Chemin qui passe par tous les points

Krokop

Bonjour,

Je considère l'ensemble $X:=\{0,1\}^{\Bbb{N}}\times [0,1]$ sous la relation d'équivalence engendré par $(x,0)=(y,0).$ Visuellement c'est un bouquet de fleurs "d'origine" $0.$

Je me demande si il peut exister un chemin qui passe par tous les points.

Intuitivement je pense que non, car en numérotant les "pointes" $x_1,\dots,x_k,\dots$ on met à chaque fois un temps positif pour aller sur le point, mais étant donné qu'on passe une infinité de fois non dénombrable, à la fin on ne peut pas espérer avoir un truc fini.

Bon, c'est mon intuition mais je n'arrive pas à formaliser cela, j'ai l'impression que la mesure de Lebesgue+famille sommable doit intervenir, mais je bloque sur la "formalisation"...

Un petit coup de pouce ? Merci d'avance

GaBuZoMeu

Il faudrait que tu précises.
Qu'est-ce qu'un chemin dans $X/\sim$ ? Une application continue de $[0,1]$ sur $X/\sim$ ? Mais alors, quelle topologie sur $X/\sim$ ? La topologie quotient de la topologie produit sur $X$ ?

P.S. $X$ a la puissance du continu, on a donc une bijection $[0,1]\to X$. On transporte la topologie de $[0,1]$ par cette bijection, et on a un chemin continu dans $X/\sim$ qui visite tout le monde.

Algèbre

Le fait que tu parles de pointes je ne vois pas. Quel structure donnes-tu à ton ensemble ?

Celle d'un graphe ou d'un espace topologique ?

Tu me fais penser au graphe quand tu dis les pointes $x_{i}$.

mojojojo

EXERCICE
Bon déjà je suppose que tu veux parler de cercles, et pas de segments $[0;1]$, sinon je ne vois pas comment ça peut ressembler à un bouquet de fleurs.

Disons donc qu'on regarde $\{0;1\}^{\mathbf N}\times (\mathbf R / \mathbf Z)$, où on a recollé tous les cercles en un même point. Tu n'as pas précisé la topologie qu'il y avait sur cet ensemble, supposons que la topologie soit donnée par les bases de voisinages suivants :

Si $(u,x)$ est tel que $x\neq 0$ alors une base de voisinages est $\{(u,[x-1/n;x+1/n]):n\in \mathbf N\}$, si $x=0=1$ alors une base du voisinage est $$\{\bigcup_{v\in \{0;1\}^{\mathbf N}} (v,[-1/n;+1/n]): n \in \mathbf N\}$$.

Maintenant prend un chemin continu $\gamma$ de $[0;1]$ dans ton espace et regarde $\bigcup_{u\in \{0;1\}^{\mathbf N} }\gamma^{-1}((u, ]1/4;3/4[))$, c'est un ouvert de $[0;1]$ et ses composantes connexes sont les $\gamma^{-1}((u, ]1/4;3/4[))$ non vides. Comme un ouvert de $[0;1]$ a au plus une quantité dénombrable de composantes connexes on en déduit que certains $\gamma^{-1}((u, ]1/4;3/4[))$ sont vides et donc que $\gamma$ ne visite pas tous les points.

Bon maintenant si tu avais en tête une autre topologie je ne sais pas ce qu'il peut se passer.

Krokop

Je n'avais pas "bien" pensé GaBuZoMeu, pour moi on met la topologie produit sur le premier terme, la topologie produit pour le produit avec l'intervalle $[0,1]$ puis la topologie quotient, merci pour le PS!

Mojojojo: pourquoi ? Visuellement n'écrase-t-on pas tout en 0 puis après c'est des tiges ?

Super ta "solution", c'est intéressant, le coup d'un ouvert contentant au plus une quantité dénombrable de composantes connexes, facile mais je ne l'avais pas imaginé!

GaBuZoMeu

Me trompé-je ou la topologie de mojojo n'est pas la topologie quotient de la topologie produit ?

Krokop

Oui pourquoi ? Est-ce parce que j'ai dit solution ?

J'ai mis solution en guillemets, cela ne correspond pas au problème mais c'est intéressant.

GaBuZoMeu

Le problème n'est pas que mojojo prend un bouquet de cercles plutôt qu'un bouquet de segments.

Krokop

Tu m'as "largué" GaBuZoMeu...

