Un lemme sur les carrés.

Salut
J'ai un petit exercice élémentaire a valider. Est-ce que quelqu'un peut me dire si le résultat est juste et si la démonstration que je propose est valide. Merci d'avance !
Soit $G$ un groupe cyclique (la loi est noté multiplicativement). On dit qu'un élément $x \in G$ est un carré lorsqu'il existe un élément $y \in G$ vérifiant $x=y^2$.

Edit : : hypothèse : $2$ divise $\text{Card}(G)$.

Écrivons le cardinal de $G$ sous la forme $ 2^a n$ avec $2$ premier avec $n$. Alors $$
x \in G \text{ est un carré} \Longleftrightarrow \mathcal{O}(x) \mid 2^{\alpha-1} n
$$ Où $\mathcal{O}(x)$ désigne l'ordre de $x$ dans le groupe $G$.

Démonstration
Si $x$ est un carré alors il existe $y$ vérifiant $x=y^2$, et $x^{2^{\alpha-1} n} = y ^{2^{\alpha} n}=1$ par le théorème de Lagrange.

Réciproquement $\mathcal{O}(x) \mid 2^{\alpha-1} n$. Considérons $\zeta$ un générateur de $G$. Si $x=\zeta^k$ alors $$
\mathcal{O}(x) = \frac{2^\alpha n }{\text{Pgcd}(2^\alpha n,k)}
$$ Comme $\mathcal{O}(x) \mid 2^{\alpha-1} n$ alors $2$ divise $\text{Pgcd}(2^\alpha n,k)$ et divise $k$. Ainsi, $x=\zeta^k$ alors $k$ un nombre pair

Edit : GBZM
Réciproquement $\mathcal{O}(x) \mid 2^{\alpha-1} n$. Considérons $\zeta$ un générateur de $G$. Si $x=\zeta^k$, Alors $\zeta^{2^{\alpha-1} n k}=1$, et comme $\zeta$ est d'ordre $ 2^a n$, on a : $ 2^a n \mid 2^{\alpha-1} n k$ et $2$ divise $k$.

et $x$ est un carré.

Réponses

  • Si $x=\zeta^k$, alors $\zeta^{2^{a-1}nk}$ est l'élément neutre du groupe, donc $2^an$ divise $2^{a-1}nk$, donc $2$ divise $k$.
  • Merci GBZM !

    C'est un peu moins lourd ce que tu proposes ! Merci !
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