Laurent Lafforgue et Le Monde
Réponses
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Heureusement qu'il y a des choses un peu non triviales dans les manuels non?
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Salut probaloser,
j'en conviens, mais il y a des limites, je crois que cet exercice est déjà un bon exercice de reflexion pour des secondes, même si sa résolution est "élémentaire". Tiens je devrais peut-être le donner à mes étudiants pour voir...
Sur ce bonne nuit. -
Je suis même sûr qu'il suffit pour coller certains eleves de prépas.
-
salut,
ou certains profs du secondaire qui sont pas très doué pour "voir" une solution sans un papier et un crayon
cordialement,
F.D.
(si d'aucun doutent, je parle de moi) -
En fait je pensais qu'il y avait à chaque fois des solutions parce que c'était un exercice de quatrième ...
Si $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1}$, $a \neq b$, alors :
$a \neq 1$ et $a-1$ divise $a$. Donc $a=2$. Il en résulte $b=2$, puis $a=b$, ce qui est absurde.
En effet là ça demande aux élèves de démontrer une impossibilité (il n'y a pas de coup de bol) ... Merci pour ces exercices intéressants ... de quatrième ... je vais me pencher sur la suite (là il doit y avoir des solutions quand même). -
En fait je pensais qu'il y avait à chaque fois des solutions parce que c'était un exercice de quatrième ...
Si $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1}$, $a \neq b$, alors :
$a \neq 1$ et $a-1$ divise $a$. Donc $a=2$. Il en résulte $b=2$, puis $a=b$, ce qui est absurde.
En effet là ça demande aux élèves de démontrer une impossibilité (il n'y a pas de coup de bol) ... Merci pour ces exercices intéressants ... de quatrième ... je vais me pencher sur la suite (là il doit y avoir des solutions quand même). -
bonjour,
Vous voyez qu'il est rigolo cet exo, et oui un pauv petit exo de $4^{ième}$ qui suscite l'attention sur un forum de math.
Pour ce qui est de ta résolution Vassia, je ne suis pas sûr que des élèves de quatrième saisissent spontanément que $a-1$ divise $a$ donne $a=2$ même si c'est correct. Personnellement j'ai fait ceci à ma cousine:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ donne en mettant au même dénominateur:
$\frac{a+b}{ab}=1$ puis $a+b=ab$. Ensuite $a=b(a-1)$. J'ai ensuite fait remarquer que:
$a=(a-1)+1$ d'où $1=b(a-1)-(a-1)$ encore une petite factorisation...
$1=(b-1)(a-1)$. Après je lui ai demandé: > (je lui ai donné un exemple: $6=2\times 3=etc.$) Réponse: $1=1\times1$ ou $1=(-1)\times(-1)$ la conclusion pour $a$ et $b$ s'en suivait sans problème pour elle.
Je ne sais pas si c'était assez pédagogue, j'ai fait comme j'ai pu.
Pour 2), 3) c'est plus simple... -
<!--latex-->jc : Je trouve comme toi que ta solution est plus abordable que celle de Vassia (désolé). Qu'est-ce que tu penses de : on sait que ni a ni b ne valent un, donc les deux entiers sont au minimum 2 et 3 ; mais 1/2+1/3<1 et si on augmente un des deux nombres ça sera encore plus petit ?
<BR>
<BR>Vassia : <!-- MATH $\forall p \in \mathbb{C}^*, \ \exists ! q \in \mathbb{C}^* \ : \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ --><IMG WIDTH="224" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/02/14/50181/cv/img1.png" ALT="$ \forall p \in \mathbb{C}^*, \ \exists ! q \in \mathbb{C}^* \ : \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$"> ce n'est pas trop dur (niveau terminale 2004 ou quatrième 1976) et c'est utile quand p et q sont réels > 1 ; tu es en sup tu as dû voir l'inégalité de Hölder non ?<BR> -
Encore mieux cette démo par inégalité !!
Pitou, je n'ai jamais entendu le nom de Hölder. Si $p \neq 1$ il faut et il suffit que $q= \frac{p}{p-1}$. C'est immédiat non ? -
Encore mieux cette démo par inégalité !!
Pitou, je n'ai jamais entendu le nom de Hölder. Si $p \neq 1$ il faut et il suffit que $q= \frac{p}{p-1}$. C'est immédiat non ? -
Merci du compliment Vassia, par expérience e sais que les manips algébriques et le calcul littéral ça fait pas mal paniquer un(e) collegien(ne) et donc il vaut mieux y aller en douceur.
Pour le cas général c'est effectivement immédiat et j'avais oubilé $p \neq 1$ merci pour la rectification ; Hölder serait-il lui aussi passé à la trappe ? A mon époque (en 2000/2001, c'est dire si je suis un vieux briscard) on le faisait au premier semestre de sup pour manipuler un peu les sommes. Hölder et son pote Minkowski c'étaient les deux premiers noms qui nous avaient fait peur !!
