. Ton argument est que tu proposes un jeu à information cachée qui est une partie $R$ de $E\times F$ et argues que pour chaque $X \in E$, il y a une proportion écrasante de $y \in F$ tels que $(x,y)\in R$. (Bon, tu sous-entends peut-être que pour chaque $y \in F$ la proportion des $x \in E$ tels que $(x,y) \notin R$ n'est pas aussi écrasante, mais ce n'est pas explicite, car la seule phrase que tu as prononcée est que "Bob a un nombre écrasant de coups à jouer qui gagnent" (tu n'as pas parlé d'Alice).

Cette proportion est en fait minuscule dans les exemples que j'ai cités et il est par suite quasiment impossible qu'Alice gagne (exercice de dénombrement).


Quant aux casinos, ils gagnent en détruisant de l'information, et parient non pas sur la "loi des grands nombres" mais sur le fait que collectivement les joueurs ne savent pas trouver les coups gagnants (noyés au milieu de la très écrasante majorité de coups perdants), l'information nécessaire leur étant dissimulée (par les cartes mises faces cachées puis mélangées, les dés bougés dans un gobelet opaque, ou alors le gain étant conditionné au résultat d'un tirage futur et donc de facto inconnu).



Tiens j'ai un nouvel exemple en rayon: cette fois on se donne 2500 jetons ayant chacun une face noire et une face blanche (ex: des jetons de reversi). Les faces sont indiscernables au toucher. Cette fois Bob a les yeux bandés, Alice met les jetons sur la table. Bob perd s'il enlève son bandeau, il peut retourner les jetons comme il le souhaite,on lui laisse un jour pour jouer et il gagne dès que la proportion de jetons qui ont une face noire visible n'est pas comprise entre 0.4 et 0.6 (i.e s'il y a moins de 1000 jetons noirs ou plus de 1500).
Bon bah je n'aimerais pas être Bob... C'est quasiment infaisable (sauf technique spéciale propre aux graphes et inconnue de moi) et pire, Alice pourrait disposer les jetons en étant aveugle elle aussi, elle serait quand même avantagée (pour voir pourquoi c'est dur: en fait Bob se déplace dans un graphe gigantesque sans savoir où il se trouve, chaque sommet est relié à 2500 autres et il essaie d'atteindre un ensemble de sommets dont la proportion est inférieure à 8.85*10^(-24) dixit PARI GP).
Reposons la question rituelle: Lien avec la MQ? (autre que "Alice et Bob sont constitués d'atomes").


Mes exemples ont aussi pour but de dire qu'il est difficile de construire un élément de $\{0,1\}^{2500}$ dont la proportion de $1$ n'est pas dans $[0.4,0.6]$, à moins de contrôler étroitement la construction d'un tel $2500$-uplet.
J'ai également l'impression que des gens croient que au fond comme $[0.4,0.6]$ est "petit" dans $[0,1]$ (seulement 1/5 de tout l'intervalle en taille), il serait au contraire facile de "sortir" de cet intervalle, et alors la proximité du nombre de piles avec la moyenne serait donc une anomalie ou un phénomène étrange provoqué par une loi physique inconnue... Eh bien ce point de vue est totalement faux et j'essaie de le combattre comme je peux, voilà tout.

Foys

Georges Abitbol a écrit:

Et Foys, tu cherches à démontrer que c'est quand même miraculeux que des axiomes si "naturels" entraînent quand même ces théorèmes ?

Je ne saisis pas trop ce que tu veux dire.
Si on démontre un résultat de toute façon, il perd de sa magie (je ne trouve plus que c'est un miracle bien au contraire).

edit::-X je n'en peux plus de faire cette faute de frappe...

Georges Abitbol

C'est pas grave, c'est moi qui ne t'ai pas compris.e ! J'essaie de voir où est votre désaccord, parce que si la position de Christophe est (et je pense que c'est ça) : "la théorie des probabilités ne prévoit pas ce qui arrive en lançant une pièce six mille fois, bien au contraire : elle choisit ses axiomes pour démontrer ce qu'on a envie qu'il arrive" alors je ne vois pas comment on pourrait être en désaccord avec ça.

