Adjoint et sous-espace propre

Bonjour,

Soit E un espace euclidien de dimension fini et u un endomorphisme de E.

On me demande de montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E, alors si F est stable par u, son orthognal est stable par l'adjoint de u. J'ai répondu correctement à cette question.

Mais après on demande ce qui se passe si F est un sous-espace propre et la je bloque. Je ne sais meme pas qu'elle est la reponse :
est-ce qu'on a alors que l'orthogonal de F est un sous-espace propre de l'adjoint de u ?
ou est-ce qu'on a que F est aussi un sous espace propre de l'adjoint de u ?

Si vous pouviez me donner une piste ce serait d'une grande aide. Merci d'avance. John

Réponses

  • Bonjour, le début on est d'accord, la première question c'est non et la deuxième pas nécessairement, en effet si $F$ est un espace propre (en particulier stable) tu as $v$ appartient à $F^{\perp}$ si et seulement si $A^{*}v$ appartient à $F^{\perp}$. Pourtant dans ce cas il existe au moins un vecteur dans $F^{\perp}$ qui est un vecteur propre à $A^{*}$, il se peut que tout $F^{\perp}$ ne soit qu' une somme directe de vecteurs propres de $A^{*}$ (prendre $A$ normal par la décomposition de Schur).
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