Si ça t'intéresse la version sup c'est avec p,q > 1 vérifiant notre identité et $(x_k)$, $(y_k)$ deux vecteurs de $\R^n$ ; alors :
$$ \left| \sum_{k=1}^n x_k y_k \right| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{\frac{1}{q}} $$ -
bonjour Pitou,
Oui c'est pas mal comme solution, mais j'ai demandé à ma cousine (et vérifié dans son cours) au tout début: as-tu vu des inégalités concernant les inverses de nombres? (du type $0\frac{1}{b}$) et ce n'était pas le cas. Peut-être qu'effectivement que l'idée > leur a déjà été dit mais je n'en suis pas convaincu. -
Oui oui merci beaucoup ; en fait ça y est dans mon Monier, mais on ne l'a pas encore fait en classe. On a juste vu l'inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski.
Mais peut-être est-ce effectivement passé à la trappe ... j'ai une ancienne édition ... De toute façon on voit souvent d'autres théorèmes en exercice et il n'est pas interdit de les retenir ! -
Ben écoute mon cher jc, moi quand j'était en 4ème je ne savais pas que la fonction inverse était décroissante sur R+* mais je savais par contre que plus on était à se partager un gâteau moins chacun en aurait ! :-D
Bon ok je pinaille...
En fait Vassia ça m'étonnerait que Holder serve en sup et même en spé je ne suis pas trop sûr qu'on en voie les conséquences importantes (à part Minkowski ; d'ailleurs d'où l'avez vous sorti si... ?) mais bon pour la culture, etc.
Je ne connais pas le Monier, moi en taupe j'avais récupéré des vieux Ramis/Deschamps/Odoux (chez Masson en cinq volumes) datant de cette fameuse époque glorieuse des maths modernes ; je me souviens avoir lu dans le volume de géométrie affine "on a vu en classe de troisième que le plan vectoriel est le quotient du carré cartésien du plan affine par la relation d'équipollence" ça m'avait marqué... mais bon c'est un peu une bible pour moi, même si il est souvent trop abstrait c'est toujours intéressant d'avoir un point de vue un peu plus élevé. D'ailleurs ça m'a bien réussi : je suis à la fac maintenant !! ;-) -
Et "on a vu en cinquième que $\Z$ est le quotient du carré cartésien de $\N$ par la relation d'équivalence $R$ définie par : $$(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a+d=b+c$$"
;-) -
bonjour,
Pitou a écrit :
"
Je ne connais pas le Monier, moi en taupe j'avais récupéré des vieux Ramis/Deschamps/Odoux (chez Masson en cinq volumes) datant de cette fameuse époque glorieuse des maths modernes ; je me souviens avoir lu dans le volume de géométrie affine "on a vu en classe de troisième que le plan vectoriel est le quotient du carré cartésien du plan affine par la relation d'équipollence"
"
ce sont les livres que j'évoquais dans mon message du 02-13-05 03:26
je ne suis donc pas le seul à les trouver byzarre ces bouquins
le dernier, le 5ème s'appelle "application de l'analyse à la géométrie"
300 pages (sur 1800 pages en tout juste pour la spé et où les exos sont pas corrigés) qui étudie 1)°étude affine des arcs 2°)étude métrique des arcs 3°) étude affine des nappes 4°)étude métrique des nappes et des surfaces 5°) intégrale d'une forme différentielle 6°) masses, centres et moments d'inertie
un exemple de la page 9 (1er châpitre, 1er paragraphe : complément de topo , 1er sous paragraphe, 1er théorême/déf : la topologie finale associé à une application qui est la plus fine parmis (...)
est ce que ce sont des livres utilisés pas certains taupins ? style des classiques de grands lycées....c ce qu'avait prétendu la personne qui me les a filés.....
au fait, ma mère qui a été à l'école jusqu'à la seconde aurait-elle déjà entendu parler de plan vectoriel, de carré cartésien et de relation d'équipollence ... cool... mais je me suis rendu compte la dernière fois en lui faisant le test de calcul de "ça m'intéresse" qu'elle confondait les puissances et les multiplications... tamp pis ma mère ne sera jamais la future emmi noether...
bonne chance aux taupins.... Jour J - 2mois 1 semaine qqs jours -
Pour revenir a l'article du monde. S'il y a des gens interesses, il va surment y avoir a l'ihes une reunion sur l'enseignement, guetter la page web <http://www.ihes.fr> .
Et toujours sur l'article du monde, je le trouve sans interet bien que Laurent Lafforgue soit un gars tres interesant et qui a beaucoup de choses a dire. La derive de l'enseignement se constate aussi sur les journalistes...
