Agreg interne 2005 - la suite !

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

Parmi celles et ceux qui ont fait le sujet de d'Algèbre et Géométrie, est-ce que quelqu'un aurait réussi à déterminer le tableau des variations de la fonction $h$, dans la question III.4.b) ?
J'aboutis à chaque fois à des calculs assez monstrueux, alors si une bonne âme pouvait m'aider !

Merci d'avance !

Amicalement.
Olivier.

jpg

Salut Olivier

A mon tour de t'aider mais je ne garantis rien !

Si on interprète l'injonction "donner le tableau de variations" par "sans calculs, par observation géométrique", voilà ce que j'en ai déduit :

T décroit de [0,L/4] sur [(c/a)carré,1] puis croit de [L/4, L/2] sur [(c/a)carré,1] et rebelotte sur [L/2,3L/4] et enfin [3L/4,L].

D'où sort (c/a) carré ? Lorsque la tangente est horizontale :
OM = OM' = rac(b2 + c2) = a
D'où sin....

jpg

p.s : il faut lire 3L/4 au lieu de 3L/2 bien sûr...

Reï-Vi-Lhô

Merci jpg pour ta réponse ! Je suis d'accord avec toi, je pense qu'il fallait bien intepréter la question dans le sens "sans calculs, de façon géométrique"... mais il m'a fallu du temps pour le comprendre :-))
Sinon, je suis d'accord sur tout, sauf sur le $\frac{c^{2}}{a^{2}}$... il me semble que c'est plutôt $\frac{b^{2}}{a^{2}}$, non ?

Encore merci !
Amicalement.

Olivier.

jpg

Si H est le milieu de [OO'], alors sin phi(T/4) = OH/OM(T/4) = c/a

(c'est chiant, sans dessin)

Sinon tu tombes sur le cosinus, non ?

jpg

Reï-Vi-Lhô

Re,

J'ai trouvé $h(s)=\frac{b^{2}}{||OM(s)||||O'M(s)||}$.
Si $s=\frac{L}{4}$, on a : $||OM||=||OM'||=a$, et donc : $h(s)=\frac{b^{2}}{a^{2}}$.

Il me semble que tu as confondu l'angle $\phi(s)$ avec l'angle $(MO,MH)$, car on a bien $sin(\phi(s))=cos(MO,MH)=\frac{MH}{OM}=\frac{b}{a}$.

Amicalement.
Olivier.

P.S.: c'est vrai que c'est ch.... sans dessin... lol

jpg

Il te semble bien, je m'incline ! C'est un mauvais point pour moi car j'ai passé le concours...
Enfin s'il n'y avait que ça...

Merci pour cette remise au point...

emmanuel

<!--latex-->Vous pouvez aller voir la correction de la partie III sur Megamaths
<BR><a href=" http://www.ifrance.com/MMths/docs/ucon0052x.pdf"&gt; http://www.ifrance.com/MMths/docs/ucon0052x.pdf</a><BR&gt;

Utilisateur anonyme

bonjour ,

je me suis arraché un peu les cheveux sur la questions III.3.b en cherchant un solution purement géométrique, j'ai vu la solution du site indiqué qui passait pas l'équation de l'ellipse, il me semble que ce n'est pas tellement l'esprit du problème mais ça a l'avantage d'être efficace.

-->je serais interessé par toute solution purement géométrique.

arcos

ce qui veut dire que des candidats ont probablement fait l'exercice dans l'année et je pense que c'est un avantage...........

GPP290

Bonjour,
Pour Al
On reprend les notations de l'énoncé et on note :

u et u' les distances OM et O'M. Sur l'éllipse, la somme u+u' est constante et vaut 2rac(c^2 + b^2)

z le demi angle sous lequel O'O est vu depuis M.
2z = phi - phi'

Dans le triangle O'OM : 4c^2 = u^2 + u'^2 -2uu'cos(2z) d'où l'on tire
4b^2 = 2uu'(1+cos(2z)) = 4uu'(cosz)^2

Les distances h et h' de O et O' à la droite D valent respectivement ucosz et u'cosz. Donc l'énergie E de la droite D vaut uu'(cosz)^2

D'où E = b^2

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

Une autre solution pour la question III.3.b) :

On note $M(s)$ l'un des deux points d'intersection de la médiatrice de $[00']$ avec l'ellipse. On note de plus $n$ un vecteur unitaire de $D(s)$ et $H$ le milieu de $[0,0']$. On a alors :
$E(D(s))=E(D(s),n,M(s))=.=b.b=b^{2}$.

Amicalement.
Olivier.

Reï-Vi-Lhô

Erratum : $n$ est un vecteur unitaire *orthogonal* à la direction de $D(s)$.

