Contractilité du Cône

Krokop

Bonjour,

On considère le cône noté $C(X)$ d'un espace non vide $X: X\times [0,1]/X\times \{0\}$, le but de l'exercice est de montrer qu'il est contractile.

Je considère l'application $F: X\times [0,1]\times [0,1]\to X\times [0,1]]$ définie par $F(x,t,s)=(x,ts)$, c'est continue, constant sur les classe d'équivalences, on passe au quotient. Elle induit une application $g$ continue selon le diagramme
$$\def\commutatif{\ar@{}[rd]|{\circlearrowleft}}
\xymatrix{
X\times [0,1]\times [0,1]\ar[r]^F \ar[d]_\psi \ar[rd] & X\times [0,1] \ar[d]^\pi \\
C(X)\times[0,1] \ar[r]_g & C(X)
}$$

où $\psi=\pi \times Id_{[0,1]}$

Bon désolé j'arrive pas à enlever la flèche "diagonal", et je voulais mettre un commutatif... (premier diagramme). Bref, pour le commutatif j'ai un doute, car ne faut-il pas vérifier que la topologie de $C(X)\times [0,1]$ est la topologie quotient pour la relation d'équivalence définie par $\pi \times Id_{[0,1]}$ sur $X\times [0,1]\times [0,1]$ ?

A priori en classe on a dit par définition de la topologie produit, je n'étais pas d'accord mais j'ai capitulé faute de trouver un exemple où cela ne fonctionne pas.

Est-ce que je rate quelque chose d'évident ?

oblomov

Si je comprends bien la question, ton problème est de vérifier que $\psi$ est continue.

Dans ce cas, ce que ton prof a dû dire est que pour vérifier que $\psi$ est continue revient (par définition de la topologie produit à vérifier que $\psi_1:=\mathrm{pr}_1 \circ \psi$ et $\psi_2:=\mathrm{pr}_2 \circ \psi$ sont continues.

Pour $\psi_1$, il suffit de remarquer que $\psi_1=\pi \circ \mathrm{pr}_{1,2}$ et que chacune est continue.