une seconde série ! une !

borde

C'est le topic d'Oumpapah qui m'a donné l'idée : montrer que la série de terme général $\displaystyle {\frac {1}{p \ln p}}$, où $p$ parcourt l'ensemble des nombres premiers, converge.

Borde.

François Frédéric

Argh!, je ne peux pas résister (ça me donne l'occasion de me remettre dans le bain!):

Tout est dans la formule asymptotique bien connue $\sum_{p \leq x}1/p \sim ln(ln(x))$ qui montre que $\sum_{p \leq x}1/p$ diverge bien moins vite que $\sum_{n \leq x}1/n$ (compte tenu de la formule $\sum_{n \leq x}1/n \sim ln(x)$), et c'est d'ailleurs pourquoi le résultat est faux si l'on parcourt l'ensemble des entiers naturels (on peut adapter le raisonnement ci-dessous pour obtenir une formule asymptotique de cette dernière somme.).

On a pour tout $x>1$, $\sum_{p \leq x}1/(pln(p)) = \int_{[1,x]}1/ln(t) d(\sum_{p \leq t}1/p)$
Ensuite, on intègre par parties (les fonctions en jeu étant localement à variation bornée et continues à droite) et l'expression ci-dessus vaut:
$[ \frac{ \sum_{p \leq t}1/p }{lnt}]_{1^{-}}^{x}+\int_{1}^{x}1/(tln(t)^{2}) \sum_{p \leq t}1/p dt$. En s'aidant de l'estimation mentionnée en préambule, on obtient par exemple:
$\sum_{p \leq x}1/(pln(p))=\int_{1}^{x} \bigcirc (1/(tln(t)^{3/2}) dt + \bigcirc (1)= \bigcirc(1)$ où la dernière égalité se déduit par exemple de l'étude des intégrales de Bertrand.

F.F.

Vianney

Argh!, je ne peux pas résister (ça me donne l'occasion de me remettre dans le bain!):

Tout est dans la formule asymptotique bien connue $\sum\limits_{p \leq x} \frac{1}{p} \sim \ln(\ln(x))$ qui montre que $\sum\limits_{p \leq x} \frac{1}{p}$ diverge bien moins vite que $\sum\limits_{n \leq x} \frac{1}{n}$ (compte tenu de la formule $\sum\limits_{n \leq x} \frac{1}{n} \sim \ln(x)$), et c'est d'ailleurs pourquoi le résultat est faux si l'on parcourt l'ensemble des entiers naturels (on peut adapter le raisonnement ci-dessous pour obtenir une formule asymptotique de cette dernière somme.).

On a pour tout $x>1$ : $$\sum_{p \leq x} \frac{1}{p\ln(p)} = \int_{[1,x]}\frac{1}{\ln(t)} d \left(\sum_{p \leq t} \frac{1}{p} \right)$$
Ensuite, on intègre par parties (les fonctions en jeu étant localement à variation bornée et continues à droite) et l'expression ci-dessus vaut : $$\left[ \frac{1}{\ln t} \sum_{p \leq t} \frac{1}{p} \right]_{1^{-}}^{x}+\int_1^x \frac{1}{t\ln(t)^{2}} \sum_{p \leq t} \frac{1}{p} dt$$ En s'aidant de l'estimation mentionnée en préambule, on obtient par exemple : $$\sum_{p \leq x} \frac{1}{p\ln(p)}=\int_1^x \bigcirc \left(\frac{1}{t\ln(t)^{3/2}} \right) dt + \bigcirc (1)= \bigcirc(1)$$ où la dernière égalité se déduit par exemple de l'étude des intégrales de Bertrand.

F.F.

borde

Salut, F.F. et bravo ! De plus, explicitement (et avec un bon ordinateur), j'ai pu avoir $$\sum_{p} \frac {1}{p \ln p} x} \frac {1}{p \ln p} \ll \frac {1}{\ln x}$$ ($x$ suffisamment grand).

