Forme close d'une intégrale

acetonik

Bonjour,

Question inspirée d'un autre fil, montrer, malgré les apparences trompeuses, que l'intégrale suivante admet une forme close : $$
\int_{0}^{1} \Big(\frac{ \sin(x) \cos(x)}{x} \big( \int_{0}^{2x}\frac{1-\cos(t)}{t}dt\big)+\frac{ \sin^2(x) }{x} \big( \int_{0}^{2x}\frac{\sin(t)}{t}dt\big)\Big)dx
$$ Toutes les fonctions ou constantes notoirement connues sont admissibles.
Cordialement.

YvesM

Bonjour,

C'est difficile parce qu'on ne travaille pas souvent avec les fonctions cosinus intégral $Ci$ et sinus intégral $Si.$
On montre d'abord que l'intégrale existe car l'intégrande est défini et continu sur $\displaystyle ]0,1]$ puis est équivalent à une fonction intégrable en $0$...

On calcule les dérivées, pour $\displaystyle x>0$ : $\displaystyle {d \over dx} Si(2x) = {\sin(2x) \over x}, {d \over dx} Ci(2x) = {\cos(2x) \over x} = {1-2\sin^2(x) \over x}.$
On calcule $\displaystyle \int_{0}^{2x} {1 - \cos(t) \over t} dt = \gamma + \ln(2x) - Ci(2x).$
On substitue calmement pour transformer l'intégrande ainsi : $\displaystyle \frac12 \gamma [Si(2x)]' + \frac12 [Si(2x) \ln(2x)]' -\frac12 [Si(2x)Ci(2x)]'.$
L'intégrale entre $0$ et $1$ vaut alors : $\displaystyle \frac12 Si(2) (\gamma + \ln(2) - Ci(2)) \sim 0.680199(0).$

Je ne pense pas qu'on peut simplifier bien plus, mais on doit pouvoir trouver d'autres expressions comme séries entières ou intégrales...

gebrane

@YvesM
Bonjour,
Ton calcul m’intéresse,
svp veux-tu un peu détailler ( deux ou trois lignes apres On substitue calmement pour transformer l'intégrande ainsi)

YvesM

Bonjour @gebrane0,

Quand je rédige ainsi c'est que c'est long à écrire... voici un copier/coller de mes notes :

L'intégrande est $\displaystyle \frac12 {\sin(2x) \over x} ({ \gamma + \ln(2x) - Ci(2x)}) + {\sin^2(x) \over x} Si(2x) = \frac12 [Si(2x)]' ({ \gamma + \ln(2x) - Ci(2x)}) +(\frac1x-[Ci(2x)]') \frac12 Si(2x) =\\\displaystyle = \frac12 [Si(2x)]' (\gamma + \ln(2x)) + \frac12 \frac1x Si(2x) - \frac12 [Si(2x)]'Ci(2x) - \frac12 [Ci(2x)]'Si(2x) = \\\displaystyle =\frac12 \gamma [Si(2x)]' + \frac12 [Si(2x)]' \ln(2x) + \frac12 [\ln(2x)]' Si(2x) - \frac12 [Si(2x)Ci(2x]' = \frac12 \gamma [Si(2x)]' +\frac12 [Si(2x) \ln(2x)]' - \frac12 [Si(2x)Ci(2x]' .$

Techniquement, puisque les fonctions cosinus intégral et sinus intégral appraissent, il vaut les laisser dans les expressions et ne pas tenter de les remplacer (qui sera un échec)... et puis faire apparaître des dérivées pusiqu'on intégre...

gebrane

Merci Cher YvesM
j'ai de quoi pour m'occuper pendant cette soirée
Edit je viens de comprendre ton calcul (tu)

acetonik

A peine le temps de faire mes courses et YvesM , toujours aussi perspicace, a déjà la réponse. Bravo !!

Pour générer l'exercice, j'ai tout simplement dérivé $\frac{1}{2} (\int_{0}^{2x}\frac{1-\cos(t)}{t}dt)( \int_{0}^{2x}\frac{\sin(t)}{t}dt)$.
Il est plus facile de proposer des intégrales que de les calculer, c'est bien connu...c'est pourquoi je me demande aussi si dans ce fil il n'existe pas aussi une forme close... on nous mènerait bien en bateau , non étanche, pour faire plouff !!

Cdt