Opérateurs non bornés $||Su||>||u||$

supspé

Bonjour.

J'ai deux opérateurs $R$ et $T$ non bornés agissant sur $L^2(\R)$ tels que:

1] -$\forall a>0,\ \exists u\in D(R): ||Ru||<a||u||$.

2]-$\forall b>0,\ \exists u\in D(T): ||Tu||<b||u||$.

Peut-on dire que :

$\exists c>0,\ \forall u\in D(R)\cap D(T): ||Tu||^2+||Ru||^2>c||u||^2$. Je suppose que $D(R)\cap D(T)\not=\emptyset$

Merci d'avance pour toute réaction.

Tryss

Prend le cas $R =T$, alors $\forall c > 0, \exists u \in D(T), \|Tu\| < \sqrt{\frac{c}{2}} \|u\|$

Donc en particulier, $ \|Tu\|^2 + \|Ru\|^2 < c \|u\|^2$.

supspé

Bonjour @Tryss.

Tu n'as $||Tu||^2+||Ru||^2<c||u||^2$ que pour un seul $u$ pas pour tout $u$.

gebrane

Pour demontrer que ton assertion $$\exists c>0, \forall u\in D(R)\cap D(T): ||Tu||^2+||Ru||^2>c||u||^2$$ est fausse, démontre que sa négation est vraie:-)

supspé

@gerbrane. J'ai essayé

supspé

Ah bon, j'ai compris ce qu'a fait @Tryss.
Maintenant si je suppose que $T$ est différent de $R$.

gebrane

D'apres 1 et 2 tu as
$$\forall c>0 , \exists u\in D(R)\cap D(T), \|Tu\| < \sqrt{\frac{c}{2}} \|u\|,\ \|Ru\| < \sqrt{\frac{c}{2}} \|u\|$$ En suite mets le carré puis somme !

supspé

Il se peut que le $u$ qui vérifie $ \|Tu\| < \sqrt{\frac{c}{2}} \|u\|$ ne vérifie pas $ \|Ru\| < \sqrt{\frac{c}{2}} \|u\|$.

gebrane

Effectivement:-(

supspé

Si je fais la reformulation suivante:

1] -$\forall a>0, \exists u\in D(R): ||Ru||<a||u||$.

2]-$\exists c>0, \forall u\in D(R)\cap D(T): ||Tu||^2+||Ru||^2>c||u||^2$. Je suppose que $D(R)\cap D(T)\not=\emptyset$.

Peut on dire que :

2]-$\exists b>0, \forall x\in D(T)\cap D(R): ||Tx||>b||x||$.

remarque

Tu es d'accord que ta condition 1] implique que le $u$ en question est dans le noyau de $R$ et rien de plus ? Elle ne dit donc essentiellement rien (vu que l'on connaît très bien au moins un élément du noyau).

Voir plus bas.(td)

supspé

Si j'ai bien compris ta phrase, alors la condition 1 donne $R(u)=0$, pourqoui?

remarque

Parce que $\forall a>0$.

Par contre, elle dit un poil plus que ce que j'insinuais plus haut, à savoir qu'il existe un élément du noyau qui n'est pas nul.

Voir plus bas. (td)

Tryss

Heu remarque, pourquoi on aurait ça? Le $u$ dépend du $a$, donc $Ru$ n'est pas forcément égal à 0...

supspé

Tout ce qu'on peut dire, la condition donne : $R$ n'est pas à image fermé ou $R$ n'est pas injectif, c'est résultat bien connu.

remarque

@Tryss : très juste, j'ai affirmé n'importe quoi avec toute l'assurance nécessaire (et suffisante). (td)

remarque

Bon alors, je m'applique un peu plus. Le truc est faux en dimension finie avec $T=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ et $R=\bigl(\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$. Dans $L^2$, avec une base hilbertienne, on doit pouvoir bricoler dans le même genre.

J'espère que je n'aurai pas à barrer tout ça tout à l'heure... :-D

supspé

En fait la condition 1 donne la négation du 2 point de l'image attachée. A la lumière de ceci peut on dire quelque chose sur ma question.

Tryss

La proposition de ton image dépend fortement du caractère fermé de l'opérateur. Or ça n'est pas le cas dans ta question...