Borde.

bob20

est ce que $\sum_{p \leq x}1/p \sim ln(ln(x))$ se prouve facilement à partir de $\pi(x) \sim \frac{x}{ln(x)}$ ?

bob20

est ce que $\sum_{p \leq x}1/p \sim ln(ln(x))$ se prouve facilement à partir de $\pi(x) \sim \frac{x}{ln(x)}$ ?

borde

Bonjour Bob,

Réponse à ta question : Oui, par sommation partielle...Il est toutefois préférable (d'un point de vue technique) d'utiliser la fonction de Tchebytchev $\displaystyle {\theta(x) = \sum_{p \leq x} \ln p}$ car on possède maintenant de (très) bonnes estimations {\it explicites}, qui m'ont permis entre autres d'obtenir le $1,65$ du message précédent.

Cependant, historiquement (et c'est une généralité en théorie analytique des nombres), on a prouvé {\it d'abord} $\displaystyle {\sum_{p \leq x} \frac {1}{p} \asymp \ln \ln x}$ (à l'aide de la formule de Mertens), puis est venu le TNP $\displaystyle {\pi(x) = li(x) + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right )}$. La même démarche a été entreprise pour respectivement :

1. Les nombres premiers en progressions arithmétiques ;

2. Les nombres premiers jumeaux, cousins, sexys, etc. (là, on n'a pas encore réussi à prouver la seconde partie).

Cordialement,

Borde.

François Frédéric

Salut Borde.

Commençons d'abord par une petite
correction: Il faut changer les nombres $1$ dans mes bornes d'intégration par des $2$ car sinon ça diverge (on considère comme d'habitude que $2$ est le premier nombre premier). Le reste est inchangé.


En explicitant un peu mieux mon reste, je n'arrive pas à trouver mieux que 1,662 comme majorant (l'ordinateur a mis deux minutes pour sortir le résultat et l'écart se resserre entre les majorants à mesure que $x$ grandit; je pense que je ne pourrais trouver mieux que 1,65.). Voici ma ligne de maple:

evalf(sum('1/(ithprime(k)*ln(ithprime(k)))','k'=1..10000)-sum('1/ithprime(k)','k'=1..10000)/ln(10001)+int((ln(ln(x))+0.261497+2*(ln(4)+1)/ln(x))/(x*ln(x)^2), x=10001..infinity));
1.662136898

F.F.

borde

Hello F.F.

En explicitant tous les calculs comme indiqué ci-dessus, j'arrive (sauf erreur) à : pour tout $x \geq 2$ réel, $$\sum_{p} \frac {1}{p \ln p}

Vassia Pupkin0

PARI est un logiciel qui permet de faire quoi ? C'est comme Maple ? (que je devais apprendre au premier trimestre).

borde

Le calculateur PARI/GP est téléchargeable depuis l'université de Bordeaux qui l'a mis au point. Son champ d'application principal est d'abord de faire de la théorie algébrique des nombres (décompositions d'idéaux premiers de corps de nombres, calcul de nombres de classes, factorisations de polynômes dans $\C[X]$, $\R[X]$, $\Q[X]$, mais aussi dans $\mathbb{F}_{p}[X]$ et dans $\Z_{p}[X]$, calcul de groupes de Galois pour des polynômes de degrés pas trop grands, conducteurs, régulateurs, unités de corps quadratiques, etc.). Il peut aussi traiter des questions habituelles de théorie élémentaire des nombres (pgcd, ppcm, coeff de Bezout, pol Tchébytchev et autres, etc.), de théorie multiplicative des nombres (somme des diviseurs, fonctions $\omega$ et $\Omega$, etc.), d'Algèbre (structure du groupe multiplicatif $(\Z/nZ)^{*}$, théorie de Galois, etc.), des fonctions spéciales (chères à JJ : erf, erfc, polylogarithmes, etc.), d'Analyse réelle (sommes, sommes infinies, produit, produits d'Euler, intégrales, etc.), d'Analyse complexe (intégrales le long d'un chemin, etc.), de calcul matriciel, de théorie des courbes elliptiques...Bref, d'un peu de tout, et on peut aussi programmer.

Ouf !

Borde.

Vassia Pupkin0

Je m'excuse si on t'a déjà posé plein de fois la question ..

borde

Aucune importance, Vassia P, et PARI est un logiciel que je conseille à tous...

Borde.