$\emptyset$ est-il discret ?

Bonsoir.

J'ai une question qui me gêne à savoir : l'ensemble vide est-il discret ?

Merci infiniment.

Réponses

  • Que vaut $P(\emptyset)$ ? (l'ensemble des parties de $\emptyset$) ? Conclusion ?
  • $P(\emptyset)=\emptyset$.
  • merci infiniment
  • $P(\emptyset)=\{\emptyset\}$ plutôt.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • En fait, ma question est la suivante

    On considère l'ensemble $E_{\lambda}=A_{\lambda}\cup \{(n+1)\lambda, n\in\N\}$ où $\lambda\in\{z\in\C, Re(z)>0\}$ et $A_{\lambda}$ étant une partie de $\C$.

    Pour $\lambda>0$ j'ai l'égalité suivante $E_{\lambda}= \{(n+1)\lambda, n\in\N\}$ et donc $A_{\lambda}\subset \{(n+1)\lambda, n\in\N\}$.

    Peut-on dire que les points de $A_{\lambda}$ sont des points isolés même si $A_{\lambda}=\emptyset$.
  • Toute propriété de la forme
    $\forall x \in A, P(x)$
    est vraie si A est vide.
    Si tu n'y crois pas, trouve un contre exemple ;-)
  • @gerard0, donc les points de $\emptyset$ sont isolés.
  • Oui, et ils sont aussi non isolés.
  • pourqoui ils ne sont aussi isolés?
  • Et tous les points de l'ensemble vide sont verts, aussi. (Si tu n'es pas d'accord, trouve moi un point de l'ensemble vide qui n'est pas vert !).
  • C'est vrai que la première fois que j'ai croisé l'ensemble vide pour lui donner un "sens mathématique" (abus de langage, pardon, je parle de me familiariser avec la notion, tout seul, jadis...) c'était en tant que neutre d'un groupe. Le neutre de l'opération réunion (et absorbant pour l'intersection, si on ajoute cette dernière loi).
    Vu comme cela, ça me gênait car le "neutre d'une loi" vie dans un ensemble, par exemple $0$ dans $(\mathbb Z,+)$ ou $1$ dans $(\mathbb R_+^*,\times)$.
    Ainsi, le vide de $\mathbb Z$ est le même vide que celui de l'espace des fonctions continues de $\mathbb R$ dans lui-même , et c'est le même vide de l'ensemble des chaises de mon salon, et cela, c'était (c'est ?) «pénible» à quelques égards.
  • @Dom : $\emptyset \in \{ \emptyset \}$.
  • En tout cas, pour un ensemble discret, $\emptyset$ fait beaucoup parler de lui...
  • @cc
    Merci bien.
    Le point de vue (définition naïve) qui parle de "l'intersection de tous les ensembles" me plait bien pour échapper à mes questions d'antan.
  • Je vois pas comment sans extensionnalité, le mot "ensemble" mérite encore d'être employé. C'est la moindre des choses quand même.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je viens de cacher les 35 messages hors du sujet de la question initiale.
    Supspe ayant obtenu réponse, je ferme cette discussion.
    AD
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