Inégalité de Cauchy-Schwarz

Harastieu

Bonjour, j'ai un exercice de géométrie à réaliser grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, et je n'ai pas trouvé d'idée concrète..des idées ?

Merci

Cordialement,

Matthieu

Lake

Bonjour,

$\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i^2\right). \left(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\alpha_i^2}\right)\geq n^2$

Harastieu

Bonjour,

Désolé de cette réponse un peu tardive.

Dans ce que vous me donnez, l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'est pas utilisé et il faudrait que je l'utilise ce qui me bloque.. Une idée ?

Merci d'avance,

Cordialement,

Matthieu

GaBuZoMeu

Réfléchis mieux à la réponse de Lake. C'est bien une inégalité de Cauchy-Schwarz qu'il a écrite.

$\sum_{i=1}^n \alpha_i^2$ est le carré de la norme du vecteur $v=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Tu peux deviner sans peine l'autre vecteur $w$ que Lake a utilisé pour écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz $\Vert v\Vert^2\,\Vert w\Vert^2\geq (v\cdot w)^2$.

Lake

l'inégalité de Cauchy-Schwarz n' est pas utilisée

Et pourtant si; une version de cette inégalité:

$\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right).\left(\sum_{i=1}^ny_i^2\right)$

Harastieu

Ah oui d'accord, je vois.


Mais d'où vient le n au carré ?De

Lake

Que devient ceci:

$\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right).\left(\sum_{i=1}^ny _i^2\right)$

lorsque $x_iy_i=1$ pour $i\in\{1,\cdots ,n\}$ ?

Harastieu

Ah oui effectivement, j'ai trouvé, merci beaucoup pour votre aide.

Je vous souhaite une bonne fin de journée,

Cordialement,

Matthieu