afk

@Georges

1) L'intuition des axiomes de Kolmogorov n'a rien a voir avec la loi des grands nombres (mon intuition en tout cas). Le fait qu'on puisse demontrer ce theoreme qui formalise l'experience sur la base d'axiomes aussi minimalistes continue personellement a m'etonner.
2) Mon interpretation de ce que dit Foys: sur la base d'axiomes ultra-minimalistes plus une condition de symmetrie, on obtient des resultats qui se traduisent en strategies de jeu effectives dans un cadre fini.
3) Christophe a expliquer traduire l'exemple de Foys et a ensuite conteste ses conclusions sur les bases de sa traduction. Mais personne ne semble avoir compris le lien entre l'exemple de Foys et la traduction de CC.
4) Christophe affirme de plus que "ta condition d'invariance par translation dans le temps, c'est deja de la MQ". J'ai beaucoup de mal a voir comment ca pourrait etre vrai etant donne que toute la physique depuis des siecles est basee sur ce principe mais CC a promis de detailler.
5) Le point majeur: Christophe affirme que "la MQ prouve les probas frequentistes"! Il a promis une preuve que j'attend impatiemment. Poster un lien vers une reference ne prend que 2 minutes donc on devrait l'avoir demain.

Dom

Les maths ne font-elles pas que cela ?
On invente le produit scalaire (axiome) puis on démontre le théorème de Pythagore.
Ou bien, on pose les axiomes des aires, etc.

Mais ce n'est peut-être pas du même ordre... ?

christophe c

@foys: je ne comprends pas ce que tu veux dire par ton nouveau jeu (qui n'apporte rien de plus par rapport à ceux que tu as déjà postés). Tu prends des jeux où pour chaque x, il y a beaucoup de y tels que y bat x et où pour chaque y, il y a peu de x que y ne bat pas, mais comme je te l'ai dit, même en respectant toutes les exigences (pourtant non nécessaires, sigma-additivité, etc), on peut faire des jeux où pour chaque x (presque) tous les y battent x MAIS AUSSI pour chaque y, presque tout x est tel que y ne bat pas x.

@Georges, c'est très simple, tout est d'ailleurs dit dans la forme vulgarisée que samok a repris et que tu as citée sur les 6000 lancers. Il n'existe pas de preuves exclusivement mathématique que la phrase que tu cites est fausse, c'est tout.

@afk: concernant ton (3), si si foys je pense l'a compris et est en train de chercher s'il existe une possibilité de "sauver" ses jeux.

Encore une fois (je suis pressé), le titre du fil est "fréquentisme". Autrement dit, l'opposé du noyau de la théorie de la mesure (qui compte combien d'issues de ce qu'on a choisi comme univers gagnent). Je suis assez étonné de l'acharnement de foys à "compter" des issues en espérant fonder le paradigme qui justement prétend qu'on peut s'y prendre autrement qu'en comptant.

GG

Hypothèse 1 : un événement qui consiste en la survenance d'un cas parmi p dont on n'a aucune raison de penser que l'un surviendra plutôt qu'un autre et tel que 1/p < seuil, ne peut survenir.

Hypothèse 2 : quand je lance ma pièce, je n'ai aucune raison de penser que pile surviendra plutôt que face.

Déduction : si je lance ma pièce un million de fois, le nombre de pile sur un million sera dans [0.4, 0.6].

Si je procède à l'expérience et que ma déduction est contredite, je saurai donc que l'une au moins de mes hypothèse est fausse (0.4 et 0.6 à fixer en fonction de seuil selon les calculs classiques).

Félix

Après expérience, 0,499927
[et une crampe au poignet]

christophe c

Rapidement: je pense que foys, tu devrais peut-être repréciser si on est bien d'accord sur ce que tu essaies de faire car je t'ai attribué une ambition bien précise (celle que j'ai comprise).

Ensuite, pour les gens en général, qu'entendent-ils par l'expression "approche fréquentiste". Car à la base, ce n'est pas une formulation mathématique, ni même proche des maths, c'est un terme utilisée par des non-matheux, et pour être précis certains IPR de l'éducation nationale (qui recommandent aux stagiaires de faire les stats avant les probas en classe de seconde et de "fonder les probas du programme sur les stats").

