Bord de $\C^2$.

Bonjour.

Il bien connu que le bord de la boule centrée en 0 et de rayon 1 est le cercle unité. Maintenant c'est quoi le bord de $\C^2$, avec $\C$ est l'ensemble des complexes.

Merci infiniment.

Réponses

  • Cette question n'a pas de sens. Le cercle unité est le bord du disque unité fermé vu comme variété à bord. $\C^2$ n'est pas une variété à bord.
    Le cercle unité est la frontière du disque unité (fermé ou ouvert, peu importe) dans le plan. Dans quoi mets-tu $\C^2$ ?
  • Quelqu'un m'a dit que le bord de $\C^2$ est le groupe de Heisenberg.

    $\C^2$ est une variété, je sais qu'elle est sans bord. je voulais juste infirmer ou confirmer mon résultat.
  • Ca me paraît un peu "hors sol", ton truc. "Quelqu'un m'a dit ..."
    Quel contexte ?
  • Je suis désolé, voilà le bord de la boule unité de $C^{n}$ est le groupe de Hesienberg $H^n$, j'en suis certain maintenant.
  • Et quelle notion de bord utilises-tu ?
  • $H^n$ est de dimension réelle $2n+1$ et non compact, si je ne m'abuse. Pour le bord d'une boule de dimension réelle $2n$, c'est assez original.
    Si tu mettais à raconter des choses un peu plus sérieuses, en donnant des références par exemple ?
  • ci-attaché l'article original.
  • Pour des questions de dimension, $H^n$ ne pourrait être que le bord de la boule unité dans $\C^{n+1}$, et il resterait ensuite le problème de compacité.
    En tout cas, on ne peut rien faire avec le petit texte que tu as fini par sortir, et comme je ne me sens aucunement compétent dans le genre d'histoires que ce texte raconte, je sors.
  • En tout cas merci infiniment @GaBuZoMeu.
  • Je ne comprends toujours pas de quel genre de bords vous parlez.
  • Une boule a un bord je ne vois pas ce qu'il y a de surprenant ?
  • Ce que je trouve surprenant c'est qu'on puise considérer un bord comme un groupe.
  • Tu n'es pas surpris que le bord soit non compact, selon le texte mis en lien par supspé ?
    Par ailleurs, je ne comprends le rapport de la structure de groupe de Heisenberg avec le fait d'être le "bord" d'une boule unité dans $\C^{n+1}$.
    Mais si tu pouvais nous expliquer ça, Héhéhé, je serais intéressé.
  • En même temps, c'est un article publié dans un journal Hindawi...
  • Je précise que ma remarque était de l'ordre de la plaisanterie !
  • Je vais dire quelques banalités, histoire de remonter le moral des lecteurs. Je crois que parmi les compactifications relativement naturelles de $\R^4$ vu comme espace affine, on peut prendre l'espace projectif qui le complète et voir le sous-espace à l'infini comme "son bord"

    Idem avec $\C^2$ vu comme plan affine sur le corps $\C$, la droite à l'infini du plan projectif induit peut "moralement" porter le nom de bord.

    Truc amusant, ces deux bords optionnels n'ont pas "la même dimension".

    Bon, ce n'est pas une réponse mathématique, juste un pointe de "générosité" issue du catalogue du peu de choses que je connaisse.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • On peut même prendre le compactifié d'Alexandrov, ça nous fait une jolie sphère de dimension 4 et le "bord" au sens de Christophe est un point. :-D
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