GaBuZoMeu

Le raisonnement de mojojo s'appliquerait à ton cas si $\{u\}\times {]1/2,1]}$ était ouvert dans $X$. Ce n'est pas un ouvert de la topologie produit.

Krokop

Ok, je me suis emballé par la "beauté" du raisonnement. Merci beaucoup.

mojojojo

Ça je l'ai bien dit que comme tu ne précisais pas la topologie j'en mettais une qui me semblait raisonnable. Raisonnable parce qu'on peut réaliser des bouquets dénombrables de cercles (avec la topologie que je décrit) dans $\mathbf R^2$, mais peut être que ce n'est pas ce que tu avais en tête. Dans tous les cas : dis nous quelle topologie tu mets sur $X$.

Pour les cercles plutôt que les segments en fait le mot bouquet m'a fait penser au fleures, bouquets de cercles, roses etc... Moi ça me fait plus penser à des étoiles tes segments recollés, mais chacun sa vision des choses de ce côté là :-D

GaBuZoMeu

Krokop a déjà précisé quelle topologie il considère.

mojojojo

Effectivement, j'ai lu trop vite.

Krokop

Bonjour,

Que se passe-t-il si on demande au chemin d'un surjectif ? Là j'ai l'impression que c'est bien impossible.

Foys

Krokop, cette application ne peur pas exister:

Dans $X=\{0,1\}^{\N}\times [0,1]$ on pose $V:=\{(a,b)\in X|b>\frac{1}{2}\}$. Soit $p:X \to X/\sim$
l'application quotient. Soit $W:=p(V)$. On constate que $p^{-1}(W)=V$ et donc que $W$ est un ouvert de $X/\sim$.

Soit $K:=\{(a,b)\in X|b\geq\frac{1}{2}\}$ (inégalité large cette fois) et $L:=p(K)$.
Alors $K$ est compact, et $p$ réalise une bijection continue de $K$ sur $L$, autrement dit $L$ est homéomorphe à $K$ via $p$ et on notera $q:L \to K$ son homéomorphisme réciproque.

Enfin notons $r: \to \{0,1\}^{\N}$ la projection sur la première coordonnée, i.e. $r(a,b)=a$ pour tout $(a,b)\in \{0,1\}^{\N}\times [0,1]$.

Soit $f:[0,1] \to X/\sim$ continue et surjective. Alors $f^{-1}(W)$ est un ouvert de $[0,1]$. Mais $W$ est contenu dans $L$ et l'application $r \circ q: W \to \{0,1\}^{\N}$ est surjective.

en particulier $r \circ q \circ f$ envoie surjectivement, continûment un ouvert de $[0,1]$ ie $f^{-1}(W)$ dans l'ensemble de Cantor $\{0,1\}^{\N}$. Le premier possède un ensemble dénombrable de composantes connexes, le second non. Contradiction.

mojojojo

Les ensembles $V$ et $W$ ne sont pas des ouverts de la topologie produit foys.

Moi je continue penser que la topologie de l'union disjointe est plus naturelle mais krokop a explicitement dit qu'il voulait la topologie produit alors...

GaBuZoMeu

Hum, mojojo ... Tu penses vraiment que $V=\{0,1\}^\N \times {]1/2,1]}$ n'est pas un ouvert de la topologie produit ?

mojojojo

Tu me fais douter mais la réponse à la question est oui.

Un ouvert serait quelque chose du genre $]1/2,1]$ sur un nombre fini de composantes puis $[0;1]$ sur toutes les autres.

Est-ce que je racontes n'importe quoi ?

mojojojo

Bon je crois que j'ai mal compris la topologie de krokop, je vais réfléchir !

GaBuZoMeu

Je crois plutôt que tu as mal compris la topologie produit. Si $E$ et $F$ sont deux espaces topologiques, et $U$ un ouvert de $F$, tu penses que $E\times U$ n'est pas un ouvert de la topologie produit ?

Krokop

Bonjour, belle preuve foys!!! Je l'avais vu hier mais le temps de comprendre! Merci

mojojojo

Non en fait je ne sais pas pourquoi mais fais la confusion entre l'espace de krokop et $$\prod_{i\in \{0;1\}^{\mathbf N}}[0;1]$$ ce qui n'est pas très malin. Mais je me rassure en me disant que, au moins, la topologie produit je comprends. Il me reste juste à comprendre les produits cartésiens maintenant :-P