Utilisateur anonyme

<!--latex-->Merci GPP29 et bien vu !!
<BR>il fallait faire le lien avec l'angle z je crois que je ne l'aurais pas vu avant un bout de tps.
<BR>
<BR>
<BR>pour Rei-Vi-Lho, j'ai un doute sur ta solution M(s) est un point quelqconque de l'ellipse, il n'est pas nécessairement sur la médiatrice de [OO'], et si tu considère le point de D(s) qui rencontre la médiatrice de [OO'], il n'est pas sur l'ellipse ou alors je n'est pas compris
<BR>
<BR>est-ce que quelqu'un sait à quoi correspond cette énérgie de D(s) ?<BR>

Reï-Vi-Lhô

Exact Al, j'ai tout simplement écrit une très grosse bêtise ! :-))
Sinon, la solution de GPP29 est en effet pas mal du tout !
Merci pour ta réponse !

Amicalement.
Olivier.

Reï-Vi-Lhô

Re,

Je bute actuellement sur l'égalité de la question IV.3.c)... Je suis preneur de toute idée !

Amicalement.
Olivier.

Utilisateur anonyme

tu doit deviner une expression pour U(s,r) pour que E(s,u)=r

en partant de l'expression de E(s,u)

Reï-Vi-Lhô

Merci pour ta réponse Al... en fait, l'expression de U(s,r), je l'ai déjà obtenue dans la question IV.3.a), justement en résolvant E(s,u)=r. J'avoue avoir encore du mal à faire le lien avec l'égalité de la question IV.3.c).
Merci de ta patience !

Amicalement.
Olivier.

Utilisateur anonyme

excuse j'ai lu trop vite

j'ai une piste mais je n'en suis pas encore sur à 100%

Tu as $T_1(s,U(s,r))=\nu(s)$ et $T_2(s,U(s,r))=U(\nu(s),r)$

Si tu dérive par rapport à r tu as $$\partial_2 T_1 . \partial_rU=0$$

(j'aurais besoin d'en déduire que $\parial_2T_1=0$ ?? mais je ne vois pas comment)

et par rapport à s

$$\nu'(s)=\partial_1 T_1(s,U(s,r))+\partia_2T_1.\partial_sU$$

pour la seconde expression je la dérive par rapport à r :

$$ \partial_2T_2(s,U(s,r))\partial_2U(s,r)=\partial_2U(\nu(s),r)$$

et on utilise le fait que le jacobien de $T$ vaut 1, soit

$\partial_1T1\partial_2T2-\partial_1T2\partial_2T_1=1$



avec $\partial_2T_1=0$ on voit qu'alors $\partial_1T1=\nu'(s)$
et on conclut.

suite quand j'aurai trouvé

Utilisateur anonyme

excuse j\'ai lu trop vite\\\\
\\\\
j\'ai une piste mais je n\'en suis pas encore sur à $100\\%$\\\\
\\\\
Tu as $T_1(s,U(s,r))=\\nu(s)$ et $T_2(s,U(s,r))=U(\\nu(s),r)$\\\\
\\\\
Si tu dérive par rapport à r tu as $$\\partial_2 T_1 . \\partial_2 U=0$$\\\\
\\\\
(j\'aurais besoin d\'en déduire que $\\partial_2 T_1=0$ ?? mais je ne vois pas comment)\\\\
\\\\
et par rapport à s \\\\
\\\\
$$\\nu\'(s)=\\partial_1 T_1(s,U(s,r))+\\partial_2 T_1.\\partial_1 U$$\\\\
\\\\
pour la seconde expression je la dérive par rapport à r \\\
\\\\
$$ \\partial_2 T_2 (s,U(s,r))\\partial_2 U(s,r)=\\partial_2 U(\\nu(s),r)$$\\\\
\\\\
et on utilise le fait que le jacobien de $T$ vaut 1, soit \\\\
\\\\
$\\partial_1 T_1\\partial_2 T_2-\\partial_1 T_2\\partial_2 T_1=1$\\\\
\\\\
\\\\
\\\\
avec $\\partial_2 T_1=0$ on voit qu\'alors $\\partial_1 T1=\\nu\'(s)$\\\\
et on conclut.\\\\
\\\\
suite quand j\'aurai trouvé

rémi

Al pas de pourcent, ça flingue ton texte. C'est bug connu de certains.

[\% pour banaliser le caractère %. AD]

Alain Debreil

excuse j'ai lu trop vite

j'ai une piste mais je n'en suis pas encore sûr à 100\%
Tu as $T_1(s,U(s,r))=\nu(s)$ et $T_2(s,U(s,r))=U(\nu(s),r)$
Si tu dérive par rapport à $r$ tu as
$$\partial_2 T_1 . \partial_rU=0$$
(j'aurais besoin d'en déduire que $\partial_2T_1=0$ ?? mais je ne vois pas comment)
et par rapport à $s$
$$\nu'(s)=\partial_1 T_1(s,U(s,r))+\partial_2T_1.\partial_sU$$
pour la seconde expression je la dérive par rapport à $r$ :
$$ \partial_2T_2(s,U(s,r))\partial_2U(s,r)=\partial_2U(\nu(s),r)$$
et on utilise le fait que le jacobien de $T$ vaut 1, soit
$\partial_1T1\partial_2T2-\partial_1T2\partial_2T_1=1$

avec $\partial_2T_1=0$ on voit qu'alors $\partial_1T1=\nu'(s)$ et on conclut.

