Longueur d'une courbe sur le Tore

Krokop

Je prends $G:=\langle t_u,t_v \rangle$ où $t_{u}$ désigne la translation d'un vecteur $u\in\Bbb{R}^2$, avec $u,v$ linéairement indépendants.

En prenant un parallélogramme engendré par $u$ et $v$, c'est un domaine fondamental pour l'action de $G.$ Bref $\Bbb{R^2}/G$ est un tore, rien de nouveau.

J'aimerais définir la longueur d'une courbe sur le tore, comment procéder ?

J'imagine qu'on part de la projection canonique est qu'on "ramène" cela sur $\Bbb{R}^2$ ou qu'on prend un vecteur $x\in \Bbb{R}^2$ qu'on bouge par un élément $g\in G$ en $g(x)$ et alors le segment $[x,g(x)]$ se projète en une courbe fermée et la longueur serait la distance de $x$ à $g(x).$

M'enfin je ne vois pas comment bien formaliser, une idée ?

GaBuZoMeu

Tout dépend de la métrique que tu mets sur le tore. Tu as l'air d'avoir choisi la métrique plate qui vient de la métrique standard de $\R^2$ par le passage au quotient $p:\R^2\to \R^2/(\Z u+\Z v)=T$.
Si tu as une courbe continue $\gamma : [0,1]\to T$, tu choisis un point $M\in \R^2$ tel que $p(M)=\gamma(0)$, et alors tu as un unique relèvement continu $\tilde\gamma : [0,1]\to \R^2$ tel que $\tilde\gamma(0)=M$ et $p\circ \tilde\gamma=\gamma$. La longueur de $\gamma$ est celle de $\tilde\gamma$ (ça ne dépend pas du choix de $M$).

Krokop

J'ai choisi ce que "j'imaginais". Peux-tu préciser ce que signifier métrique plate ? L'existence du relèvement provient de quelle propriété ?

(Je précise que j'ai commencé à faire cela en lisant un bouquin de "vulgarisation" qui parle à un moment de courbe sur des surfaces. En gros je ne connais pas les termes techniques, je pourrais chercher sur google je suppose mais bon...)

GaBuZoMeu

Métrique plate veut dire en gros que le tore s'aplatit sur le plan de façon isométrique. La courbure est nulle. Tu aurais pu aussi considérer un tore plongé dans l'espace euclidien et prendre la métrique sur le tore induite par le plongement. Cette métrique-ci n'est pas plate. Si on essaie d'aplatir localement ce tore sur un plan, il se déchire au voisinage d'un point du parallèle extérieur (courbure positive), ou il fait des plis au voisinage d'un point du parallèle intérieur (courbure négative).
Le relêvement vient du fait que le passage au quotient $\R^2\to T$ est un revêtement. C'est le théorème de relèvement des chemins.

Krokop

Super intéressant tout ça, il me reste à méditer, ça va demander du temps. Merci GaBuZoMeu!

Shah d'Ock

À ce propos: http://images.math.cnrs.fr/Gnash-un-tore-plat.html