Courbe avec multitangente
Salut
Une question de géométrie algébrique. Je suis à la recherche de courbes algébriques ayant des tangentes multiples.
Je formalise un peu ma question :
Soit $F \in k[x,y]$ un polynôme à deux variables et je considère la courbe $\mathcal{C}$ des $(x,y) \in K^2$, tel que $F(x,y) =0$.
On dit que $T$ (une droite) est $p$-tangente à $\mathcal{C}$ lorsque $T$ coupe tangentiellement $\mathcal{C}$ en $p$ points distincts.
Est-ce que vous avez un moyen de construire de tel courbes ?
J'ai fait un petit géogébra (fichier joint), qui illustre une construction de bitangente.
Il y a deux courbes, une noire et l'autre rouge, on dispose d'un point variable $A$ (de la courbe noire) et un point $Asym$ qui est relié à $A$ (par un formule, mais je n'explicite pas) on voit que lorsque la tangente au point $Asym$ est vertical alors la courbe nombre admet une bitangente en $A$.
Une question de géométrie algébrique. Je suis à la recherche de courbes algébriques ayant des tangentes multiples.
Je formalise un peu ma question :
Soit $F \in k[x,y]$ un polynôme à deux variables et je considère la courbe $\mathcal{C}$ des $(x,y) \in K^2$, tel que $F(x,y) =0$.
On dit que $T$ (une droite) est $p$-tangente à $\mathcal{C}$ lorsque $T$ coupe tangentiellement $\mathcal{C}$ en $p$ points distincts.
Est-ce que vous avez un moyen de construire de tel courbes ?
J'ai fait un petit géogébra (fichier joint), qui illustre une construction de bitangente.
Il y a deux courbes, une noire et l'autre rouge, on dispose d'un point variable $A$ (de la courbe noire) et un point $Asym$ qui est relié à $A$ (par un formule, mais je n'explicite pas) on voit que lorsque la tangente au point $Asym$ est vertical alors la courbe nombre admet une bitangente en $A$.
Réponses
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J'imagine que tu veux que ta courbe soit irréductible, sinon on peut simplement prendre des unions de coniques "bien placées". Pas d'idées mais le problème m'intéresse aussi (désolé pour l'apport discutable de ma contribution ... :-D )
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Euh en fait est ce que $P(x,y) = y - x^2(x-1)^2(x-2)^2 \dots (x-k)^2$ ne réponds pas à la question ?
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Salut,
Bon il faut sûrement revoir proprement la formalisation : disons irréductibles, je suis ok avec toi (tu)
Merci -
:-D
Super, simple (tu) -
Mais le $P$ de mon deuxième message est irréductible on est d'accord ? Question subsidiaire : comment as tu eu l'idée de prendre ta courbe ? Une deuxième remarque : une petite recherche google m'a indiqué que n'importe quelle courbe projective lisse de degré $d$ admettait $\frac{d(d-2)(d-3)(d+3)}{2}$. Il y a peut-être une formule générale pour plus un degré de tangence plus haut.
-
Hum, c'est un peu complexe ma construction :
Je suis parti de : (prend ce que tu veux, mais symétrique !)
$$x^6 + 3x^4 y^2 + 3x^2 y^4 - 4x^2 y^2 + y^6 = 0$$
En fait,ce qu'il faut voir, c'est que ce polynôme est symétrique (si tu échanges $x$ et $y$ c'est le même polynôme). Du coup, il s'exprime comme un polynôme en les fonctions symétriques élémentaires : $ \sigma_1 = x+y$ et $\sigma_2 := xy$.
Je passe les calculs mais on obtient : c'est la courbe en rouge !
$$
\sigma_1^6- 6\sigma_1^4 \sigma_2 + 12\sigma_1^2 \sigma2^2- 8\sigma_2^3 - 4\sigma_2^2 = 0
$$
Jusque là je comprend ma construction !
Géométriquement, je fais un quotient de la courbe noir par le groupe (d'ordre $2$ )engendré par la symétrie d'axe $x=y$, celle qui échange $x$ et $y$. -
Un petit exemple.
$L$ est la future bitangente,
$C$ coupe $L$ $n$ fois ($n>1$),
$L+C^2$ a les qualités requises. -
Merci soland !
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