L'agreg interne, encore et toujours !

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

Je fais actuellement l'épreuve d'Analyse de l'agreg interne 2005.
Dans la question II.B.4), il est demandé de montrer que si $a>0$, alors il existe un nombre réel $A_{1}>0$ tel que pour tout entier $k\geq 1$, l'on ait : $|\alpha_{k}|\sim_{k\rightarrow \infty}\frac {A_{1}}{k^{a}}$.
Le problème, c'est que je ne vois pas en quoi l'hypothèse $a>0$ est nécessaire.
Voici comment j'ai procédé :

On sait, d'après la question II.B.2) que pour tout entier $k\geq 1$, $ln|\alpha_{k}|-ln|\alpha_{k-1}|=\frac{-a}{k}+O(\frac{1}{k^{2}})$
lorsque $k$ tend vers l'infini.
On en déduit, en sommant sur $k$ de $1$ à $n$ que :
$ln|\alpha_{n}|=ln|\alpha_{0}|-a\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+
\sum_{k=1}^{n}O(\frac{1}{k^{2}})$
$=ln|\alpha_{0}|-aln(n)-a\gamma+O(\frac{1}{n})+
\sum_{k=1}^{n}O(\frac{1}{k^{2}})$
$=-aln(n)+\lambda_{n}$, où $\lambda_{n}=ln|\alpha_{0}|-a\gamma+O(\frac{1}{n})+
\sum_{k=1}^{n}O(\frac{1}{k^{2}})$.
On note $\lambda:=lim_{n\rightarrow \infty} \lambda_{n}$
Donc, $|\alpha_{n}|=|e^{\lambda_{n}}\frac{1}{n^{a}}|\sim e^{\lambda}\frac{1}{n^{a}}$, d'où le résultat.

Je n'ai pas utilisé l'hypothèse $a>0$ (ou alors implicitement, mais où ?). Mon raisonnement est-il faux ? Si c'est le cas, je ne vois pas où.
Ou bien cette hypothèse est-elle superflue ?

Merci de votre aide.

Amicalement.
Olivier.

Vianney

Bonsoir,

Je fais actuellement l'épreuve d'Analyse de l'agreg interne 2005.
Dans la question II.B.4), il est demandé de montrer que si $a>0$, alors il existe un nombre réel $A_{1}>0$ tel que pour tout entier $k\geq 1$, l'on ait : $|\alpha_{k}|\sim_{k\rightarrow \infty}\frac {A_{1}}{k^{a}}$.
Le problème, c'est que je ne vois pas en quoi l'hypothèse $a>0$ est nécessaire.
Voici comment j'ai procédé :

On sait, d'après la question II.B.2) que pour tout entier $k\geq 1$, $\ln|\alpha_{k}|-\ln|\alpha_{k-1}|=\frac{-a}{k}+O(\frac{1}{k^{2}})$
lorsque $k$ tend vers l'infini.
On en déduit, en sommant sur $k$ de $1$ à $n$ que :
\begin{eqnarray*}
\ln|\alpha_{n}| &=& \ln|\alpha_{0}|-a\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+
\sum_{k=1}^{n}O(\frac{1}{k^{2}})\\ &=& \ln|\alpha_{0}|-a\ln(n)-a\gamma+O(\frac{1}{n})+ \sum_{k=1}^{n}O(\frac{1}{k^{2}})\\ &=& -a\ln(n)+\lambda_{n} \end{eqnarray*} où $\lambda_{n}=\ln|\alpha_{0}|-a\gamma+O(\frac{1}{n})+ \sum\limits_{k=1}^{n}O(\frac{1}{k^{2}})$.
On note $\lambda:=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \lambda_{n}$
Donc, $|\alpha_{n}|=|e^{\lambda_{n}}\frac{1}{n^{a}}|\sim e^{\lambda}\frac{1}{n^{a}}$, d'où le résultat.

Je n'ai pas utilisé l'hypothèse $a>0$ (ou alors implicitement, mais où ?). Mon raisonnement est-il faux ? Si c'est le cas, je ne vois pas où.
Ou bien cette hypothèse est-elle superflue ?

Merci de votre aide.

Amicalement.
Olivier.

VK

Tu as raison, elle est superflue.

borde

<!--latex-->Si les modérateurs le permettent, je voudrais utiliser ce post pour répondre en partie à un message de simsim concernant le topic "question sur l'agrégation" car celui-ci a été fermé.
<BR>
<BR>Je prie Reï-Vi-Lhô et VK de bien vouloir m'excuser pour cette irruption dans leurs échanges.
<BR>
<BR>simsim faisait référence à une question posée il y a quelques temps sur le forum dont la teneur (en gros) était de savoir quel niveau de leçon doit-on présenter lors de l'oral de l'agrégation. Simsim n'a pas complètement tort lorsqu'il a constaté que la discussion avait digressé sur la résolution d'un exo que j'avais posté (mais c'était tellement agréable de correspondre avec le très fort Richard André-Jeannin que je n'ai pas pu résister)...
<BR>
<BR>Ceci étant, cet exo fait partie de ce qui m'est réellement arrivé lors de mon oral : la question (dans mon esprit) s'est alors posée de savoir à quel niveau j'allais pouvoir le résoudre devant le jury, et la réponse ne fut pas si évidente.
<BR>
<BR>En fait, je crois que c'est à chacun de voir : certains prétendent qu'il vaut mieux bien assurer un bon niveau prépa que de s'embourber dans des sujets de maîtrise mal...maîtrisés, d'autres pensent au contraire que, l'agrégation étant un concours qui synthétise les qualités acquises pendant les 4 premières années de l'enseignement supérieur, le jury est alors en droit d'attendre du candidat une connaissance, sinon de fond, au moins sur la forme des connaissances qu'il a à sa disposition. Personnellement, je pense que la vérité est (comme toujours) entre ces deux positions...L'oral reste une expérience unique, où il vaut mieux être capable de s'adapter <I>très vite</I> à toute circonstance, et, pour cela, je crois que la maxime <I>qui peut le plus, peut le moins</I> devrait s'appliquer.
<BR>
<BR>Toutes mes excuses encore aux modérateurs et à Reï-Vi-Lhô et VK.
<BR>
<BR>Borde<BR>

Reï-Vi-Lhô

Bonjour,

Pour VK : merci beaucoup !
Pour borde : no problémo !

Amicalement.
Olivier.