Cela dit, comme ils n'ont pas le label "matheux", on ne peut pas leur reprocher de commettre des fautes. Or j'ai l'impression que ce vieux serpent de mer que foys affronte sur 2 ou 3 fils (celui de vouloir fonder le fréquentisme sur EXCLUSIVEMENT des maths), en nous gratifiant de nombreux théorèmes fins de maths qui semblent récents, n'a pas été défini. Ce qui me fait dire ça c'est que tous les théorèmes signalés vont dans le sens opposé quasiment à ce qu'il veut prouver, en ce sens, qu'ils sont parfaitement mathématiques et rigoureux et reposent totalement sur la théorie de la mesure (au sens large**). Or, pour moi, enfin je veux dire "ce que je pense que les fréquentistes revendiquent", la mot (vague) de "fréquentisme" consiste AVANT TOUT, voir EXACTEMENT à affirmer qu'on peut SE PASSER de l'aspect "comtage-mesure".

Pour les noéphytes, je prends un exemple:

Approche [large]non[/large] fréquentiste, par exemple, mon cours (légèrement autocaricaturé): << chers élèves, vous savez déjà tout des probas, car vous avez déjà tout fait en 5ième au collège. Il vous reste juste à vous former avec soin à la linguistique. Ne dites plus "il y a 30% de zèbres dans ce zoo", dites "si on tire au sort un animal dans ce zoo avec proba égale d'être tiré d'un animal à l'autre, alors on a une proba de 30% que ce soit un zèbre qu'on tire">>

Approche fréquentiste: voir posts précéednts et fils en lien; pas de référence à "des proportions de"

Le terme "théorie de la mesure" désigne l'activité mathématique tout à fait banale consistant à généraliser la démarche introduite en cinquième de collège de compter et diviser un poids total de sous-ensembles d'issues par le poids total de toutes les issues. C'est essentiellement l'infini qui va introduire des suppléments techniques.

Foys

christophe c a écrit:

Tu prends des jeux où pour chaque x, il y a beaucoup de y tels que y bat x et où pour chaque y, il y a peu de x que y ne bat pas, mais comme je te l'ai dit, même en respectant toutes les exigences (pourtant non nécessaires, sigma-additivité, etc), on peut faire des jeux où pour chaque x (presque) tous les y battent x MAIS AUSSI pour chaque y, presque tout x est tel que y ne bat pas x.

[size=x-large]C'EST FAUX CA[/size].
Si $\forall x \in EP\big((X,Y) \in R| X=x\big) \leq\varepsilon$ alors $P(R)\leq \varepsilon$ et si $\forall y \in F, P\big((X,Y) \in R| Y=y\big) \geq 1-\varepsilon$ alors $P(R) \geq \varepsilon$!! Et les expressions $P\big((X,Y) \in R| X=x\big)$ etc ont un sens dès que $E$ et $F$ sont des espaces métriques complets séparables (On appelle ça des lois conditionnelles; et de toute façon cette hypothèse est IMPLICITE dans ta formulation ou "pour presque tous les x... les y tels que etc").

Tu gagnerais à te former en théorie de la mesure, ne serait-ce que pour savoir ce que tu critiques, au lieu de rester dans le "ils sont bêtes ils ne savent pas inverser les quantificateurs" qui transpire de tes propos (est-ce involontaire?). Je crois que tu as toujours le même exemple en tête: l'exemple avec Zorn et une infinité de boîtes. Mais cet exemple, en plus de n'être pas concret, ne relève pas à proprement parler des probas et si on suppose la sigma additivité tu peux l'oublier.

Je détaille le cas des espaces sont finis (qui concerne la totalité de se qui se passe dans un vrai casino au passage)pour commencer si $E,F$ sont de tels espaces, en effet considérons:
-$P$ une proba sur $E\times F$(assimilée à une fonction de $E\times F$ dans $[0,1]$ telle que $\sum_{(x,y)\in E\times F} P(x,y)=1$).
-On notera pour $x \in E$, $P_E(x):=P\left (\{x \}\times F \right)$ et pour $y \in F$, $P_F(x):=P\left (E \times \{y \} \right)$.
Enfin soient $Q_E,Q_F: E \times F\to [0,1]$ des fonctions telles que 1° pour tous $(x,y)\in E\times F$ , $Q_E(x,\cdot)$ est une proba sur $F$ et $Q_F(\cdot,y)$ est une proba sur $E$ et 2° $\forall(x,y) \in E\times F$, $P(x,y)=P_E(x)Q_E(x,y)=P_F(y)Q_F(x,y)$.

