décomposition d'un sinus

Harastieu

Bonjour à tous

Dans le DM que je dois faire, je dois démontrer que sin(2n+1)t/sin(t) = 1 + la somme de k=1 à n de 2cos2kt.

J'ai vu beaucoup de sujet sur le fait que l'on peut transformer cos(2kt) en exponentielle(2ikt) grâce à la formule d'Euler, pourtant pour moi la formule d'Euler du cosinus donne (exp(i*theta)+exp(-i*theta))/2 , par conséquent pourquoi est-ce que je le vois écris comme ça, quelqu'un saurait me l'expliquer ?

Merci d'avance, je vous souhaite un agréable week-end.
Matthieu.

gerard0

Bonjour.

Tu donnes la réponse dans ton titre. Sauf que ce n'est pas "partie réelle de cos(kt)", puisque cos(kt) est un réel. la partie réelle de quoi ?

Cordialement.

max8128

Ta question concerne le noyau de Dirichlet
Cordialement.

Harastieu

Merci de vos réponses rapide,

en faite il semblerait qu'on puisse transformer cos(kt) en exponentielle (ikt) et je ne comprend pas comment est ce possible puisque la formule du cosinus d'Euler est différente ?
cos(t) = (exp(-it)+exp(it)/2 ) cos(t) = (exp(-it)+exp(it))/2

Quand je parle de partie réelle c'est parce qu'il semblerait que l'on puisse exprimer cette somme comme une suite géométrique et qu'il faudrait donc prendre la partie réelle de cette suite (en ayant apparemment posé préalablement cos(2kt) = exp(2ikt) )

Cordialement

Chalk

Juste au cas où, $\mathcal{Re}(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2}$. Remplace $z$ par $e^{ikt}$ et tu verras qu'il n'y a aucune contradiction.

max8128

Je vais te donner la solution sous forme d'exercice (tiré d'un livre d'algèbre linéaire) :
Étant donné $\theta$ appartenant aux réels , diviser suivant les puissances croissantes et à l'ordre n ,$A=1-cos(\theta)$ par $B=1-2xcos(\theta)+x^2$

Cordialement.

Harastieu

Je suis d'accord la dessus, mais pourquoi on retrouve dans les résolutions seulement cos(kt) = exp(ikt) il devrai pourtant être égale à ce que vous avez dit au dessus non ? ( donc (exp(ikt)+exp(-ikt)) / 2 )

GaBuZoMeu

Tu n'as pas réfléchi à la question de Gérard, qui était pourtant la piste utile pour ton exercice.

Je mets les points sur les i, vu que le fil part en quenouille : $\cos(\theta)$ est la partie réelle de $e^{i\theta}$.

Poirot

Oublie la réponse hors propos de max8128. Tout a déjà été dit. Tu sais que $\cos(kt) = \frac{\mathrm{e}^{ikt} + \mathrm{e}^{-ikt}}{2}$. Tu n'as plus qu'à sommer tout ça.

Ou alors simplement utiliser le fait que $\cos(kt) + i \sin(kt) = \mathrm{e}^{ikt}$, d'où $\cos(kt) = \text{Re}(\mathrm{e}^{ikt})$ et tu peux sommer ceci.

Poirot

Ce que tu écris est faux, ce n'est pas vrai en général que $\cos(kt) = \exp(ikt)$, les bonnes formules t'ont déjà été données plusieurs fois.

Chalk

Pour être sûr qu'on se comprenne, $\cos(kt)$ n'est pas égal à $e^{ikt}$ mais à sa partie réelle. Pour le reste, Poirot t'a indiqué comment procéder.

Edit : désolé, je ne suis que le troisième à avoir clarifié ça B-)-

Harastieu

Donc je ne peut pas partir de la formule d'Euler pour démontrer mon exercice ?

Chalk

Si, justement, pars de la formule d'Euler, mais applique la partie réelle sur la formule ! Le résultat est déjà écrit maintes fois sur ce fil.

Harastieu

ah oui effectivement !


mais si je veux démontrer en transformant ma somme en 2* somme de k=1 à n cos(2kt) = 2 * somme de k=1 a n de exp(-2it)+exp(2it)/2 est ce possible ?? car je bloque ...

Chalk

Poirot t'a dit que c'était possible :-)

Il reste une chose à savoir pour que ça se passe bien : $\exp(ikt) = \exp(it)^k$.

max8128

Ma réponse n'est pas hors de propos comme tu l'entends si bien Poirot , c'est un autre point de vue . L'exercice proposé permet de calculer la somme en question via un raisonnement par récurrence , comme notre ami a du mal avec le raisonnement classique j'ai jugé utile de lui offrir un autre point de vue tout simplement.
Cordialement.

gerard0

Max8128,

tu interviens ici pour te faire mousser ("moi je sais"), pas pour aider Harastieu. D'ailleurs il a, du début,. soigneusement évité de te répondre, vu que ce que tu racontes n'est pas adapté.

Harastieu

J'ai réussi, merci beaucoup à vous tous !!

passez une bonne soirée et un bon week end

cordialement

Matthieu

max8128

@gerad0 Pour être bref et ne pas polluer le fil , "Sapere aude"
En espérant t'avoir aidé Harastieu .
Cordialement.

Harastieu

Bonsoir
J'ai effectué le développement de 1 + 2cos((n+1)t)* (sin t/t)
Il faut trouver sin(2n+1)*t / sin(t)
Pourtant j'ai sin((2n+1)t)/sin(t)
Il semblerait par représentation graphique que ces deux formules soient équivalentes pourtant je pense qu'il n'est pas possible de sortir le t de mon sin que j'ai trouvé, d'où ma question, comment peut-on faire sortir t dans la relation que j'ai trouvée, il y a-t-il un moyen ou une propriété mathématique que je ne connaît pas ?
cordialement,
Matthieu

[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour ton problème. AD]

Poirot

Si tu penses que $$\frac{\sin(2n+1).t}{\sin(t)} = \frac{\sin((2n+1).t)}{\sin(t)}$$ tu te trompes lourdement.

Poirot

Si ton égalité était vraie tu obtiendrais $\sin(2n+1) \times t = \sin((2n+1)t)$. Ça ne peut être vrai pour tout $t$ car l'un de ces fonctions de ^t^est bornée et l'autre non ! Pire, l'une est périodique et l'autre non.

Harastieu

Je devais démontré ceci 1+ somme de k=1 à n de 2cos2kt = sin(2n+1)t / sin(t)

voila en image le calcul que j'ai effectué..



et

Je ne comprend pas ..

Poirot

Tu as trouvé la bonne formule, on a bien $$1+2\sum_{k=1}^n \cos(kt) = \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}.$$

Tu as juste mal lu ton énoncé.

Chalk

Ou alors les parenthèses sont mal mises dans l'énoncé.

Harastieu

malheureusement non je ne l'ai pas mal lu ... ci dessous une photo de mon énoncé ( désolé de la qualité )

Chalk

Donc les parenthèses sont mal mises, d'ailleurs elles devraient aussi apparaître dans $\sin(t)$ au lieu de $\sin t$ idéalement ...

Poirot

Le manque de parenthèse prête à confusion, en effet... Déjà le $\cos 2kt$ est ambigu au même titre.

Harastieu

Bon et bien je vous fait confiance, c'est vrai qu'il me semblait bizzare de sortir un t de mon sinus comme ça ..

Merci pour vos réponses rapide,

Bonne soirée

Matthieu

Chalk

Harastieu a écrit:

Bon et bien je vous fai(s) confiance

Tu peux :-D

Chaurien

D'accord avec gerard0, le titre du fil devrait être modifié.