Représentations sur $\mathrm{Hom}(V,W)$

un_kiwi

Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur cet exercice de représentations de groupes. J'ai pas mal de difficultés avec ce cours alors j'essaie de m'exercer.

$G$ est un groupe fini non réduit au neutre et toutes les représentations considérées sont sur le corps $\mathbb{C}$.
On se donne $(V,\rho_1)$ et $(W,\rho_2)$ deux représentations irréductibles de $G$.
$\mathrm{Hom}(V,W)$ est muni d'une structure de représentation définie par $g \cdot u = \rho_2 (g) \circ u \circ \rho_1(g^{-1})$, où $u\in \mathrm{Hom}(V,W)$ et $g \in G$.

1. On suppose que $V$ est de dimension $1$. On me demande d'expliciter en fonction de $\rho_1$ et $\rho_2$ une représentation de $G$ sur $W$ isomorphe à $\mathrm{Hom}(V,W)$.

Déjà, je ne comprends pas bien les différences de notations qu'on peut voir entre $\mathrm{Hom}(V,W)$ et $\mathrm{Hom}_G(V,W)$.
Ensuite si $\dim(V)=1$ alors $\rho_1(g)\in \mathrm{GL}(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^*$. Ma question est donc de savoir si l'on a $\mathrm{GL}(\mathbb{C})= \{ \lambda \mathrm{Id}_\mathbb{C}\ ;\ \lambda \in \mathbb{C}^* \}$ ?
Ensuite, je ne vois pas trop comment répondre à la question.

Merci d'avance pour votre aide.

GaBuZoMeu

$\mathrm{Hom}(V,W)$, c'est l'espace de toutes les applications linéaires de $V$ dans $W$.
$\mathrm{Hom}_G(V,W)$, c'est l'espace des applications linéaires équivariantes pour les actions de $G$, c.-à-d. celles qui vérifient $\rho_2(g)\circ u=u\circ \rho_1(g)$ pour tout$ g\in G$, autrement dit les éléments de $\mathrm{Hom}(V,W)$ fixés par l'action de $G$ que tu décris.

Si $\dim(V)=1$, alors on a un isomorphisme canonique $\mathrm{GL}(V)\simeq \C^*$ (autrement dit, modulo cet isomorphisme, $\rho_1(g)$ est un scalaire non nul).

un_kiwi

Ok d'accord c'est déjà plus clair merci. Du coup, pour répondre au début de la question 1., on a donc $(g\cdot u)(v)=\rho_2(g)(u (g^{-1} v)) = g^{-1} (\rho_2(g)\circ u)(v)$.

Une question cependant, comment sait-on que $\mathrm{GL}(V) \simeq \mathbb{C}^*$ ?

Que dois-je alors faire pour montrer que c'est bien une représentation de $G$ sur $W$ isomorphe à $\mathrm{Hom}(V,W)$ ?

Poirot

$GL(\mathbb C)$ est le groupe des automorphismes linéaires du $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension $1$ $\mathbb C$. Quelle est la forme d'un tel automorphisme ? Sinon tu peux voir ça comme le groupe des matrices inversibles de taille $1$ à coefficients dans $\mathbb C$ ;-)

un_kiwi

Ce sont toutes les homothéties i.e. les applications de la forme $\lambda \in \mathbb{C}^* \mapsto\lambda \mathrm{Id}_\mathbb{C}$ ?

Poirot

Exactement :-)

un_kiwi

Ok, merci et si on était en dimension $2$, ce serait quoi $\mathrm{GL}(\mathbb{C}^2)$ ?

Poirot

Bah tu connais bien le groupe $GL_2(\mathbb C)$ non ?

un_kiwi

Oui, ce sont les matrices inversibles à coefficients complexes, mais peut-on les expliciter ?

Poirot

Bah $$GL_2(\mathbb C) = \left\{ \left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right), a,b,c, d \in \mathbb C, ad-bc \not = 0 \right\}.$$ Que veux-tu expliciter de plus ?

un_kiwi

Ben rien au final, c'est bon ;-)
Du coup, que dois-je vérifier pour répondre à la question ?

GaBuZoMeu

Je répète, il ne s'agit pas de $\mathrm{GL}(\C)$, mais de $\mathrm{GL}(\color{\red} V)$, où $V$ est de dimension $1$. J'ai l'air d'enc. les mouches, mais il me semble important de souligner que l'isomorphisme canonique de $\mathrm{GL}(V)$ sur $\C^*$ est bien canonique, c.-à-d. ne dépend pas du choix d'une base de $V$ : les automorphismes d'une droite vectorielle sont exactement les homothéties de rapport non nul.
Cet isomorphisme canonique permet de voir $\rho_1$ comme un morphisme de groupes de $G$ dans $\C^*$.

Maintenant, je te donne la réponse à la question : la représentation de $G$ sur $W$ isomorphe à la représentation $\mathrm{Hom}(V,W)$ est
$$\frac1{\rho_1}\,\rho_2 : G\longrightarrow \mathrm{GL}(W)\;.$$
Je te laisse travailler pour comprendre cette réponse.

afk

Travailler est un bien grand mot. Appliquer betement les definitions serait plus approprie.