Ces hypothèses entraînent que pour tout $x\in E$ tel que $P_E(x)\neq 0$ et tout $y\in F$, $Q_E(x,y)=P(y|x)=\frac{P(x,y)}{P_E(x)}$ (resp pour tout $y\in F$ tel que $P_F(y)\neq 0$ et tout $x\in E$, $Q_F(x,y)=P(x|y)=\frac{P(x,y)}{P_F(y)})$ autrement dit $Q_E,Q_F$ sont des lois conditionnelles et l'existence de telles fonctions est ici triviale (par ex pour $Q_E$: prendre n'importe quelle mesure de proba $\pi$ sur $F$; pour tous $(x,y)\in E\times F$ si $P_E(x)=0$ alors poser $Q_E(x,y)=\pi(y)$, sinon poser $Q_E(x,y)=\frac{P(x,y)}{P_E(x)}$)

Bref:
l'hypothèse (1) "pour tous $x\in E$, presque tous les $y\in F$ gagnent" se traduit par:
$\forall x \in E, Q_E\big(x,\{y \in F|(x,y) \in R\}\big)\geq 1-\varepsilon$ ce qui entraîne automatiquement que $P(R)=\sum_{x,y \in R} P(x,y)=\sum_{x,y \in R} P_E(x)Q_E(x,y)=\sum_{x\in E}Q_E\big(x,\{y \in F|(x,y) \in R\}\big)\geq 1-\varepsilon$ (i)
'hypothèse (2) "pour tous $y\in F$, presque tous les $x\in E$ perdent" se traduit par $\forall y \in F, Q_F\big(\{x \in E|(x,y) \in R\},y\big)\leq \varepsilon$ et entraîne par un calcul analogue $P(R)\leq \varepsilon$ (ii)
COMMENT PEUT-ON AVOIR (i) et (ii) en même temps, dès que $\varepsilon < \frac{1}{2}$?

Foys

@christophe c concernant ton dernier message: je suis dans un cadre non fréquentiste. Mais je montre qye des énoncés fréquentistes peuvent en être déduits (ou d'apparence fréquentiste, comme dans ces jeux finis ou la quasi-totalité des parties exhibent des comportements conformes aux prédictions fréquentistes).

Foys

Ce que fait un casino, c'est qu'il joue une seule partie dans toute sa carrière: cette partie est dans $\prod_{k=1}^n E_k \times F_k$ avec $n$ très grand, les joueurs jouent collectivement $v \in \prod_{k=1}^n \in F_k$, le casino prend une liste de décisions $u\in \prod_{k=1}^n E_k$ mais l'ensemble $R\subseteq E_k \times F_k$ des parties où le casino gagne de l'argent est tel que $\displaystyle{\frac{card(R)}{card(R^c)}}$ est réellement gigantesque (quoique les formes particulières des amusettes présentées par le casino masquent cet aspect,que la plupart des gens ne comprennent jamais d'ailleurs vu qu'ils s'émeuvent d'histoires de pile ou face répétées).
Un casino prend des risques lui aussi mais ils sont petits au point de passer inaperçus.

christophe c

@foys: je n'ai pas eu le temps de lire, mais tu as écrit en très grands caractères [large]"c'est faux ça"[/large] à un truc que je t'ai prouvé à un des posts d'avant.

Il est résulte de l'hypothèse du continu qu'il existe une partie $R$ de $[0,1]^2$ vérifiant les deux choses suivantes:

1) $\forall x : \{y\mid (x,y)\notin R\}$ est dénombrable

2) $\forall y : \{x\mid (x,y)\in R\}$ est dénombrable

Donc ton "c'est faux ça" est parfaitement connu et de statut parfaitement transparent (en fait, il est équivalent , je crois, à l'hypothèse du continu, mais c'est un exercice pas forcément facile pour la réciproque, mais elle ne nous concerne pas). Tu affirmes donc que HC est fausse. On en attend avec impatience une preuve :-D Woodin va être jaloux.

A noter que HC n'est pas nécessaire pour prouver le même théorème où on remplace "dénombrable" par négligeable. Tu affirmerais donc que ZFC est contradictoire???? :-D Là, vraiment j'ai hâte!!!

foys a écrit:

Tu gagnerais à te former en théorie de la mesure, ne serait-ce que pour savoir ce que tu critiques, au lieu de rester dans le "ils sont bêtes ils ne savent pas inverser les quantificateurs" qui transpire de tes propos (est-ce involontaire?)

