Inégalité provenant d'une série entière

Krokop

Bonjour à tous
Dans le cadre d'un exercice je dois montrer l'inégalité suivante.

Soit $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n, \ z\in\Bbb{C}$ de rayon de convergence $R>0$ et soit $0<r<R$. Alors il existe un polynôme $P$ tel que pour tout $z\in \Bbb{C}$ et pour tout $N\in\Bbb{N}$ on ait $$\Big| \sum_{n=0}^N\frac{a_n}{n!}z^n\Big| \le P(\vert z\vert)+\exp\Big(\frac{\vert z\vert}{r}\Big).$$

J'ai un petit problème si je fais $a_n=1,$ en faisant tendre $z$ vers $+\infty$ (pour $z$ réel), on devrait donc avoir $\vert \exp(z)\vert\le P(\vert z\vert)+\exp(\vert z\vert/r)$ ce qui est problématique.

Qu'ai-je mal compris ?

Fin de partie

Pourquoi est-ce problématique?

Le polynôme dépend de $r$.

Krokop

Arf, en effet je n'avais pas pensé à ça!

Je vais réessayer donc, merci.