limite en 0 de 1/sin(t)-1/t

Harastieu

Bonjour à tous
Dans un exercice je dois démontrer que g est une fonction continue sur [0; pi/2] . J'ai donc décidé de faire la limite en 0 de cette fonction, or je ne trouve que des formes indéterminées. Quelqu'un d'entre vous aurait une idée pour me sortir de ce mauvais pas ? Merci d'avance.



Bonne journée.
Cordialement,
Matthieu

rakam

Bonjour !
Fais des développements limités
OU réduis au même dénominateur et trouves un équivalent simple du numérateur !

Harastieu

Bonjour !

Je n'ai malheureusement pas les notions de développement limité ..

et en réduisant au même dénominateur je ne trouve que du 0/0 ce qui donne une forme indéterminée..

gerard0

Bonjour.

Si tu ne disposes pas des outils convenables (*), le calcul de la limite en 0 de g est normalement préparé dans les questions précédentes.
Comme tu ne les donnes pas ...

Cordialement.

(*) par exemple si tu es en terminale

Harastieu

Je suis en L2 de mathématique mais nous n'avons pas encore vu les développement limités.. voici les questions précédentes : je ne vois aucun rapport avec celle ci malheureusement..

Utilisateur anonyme

la 1ère question utilise L'Hospital pour obtenir $2n+1$ ... ce que confirme la question suivante avec les $\cos$ ... aussi pour la 3ème question, on a continuité de la fonction après application de 2 fois cette règle ...

Chaurien

La méthode pour cette question, ce sont les développements limités. Les contourner avec je ne sais quelle gymnastique n'a aucun intérêt. Je suis étonné qu'on ne les voie pas en L1.
Sinon, si vraiment ces développements limités n'ont pas été vus, il faut savoir ce qui a été vu : équivalents ? Formule(s) de Taylor ?
Quoiqu'il en soit, on ne peut pas faire quelque chose avec rien.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Poirot

Les DL se font en sup, ça ne devrait donc pas être fait en L1 ?

Chaurien

Ben oui, c'est ce que je voulais dire. Ils se font en première année dans toutes les prépas, Math-Sup, prépa-HEC, Agro-Veto.

Harastieu

J'applique donc l'Hôpital deux fois sur la question 3 ? Je dérive une fois et je redérive ensuite ?

[Guillaume de L'Hôpital (1661-1704) prend toujours une majuscule. AD]

max8128

Voici une solution :
On pose $2y=t$ cela donne :
$\frac{1}{sin(2y)}-\frac{1}{2y} = \frac{1}{2}(\frac{1}{sin(y)cos(y)}-\frac{1}{y}) = \frac{1}{2}(tan(y)+\frac{1}{tan(y)}-\frac{1}{y})$
On s'intéresse à la limite de $\frac{1}{tan(y)}-\frac{1}{y}$ cette expression ce réécrit ainsi et s'encadre comme ceci :
$$\frac{tan(arctan(y)-tan(y))}{1+tan(y)arctan(y)}\leq\frac{y-tan(y)}{y*tan(y)}\leq \frac{tan(arctan(y)+tan(y))}{1-tan(y)arctan(y)}+y$$
Ceci est équivalent à :
$$tan(arctan(y)-y)\leq \frac{y-tan(y)}{y*tan(y)}\leq tan(y+arctan(y))+y$$
Je te laisse conclure.
Cordialement.

Chaurien

Ouah ! Impressionnant ! Il est vrai que face un tel déploiement flamboyant on a honte à écrire bêtement :
$\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x\sin x}(x-\sin x)\sim \frac{1}{x^{2}}\cdot \frac{x^{3}}{6}=\frac{x}{6}$ quand $x\rightarrow 0$.
Cet énoncé est fait pour calculer la somme de la série des inverses carrés. Il y a une autre maladresse, on en reparle tantôt.
Bon appétit.
Fr. Ch.

Poirot

max8128 a écrit:

$$\frac{1}{sin(2y)}-\frac{1}{2y} \iff \frac{1}{2}(\frac{1}{sin(y)cos(y)}\frac{1}{y})$$

Ça n'a aucun sens.

max8128

Merci Poirot c'est corrigé .

Chalk

Cela n'a pas plus de sens. Tu pourrais éviter de polluer le fil de quelqu'un qui pose une vraie question ? Ouvre ton propre fil sinon.

Edit : tu as encore modifié ton post entre temps ...