Ah merci de me donner l'occasion de reproduire une blague qui m'a fait rire au cinéma pendant plusieurs minutes:

<<afk, sors de ce corps!!!!!>>

:-D :-D

Concernant la notion de jeu, ma thèse (c'est annoncé dans l'introduction) n'a ni plus ni moins que la prétention de classer tous les jeux possibles et imaginables. Son côté "et on parle du fondement quantique" est secondaire. Je suis un peu étonné que tu penses que je parle de jeux en néophytes puisque je prétends les avoir tous classés. (Je te mettrai le rapport du rapporteur pour que tu disposes de ce qu'il a justement pensé de cette classification)

Concernant la théorie de la mesure, je ne vois pas ce que tu me reproches??????? :-S Mon propos est justement de dire que les seuls théorèmes de maths dont nous disposons sont issus d'elle :-S :-S dès lors qu'ils concernent les probas.

Je crois que sur tes 3 dernies messages, le deuxième révèle un malentendu: pour moi, ça n'existe pas "un énoncé fréquentisme". Je pense avoir été plus que clair depuis le départ sur ce que je qualifie "le fréquentisme". C'est un paradigme (non scientifique à priori) consistant à faire contempler à des gens des manifestations de lois des grands nombres dans la nature et à dire ensuite "on pouvait prouver mathématiquement que ça arriverait, la Nature n'y est pour rien".

J'ai déjà répété 100 fois ça je pense, non? Est-on toi et moi au moins d'accord qu'on s'affronte sur cette question? (Si ce n'est pas le cas, je ne vois pas où serait notre désaccord depuis plusieurs fils où tu as semblé m'affronter là dessus)

Foys

christophe c a écrit:

même en respectant toutes les exigences (pourtant non nécessaires, sigma-additivité, etc)

est incompatible avec

christophe c a écrit:

Il est résulte de l'hypothèse du continu qu'il existe une partie $R$ de $[0,1]^2$ vérifiant les deux choses suivantes:

1) $\forall x:\{y|(x,y)\notin R\}$ est dénombrable

2) $\forall y:\{x|(x,y)\in R\}$ est dénombrable

Un tel ensemble $R$ n'est pas borélien (peut-être même pas [large]L[/large]ebesgue mesurable). Son existence n'est pas tellement plus choquante que le théorème de Banach-Tarski au demeurant.

Foys

Soit $L_d$ la tribu des sous-ensembles Lebesgue-mesurables de $[0,1]^d$. Soit $\mu_d:L_d \to [0,1]$ la mesure de Lebesgue. Soit $B_d$ la tribu borélienne.
On a classiquement les inclusions suivantes: pour tous $p,q \in \N$, $B_{p+q} \subseteq L_p\otimes L_q \subseteq L_{p+q}$. ($(...)\otimes(...)$ désignant des mesures produits)
Pour tout $R\in L_p \otimes L_q$, $\mu_{ p+q}=\int_{[0,1]^q} \mu_p\{x : (x,y)\in R\}d\mu_q(y)=\int_{[0,1]^p} \mu_q\{y : (x,y)\in R\}d\mu_p(x)$.

Et ça ça n'a rien d'une nouveauté bancale; c'est le théorème de Fubini, maîtrisé depuis un siècle ou plus. Rien de nouveau...
Bref ton $R$ n'est pas dans $L_1\otimes L_1$. Ce n'est pas un candidat correct pour ce qu'on pourrait appeler un "jeu" vraiment praticable...

Notamment parce que si $F$ est le plus petit ensemble de fonctions de $[0,1]^d\to \R$ stable par limite simple, contenant tous les $1_P$ (avec $P$ produit d'intervalles), $R$ n'est pas de la forme $f^{-1}(B)$ avec $B\subseteq \R$ borélien et $f\in F$, simplement parce que $F$ est l'ensemble de toutes les fonctions boréliennes. $R$ est donc indescriptible si on peut dire.

Dom

@cc
Je ne comprends pas : 30% est bien la fréquence des zèbres parmi les animaux, non ?

christophe c

De mon téléphone : :-S je ne comprends vraiment t pas où tu veux en venir. Quel rapport y - a-t-il entre le fait de prendre un ensemble borélien comme exemple et notre discussion?

Pourquoi veux tu te mettre dans une situation où tu peux appliquer Fubini?

