Disque privé de l'origine

Krokop

Bonsoir,

Je faisais un exercice, j'utilise le fait que le disque (EDIT) fermé unité n'est pas homéomorphe à $\Bbb{R}^2$, finalement j'aurais besoin que cela soit le disque fermé privé de l'origine qui ne soit pas homéomorphe à $\Bbb{R}^2\setminus \{0\}.$

Je bloque, mon intuition me dit que c'est bien vrai, mais les arguments de compacité, connectivité ne fonctionnent pas (enfin je n'ai pas réussi en tout cas). Une idée ?

GaBuZoMeu

Le disque unité est bel bien homéomorphe au plan, et le disque unité privé de l'origine homéomorphe au plan [privé] de l'origine.
Exercice : donner explicitement un tel homéomorphisme.

Krokop

Désolé GaBuZoMeu, je voulais dire disque fermé !

Pour l'exercice, il suffit de prendre $x\mapsto \dfrac{x}{\vert x\vert+1}$, sauf erreur.

GaBuZoMeu

OK.

Pour voir que le disque fermé (compact) n'est pas homéomorphe au plan (non compact), c'est facile.

Quand on enlève l'origine, c'est plus coton. Faute de mieux, leurs compactifiés d'Alexandrov ne sont pas homéomorphes.

JLT

Si on enlève un point du bord au disque privé de l'origine, le groupe fondamental reste isomorphe à $\Z$.

Si on enlève n'importe quel point au plan privé de l'origine, le groupe fondamental est isomorphe au groupe libre à deux générateurs.

Krokop

Compacifié d'Alexandrov, j'ai vu ça en analyse complexe, je suppose que cela se généralise sur des espaces topologiques convenables ? Faut que je réfléchisse à tout cela.

Sii leurs compactifiés ne sont pas homémorphes a-t-on le résultat ? Marrant! Merci pour l'idée.

Krokop

Uff, merci JLT, mais je commence l'homotopie cette semaine je crois, ces notions me sont encore inconnues.

GaBuZoMeu

Deux espaces (localement compacts) homéorphes ont des compactifiés d'Alexandrov homéomorphes. Par contraposition, ...

Krokop

Merci!

Krokop

Je vois GaBuZoMeu

Je prends deux espaces localement compacts $X,Y$ que je suppose homéomorphes, on note $f$ l'application qui réaliste l'homéomorphisme; on pose alors $\widehat{f}:X\cup \{w_X\}\to Y\cup \{w_Y\}$ définie par $\widehat{f}(x)=f(x)$ si $x\in X$ et $w_Y$ si $x=w_X.$ L'application est "clairement" bijective.

La topologie définie sur le compactifié c'est la collection $\{U; U\subset X \mbox{ouvert}\}\cup \{K^c\cup\{w\}; K\subset X \mbox{compact}\}.$

Je prends alors $U\subset Y$ ouvert alors $\widehat{f}^{-1}(U)=f^{-1}(U)$ est un ouvert du compactifié, pour $K\subset Y$ compact alors $\widehat{f}^{-1}(K^c\cup \{w_Y\})=f^{-1}(K)^c\cup\{w_X\}$ ouvert aussi car $f^{-1}(K)$ est compact car $f^{-1}$ est continue. Donc $\widehat{f}$ est une application continue d'un espace compact dans un espace séparé donc c'est un homéomorphisme.

Il me reste à faire les compactifiés des deux et montrer qu'ils ne sont pas homémorphes, demain, car je suis lent d'esprit et super lent en lateX.

En tout cas je me réjouis de cette propriété.

christophe c

Ne cherche pas à prouver qu'ils ne sont pas homéomorphes tu vas galérer. Le raisonnement que tu viens de faire est suffisant en ce qu'il te suffit de prouver l'application BIEN PRECISE que tu décris (f chapeau) N'EST PAS , ELLE, un homéomorphisme.

Krokop

Ha! C'est bien vu ça, je vais voir ça demain, merci.

Archimède

       

GaBuZoMeu

Archimède écrivait:

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> $\R^2\setminus\{0\}$ est simplement connexe.

Tu es sûr, Archimède ?

Chalk

@Archimède : tu confonds avec $\R^3\setminus\{0\}$, en dimension inférieure c'est faux.

Archimède

Effectivement, j'ai crû qu'il s'agissait de $\R^3$...
Au temps pour moi !

Archimède

Le disque fermé privé de l'origine est une variété topologique à bord non vide.
L'espace $\Bbb{R}^2\setminus \{0\}$ est une variété topologique à bord vide.
Ces deux espaces ne sont donc pas homéomorphes.