Autour de l'intégrale de Gauss

Harastieu

Bonjour
Dans un exercice que je dois résoudre concernant la démonstration de l'intégrale de Gauss, j'ai :

$ (\forall{x} \in \pmb{\mathbb{R}}), \hspace{0.1cm} f(x) = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \exp\Big(\frac{-x}{\cos^2t}\big) \, \mathrm{d}t $
J'ai alors démontré dans des questions précédentes que :

Pour tout x $ \geq 0 $, j'ai $ 0 \leq f(x) \leq e^{-x} ,$ j'en ai déduit la limite en l'infini de cette fonction en utilisant le théorème des gendarmes (la limite étant 0 en l'infini)

Puis j'ai démontré ces deux propositions suivantes.

Soit $b$ un réel strictement positif.
$(1)\qquad (\forall{x} \in \pmb{\mathbb{R}}), \hspace{0.1cm} ( x \leq b \Rightarrow e^{x} - 1 - x \leq \frac{1}{2} e^{b} x^2) $

$(2) \qquad (\forall{x} \in \pmb{\mathbb{R}}), \hspace{0.1cm} ( x \geq -b \Rightarrow \frac{1}{2} e^{-b} x^2 \leq e^{x}-1-x) $

Maintenant il faut que démontre cette proposition.
Soit $ (a \in \pmb{\mathbb{R}})$. Montrer qu'il existe une application $ \varphi_{a} \hspace{0.1cm} : \hspace{0.1cm} \pmb{\mathbb{R}} \rightarrow \pmb{\mathbb{R}} $, continue en a, telle que $ \varphi_{a}(a) \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} 0 \ $ et :

$ (\forall{x} \in \pmb{\mathbb{R}}), \hspace{0.1cm} \Big( f(x) - f(a) = (x-a) \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\frac{\exp(\frac{-a}{cos^2t})}{\cos^2t} \, \mathrm{d}t + \varphi_{a}(x) \Big)$
Il faut ensuite en déduire que $f$ est différentiable et donner sa dérivée $f'$.

J'ai essayé de démontrer en partant du résultat final et de retrouver $f(x)-f(a)$ mais je n'y arrive pas.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
Cordialement,
Matthieu

Chaurien

« j'en ai déduis », alors la formule a été « déduise » ?
Et l'infinie devient féminin, remarque associer la Femme et l'Infini, c'est une jolie idée...

Harastieu

Oups , petite erreur de ma part effectivement haha !

Fin de partie

On a déjà parlé de cet exo sur le forum, Bac C,1978,Liban:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,968363,968669

Chalk

Quand $x \neq a$ il n'y a pas 36 possibilités pour $\varphi_a(x)$, puis ensuite tu poses $\varphi_a(a) = 0$, et la "difficulté" est de monter la continuité en $a$. Mais est-ce que tu vois comment écrire $\varphi_a$ déjà ? (c'est dans le lien de FdP, où il a d'ailleurs lui même répondu à cette question)

Harastieu

Bonjour,

Effectivement je n'avais pas vu, merci de votre réponse !

cordialement,

Mattthieu