Tu as proposé des exemples jeux où "jouer aleatoirement" donne un avantage par rapport à celui qui joue un coup fixe en te servant ensuite du fait que l'un des deux joueurs est dans cette situation d'être avantagé et pas l'autre et d'abord tu n'as pas précisé que l'asymétrie comptait pour toi. Puis dans un post suivant tu as semblé "attaché" à cette assymétrie (ce n'était pas clair que tu la pretendais déductible ou pas) donc chaque fois que tu as ajouté une exigence je t'ai fourni un jeu qui y réponse mais ne vérifie pas ce qui semble être tes conclusions.

Maintenant tu sembles dire "ah oui mais je ne veux que des jeux boréliens et pouvoir appliquer Fubini" (Autrement dit ne traiter que les jeux sans intérêt). Et pourquoi pas uniquement ded jeux finis à tous les niveaux de description :-D ?

Pourrions-nous repreciser de manière très précise notre desaccord. Cela fait plusieurs fois que je répète ce que je t'attribue comme position dans le debat (voir post précédent par exemple). Comme tu as poste plusieurs interventions savantes avec citation précises je me suis dit que tu VALIDES que tu acceptes le rôle que je t'ai prêté (sinon ce serait le premier truc à contester avant tout autre).

Or je ne vois aucun rapport entre tes arguments et ledit rôle. Tu donnes QUELQUES exemples et pour etre constructif au lieu de te dire "ça prouve quoi?" je te fournis des jeux équivalents au sens du débat et te dis " si ton jeu me convaincait alors CET AUTRE jeu devrait convaincre aussi (vu les propriétés dont on se sert)" et finalement tu réponds souvent en proposa t d'autres exemples. Ou alors tu postes des remarques contenant des expressions comme "il y a très tres beaucoup de suites de zéros et de uns qui ..."

Bref : reprecison sur quoi on débat. Je n'ai rien contre les outils de la théorie de la mesure puisque DE TOUTE FACON je dis même dans ce fil qu'il n'y a QU'ELLE justement comme chapitre de preuves de pro bas.

afk

CC tu peux me donner une référence pour la preuve "MQ prouve les probas". Ça devrait pas te prendre plus de 2 minutes. Merci

christophe c

De mon téléphone non. D'ailleurs il ne s'agit pas d'UN SEUL ARTICLE mais plutôt d'un argument en quelque sorte "bien commun de tous".

Mais si tu veaux de quoi fureter c'est assez simple: la MQ SUPPOSE D'EMBLEE une nature indéterminée et impose un modèle précis dont a priori on n'est pas obligé de dire qu'il contient la réduction du paquet d'onde comme axiome obligatoire. Par contre si on veut attribuer UN POIDS aux propositions (que la plupart du temps le gens interpreteront comme une probabilité) et ajouter la réduction alors LE THEOREME DE GLEASON force à ce que ça ne puisse pas etre fait autrement que ça est SUPPOSÉ dans les manuels pour débutants.

Donc si tu veux du grain à moudre acquises deja ce théorème ( il doit etre sur wiki). Il ne fait pas tout mais deblaie pas mal le terrain.

Foys

christophe c a écrit:

J'ai déjà répété 100 fois ça je pense, non? Est-on toi et moi au moins d'accord qu'on s'affronte sur cette question? (Si ce n'est pas le cas, je ne vois pas où serait notre désaccord depuis plusieurs fils où tu as semblé m'affronter là dessus)

Je sais pas si on peut parler "d'affrontement" dans un tel dialogue de sourd. On n'est pas d'accord ça non (et je reste convaincu qu'en fait tu ne lis pas les exemples que je propose)

Par contre le "c'est faux ça" fait référence à cette nouveauté d'aujourd'hui, le passage où tu annonces en grande pompe que le théorème de Fubini est faux (avec le fameux $R\subseteq [0,1]^2$).

christophe c a écrit:

même en respectant toutes les exigences (pourtant non nécessaires, sigma-additivité, etc), on peut faire des jeux où pour chaque x (presque) tous les y battent x MAIS AUSSI pour chaque y, presque tout x est tel que y ne bat pas x.

Je remets la phrase qui m'a fait tiquer en rouge (je n'aurais pas réagi sinon).