suite quand j'aurai trouvé

Reï-Vi-Lhô

Ok, jolie démonstration !
Pour montrer que $\partial_{2}T_ {1}=0$, il suffit donc de montrer que $\partial_{r}U$ ne s'annule jamais. Or, dans la question III.3.a), j'ai trouvé : $U(s,r)=\sqrt{1+(\frac{r}{b^{2}}-1)h(s)}$, donc on a : $\partial_{r}U(s,r)=\frac{h(s)}{2b^{2}U(s,r)}$. Mais, $h(s)$ ne s'annule jamais (son minimum global est $\frac{b^{2}}{a^{2}}$, d'après la question III.4.b)), d'où le résultat.

Amicalement.
Olivier.

Utilisateur anonyme

justement je viens de trouver une erreur au départ

car en fait $\nu(s)=T_1 (s,U(s,E_0))$ donc dériver en r n'est pas interessant; mais on doit partir des relations :

$$T_2(s,U(s,r))=U(T_1(s,U(s,r)),r)$$

$$\nu(s)=T_1(s,U(s,E_0))$$

je reprend tout a partir de ces relations

@+

Reï-Vi-Lhô

Salut,

Je suis peut-être complétement à côté de la plaque, mais en fait je ne vois pas trop où est le problème : en effet, si tu dérives les deux membres de l'égalité $\nu(s)=T_{1}(s,U(s,E_{0})$ par rapport à $E_{0}$ (au lieu de $r$, donc...), tu obtiens à nouveau $0=\partial_{2}T_{1}(s,U(s,E_{0})).\partial_{2}U(s,E_{0})$, et donc $\partial_{2}T_{1}(s,U(s,E_{0}))=0$ (étant donné mon précédent message), et après ça roule pour tout le reste, non ?

Encore un grand merci pour ton aide !

Amicalement.
Olivier.

Utilisateur anonyme

non car $\nu(s)$ dépend de la valeur de $E_0$ on devrait écrire

$\nu(s,r)=T_1(s,U(s,r))$

donc si tu dérive en $r$ ça ne donne pas zéro.

Utilisateur anonyme

je l'ai presque sous réserve que $\partial_sU$ ne s'annule pas

je pars de $$T_2(s,U(s,r))=U(T_1(s,U(s,r)),r)$$

Reï-Vi-Lhô

Oui, j'ai encore écrit une grosse c...... , je me suis laissé bêtement piéger par les notations.
Encore merci !

Amicalement.
Olivier.

Utilisateur anonyme

la dernière et avant-dernière expression sont valable pour $r=E_0$

Reï-Vi-Lhô

Oui, je suis d'accord avec les calculs... cependant, on a effectivement un problème avec $\partial_{1}U(T_{1}(s,U(s,E_{0})),E_{0})$ qui peut s'annuler si $h'(T_{1}(s,U(s,E_{0}))$ s'annule (autrement dit si $T_{1}(s,U(s,E_{0}))$ est un multiple de $\frac{L}{4}$).

Reï-Vi-Lhô

En fait, en y repensant, il me semble que le problème est bien résolu : en effet, $ \partial_{1}U(T_{1}(s,U(s,E_{0})),E_{0})$ ne peut s'annuler que sur l'ensemble $A:=\{\frac{kL}{4},k\in\Z\}$, donc pour tout $s$ de $\R-A$, on a l'égalité $\mu(s)=(\mu \circ \nu)(s)\nu '(s)$. Comme $\R-A$ est dense dans $\R$, et que toutes les fonctions considérées sont continues, on peut étendre cette égalité sur $\R$ tout entier.

Amicalement.
Olivier.

Utilisateur anonyme

oui c'est une très bonne idée

en fait $\partia_1 U(\nu(s),E_0)$ s'annule sur $\nu^{-1}(A)$ en gardant tes notations, il reste à voir si $\nu$ est injective sur $[0,L]$

Reï-Vi-Lhô

Re,

En effet, j'ai encore écrit une bourde, il s'agit bien de $\nu^{-1}(A)$ et non de $A$.
Je ne crois pas que $\nu$ soit injective sur $[0,L[$, puisqu'elle me semble être $L-$ périodique :
$\nu(s+L)=T_{1}(s+L,U(s+L,E_{0}))$.
Comme $M(s+L)=M(s)$, on voit donc que $\nu(s+L)=\nu(s)$ si $U(s+L,E_{0})=U(s,E_{0})$.
Or, $\phi(s+L)=\phi(s)$ (car $M(s+L)=M(s)$), donc, $E(s+L,u)=E(s,u)$.
On a alors : $E(s+L,U(s,E_{0}))=E(s,U(s,E_{0}))=E_{0}$, et donc $U(s+L,E_{0})=U(s,E_{0})$.

Alain Debreil

$\partial_1 U(\nu(s),E_0)$