Mauricio< -
Pour Pitou; désolé, mais Holder se voit maintenant en licence ou bien en exo de spé, pas vraiment en sup...
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J'ai appris les maths avec les Ramis/Deschamps/Odoux en prépa et c'est quelque chose que je ne regrette pas... Le dernier tome est effectivement un peu spécial, je n'en ai lu que le début.
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Pour Corentin, j'ai vu l'inégalité de Holder l'année dernière en sup !
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Tout dépend des lycées... Je me tiens à ce que je dis; ça n'est pas au programme et moi je ne l'ai pas vu, même en spé.
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quelle "promotion" probaloser ?
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SkyToYevDos : je ne suis pas sur de comprendre la question. Je tente une réponse au hasard. J'ai intégré une ENS en 98.
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non tu as très bien compris ma question et j'en conclue que t'as grossomodo 6 ans de plus que moi
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SkyToYevDos : pour l'équipollence, et les plans vectoriels (en quatrième), sans parler des définitions ensembles et des bijections (en sixième) je dois faire partie des derniers à avoir fait ça au collège (bac 92).
Sans rien y comprendre ni en retenir, et je faisais partie des meilleurs élèves : je pense que l'exemple de ta mère est pertinent et représentatif...ce n'est pas parce que des livres et des cours sont bien remplis qu'ils "parlent" aux élèves, et trop d'abstraction n'est pas bonne quand elle s'adresse à un public "général" (i.e, avant la 1ereS/T°S et le supérieur) -
Pour Holder, ça dépend de la version, si c'est l'inégalité de la norme p sur Rn, elle peut se voir en sup dans le chapitre sur la convexité (là je parle dans l'ancien programme en vigueur jusqu'en 2002) et pour celle portant sur des intégrales, c'est vrai qu'elle est plus courante en spé. D'ailleurs elle est souvent apparue au détour d'un sujet d'ENSAE, ce qui n'arrivera malheureusement plus puisque cette ecole qui proposait des sujets originaux a rejoint un concours commun d'écoles d'ingénieurs.
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"Et toujours sur l'article du monde, je le trouve sans interet bien que Laurent Lafforgue soit un gars tres interesant et qui a beaucoup de choses a dire. La derive de l'enseignement se constate aussi sur les journalistes...
Mauricio<"
Peux-tu être plus clair s'il te plaît ? -
J'ai la même impression que Mauricio.
Le journaliste traîne à raconter le parcours ( éblouissant et spectaculaire! ) de Laurent Lafforgue et ne commence à s'occuper du sujet que dans la seconde partie. Cette seconde partie traite le problème de façon superficielle sans vraiment tenter d'expliquer quoique ce soit ni d'apporter des éléments concrets. On ne retrouve pas une seconde le ton du document sur les savoirs fondamentaux <http://www.fondation-politique.com/fichiers_labo/1102533308SavoirsFondamentaux.pdf>.
Il aurait pu être opportun, par exemple, de mentionner le nombre d'heures perdues par un élève, en maths, sur l'ensemble de sa scolarité (collège+lycée) depuis trente ans. Le document des 7 académiciens est clair à ce sujet: c'est l'équivalent d'une année scolaire. Il aurait pu indiquer quel était le niveau d'un bachelier il y a quelques années et ce qu'il est maintenant, ce qu'il sera aussi quand la prochaine loi d'orientation de l'école sera appliquée. Il aurait pu indiquer à quel point les programmes actuels ne permettent plus d'apprendre les mathématiques et sont vidés de tout contenu. Cette baisse des programmes est largement illustrée dans le texte des académiciens et ça aurait été plus intéressant qu'une phrase du genre:"La dérive actuelle vient, pour lui, de la multiplication des réformes. Il préfère les "évolutions limitées", l'inverse du "pédagogisme" post-soixante-huitard."
Il aurait de même pu chiffrer, comme c'est aussi fait dans le document des 7 académiciens (page 8), combien l'école ne joue plus le rôle d' ascenceur social et est en faillite relativement à ses objectifs fondamentaux.
Enfin, outre le problème du "renouvellement des élites", le journaliste aurait pu aborder le problème plus profond suivant: ce qui est en jeu est la formation intellectuelle des citoyens de demain. L'école devrait être un lieu où les enfants sont amenés à devenir des êtres réfléchissants et pensants, capables de raisonner et d'un minimum de sens critique. En vidant les matières de leur essence, c'est l'inverse qui se produit et l'école se transforme en une machine à fabriquer des individus capables d'ingérer et d'exécuter des automatismes, avec tout ce que cela peut sous entendre et toutes les répercutions que cela peut avoir.
Manu.
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