Je rappelle les faits incontestables suivants (dont certains sont connus depuis facilement un siècle, figurent dans n'importe quel manuel de L2 vendu dans le commerce).
1°) Soient $(E,\sigma_E,\mu_E),(F,\sigma_F,\mu_F)$ deux espaces mesurés sigma-finis(*). Alors il existe sur $(E\times F, \sigma_E \otimes \sigma_F )$ (tribu produit) une unique mesure $\sigma$-finie, notée $\mu_E \otimes \mu_F$, telle que pour tout $(A,B) \in \sigma_E \otimes \sigma_F$
2°) Si $f:E\times F \to \R_+ \cup \{+\infty\}$ est mesurable alors les fonctions $y\in F \mapsto\int_{ E} f(x,y)d\mu_E(x)$ et $x\in E \mapsto \int_{ F} f(x,y) d\mu_F(y)$, à valeurs dans $\R_+ \cup \{+\infty\}$, satisfont l'égalité $$\int_{ E}\left (\int_F f(x,y) d\mu_F(y) \right) d\mu_E(x)=\int_{E \times F } f(x,y)d\mu_E \otimes \mu_F(x,y)=\int_{ F}\left (\int_{ E} f(x,y) d\mu_E(x) \right) d\mu_F(y)$$

1°) et 2°) constituent ce qu'on appelle le "théorème de Fubini".

3°) si $E=F=[0,1]$, $\mu_E=\mu_F=\mu$ (mesure de Lebesgue) et $\sigma_E=\sigma_F=\mathcal B([0,1])$ (tribu borélienne de $[0,1]$) alors $\sigma_E \otimes \sigma_F=\mathcal B([0,1]^2)$ (tribu borélienne de $[0,1]^2$) et $\mu \otimes \mu$ est la mesure usuelle de Lebesgue sur $\big([0,1]^2,\mathcal B([0,1]^2)\big)$

Enfin soit $R\subseteq [0,1]^2$ un ensemble Lebesgue-mesurable. Il existe alors des boréliens de $[0,1]^2$ notés $G,D$ tels que $\mu\otimes \mu(D \backslash G)=0$ et $G \subseteq R \subseteq D$ (c'est parce que la tribu de Lebesgue complète celle des boréliens). Dans ces conditions $$\begin{align}\int_0^1 \left(\int_0^1 1_{G} (x,y) dy \right)dx &=\int_{[0,1]^2} 1_G(x,y)d\mu \otimes \mu(x,y)\\ &=\mu \otimes \mu(G)\\ &=\mu \otimes \mu(R) \\ &=\mu \otimes \mu(D) \\ &=\int_{[0,1]^2}1_D(x,y)d\mu \otimes \mu(x,y) \\ &=\int_0^1 \left(\int_0^1 1_{D} (x,y) dx \right)dy \end{align}$$

Donc (i) supposons que pour tout $x \in [0,1]$, $ \{y\in[0,1]\mid (x,y)\in R\}$ soit négligeable. Alors comme $G\subseteq R$, $\{y\in[0,1]\mid (x,y)\in G\}$ est également négligeable pour tout $x$ et donc $x \mapsto \int_0^1 1_G(x,y)dy$ est identiquement nulle, par suite le membre de gauche du calcul ci-dessus aussi.

(ii) supposons que pour tout $y\in [0,1]$, $ \{x\in[0,1]\mid (x,y)\notin R\}$ soit négligeable. Alors comme $R \subseteq D$, $\{x\in[0,1]\mid (x,y)\notin D\}$ est négligeable pour tout $y$. Autrement dit $y \mapsto \int_0^1 (1-1_D(x,y))dx$ est identiquement nulle, $\forall y \in [0,1], \int_0^1 1_D(x,y)dx=1$ et le membre de droite du calcul plus haut vaut $1$.

(i) et (ii) entraînent 0=1.

Poste ton fameux $R$, il ne vérifie pas ce que tu dis (et ce n'est pas une contradiction dans ZFC, impossible que tous ces gens qui bossent sur ça ne l'aient pas vu, c'est dans le cursus obligatoire des étudiants de facs ces vieilleries au demeurant quasi-indispensables que sont Fubini, l'intégrale de Lebesgue etc)


[size=x-small](*)i.e. les $\mu_E,\mu_F$ sont des mesures positives, évidemment sigma-additives, et telles qu' il existe $(E_k)_{k \in \N} \in \sigma_E^{\N},(F_k)_{k \in \N} \in \sigma_F^{\N}$ tels que pour tout $n \in \N,\mu_E(E_n) <\infty $, $\mu_F(F_n)<+\infty$, $\bigcup_{n\in \N} E_n=E$ et $\bigcup_{n\in \N} F_n=F$. Lorsqu'il s'agit de mesures de probas cette dernière condition est trivialement vérifiée.[/size]