extension de corps

abed

Voila une petite question qui me bloque :
Soit $\K$ un corps, $\alpha$ un element algebrique sur $\K$ dont le polynome minimal est de degre impair. Montrer que $\K$($\alpha$)=$\K$($\alpha^2$)
Juste une petite indication me suffirait (ca a pas l'air dur, mais bon ...)
Merci de vos reponses

Alain Debreil

Bonsoir Abed

$\K(\alpha^2)\subset \K(\alpha)$ de manière naturelle.
Dans l'autre sens, si $P$ est le polynôme minimal de $\alpha$, on peut écrire $0 = P(\alpha) = Q(\alpha^2)+\alpha R(\alpha^2)$ avec $R \neq 0$...

Alain

Alain Debreil

avec $R(\alpha2)\neq 0$

Alain Debreil

avec $R(\alpha^2) \neq 0$

Michiel Vermeulen1

Autre facon:

On a :

m n
K ----> K(a^2)----> K(a) ou les fleches sont des inclusions naturels, et m en n sont les degres de ces extensions de corps.

Donc [K(a):K] =m.n impair

On a aussi: a zero du polynome X^2-a^2 dans K(a^2)[X].

Donc n|2 , puisque le degre du polynome minimale divise le degre de chaque polynome dont a est un zero, donc n=1, si non avec n=2, m.n=m.2 serait pair.

Donc: K(a^2)=K(a).


Michiel

abed

Merci beaucoup de vos reponses, je fais y reflechir (surtout a celle d'Alain)

Yous801

La première réponse de M Vermeulen peut s\'écrire:
$[K(\\alpha):K]=[K(\\alpha):K(\\alpha^2)][K(\\alpha^2):K]$.
Comme $[K(\\alpha):K]$ est impair car le polynôme minimal de $\\alpha$ (sur $K$) est impair, alors $[K(\\alpha):K(\\alpha^2)]=1$.
Yous80

Alain Debreil

La première réponse de M Vermeulen peut s'écrire:
$[K(\alpha):K]=[K(\alpha):K(\alpha^2)][K(\alpha^2):K]$.
Comme $[K(\alpha):K]$ est impair car le polynôme minimal de $\alpha$ (sur $K$) est impair, alors $[K(\alpha):K(\alpha^2)]=1$.
Yous80

abed

Au passage, je me pose une autre petite question : qu'en est il de la reciproque?
Je pense que c'est faux, mais je trouve pas de contre exemple (pq si c'etait juste, on m'aurait certainement demander de montrer l'equivalence!)

Alain Debreil

Bonsoir Abed

Est-ce que $\R=\C,\ \R[i^2]=\R$ ne serait pas un contre-exemple recherché, sachant que $X^2+1$ est le polynôme minimal de $i$ ?

Alain

abed

Bonsoir Alain

Ce qu\'il faut trouver c\'est un element $\\alpha$ tel que son polynome minimal soit de degre pair et tel que $\\K$($\\alpha$)=$\\K$($\\alpha^2$), donc ton contre exemple ne marche pas.

abed

Bonsoir Alain

Ce qu'il faut trouver c'est un element $\alpha$ tel que son polynome minimal soit de degre pair et tel que $\K$($\alpha$)=$\K$($\alpha^2$), donc ton contre exemple ne marche pas.

abed

Bonsoir Alain

Ce qu'il faut trouver c'est un element $\alpha$ tel que son polynome minimal soit de degre pair et tel que $\K$($\alpha$)=$\K$($\alpha^2$), donc ton contre exemple ne marche pas.

Alain Debreil

Re-bonsoir Abed

J'ai répondu trop vite !
Le contre-exemple doit vérifier : "poly-mini de degré pair" et $K(\alpha)=K(\alpha^2)$

Alors $\R(j) = \R(j^2)=\C$ et le poly-mini de $j$ est $X^2+X+1$

sauf erreur ?
Alain

abed

desole des derniers messages, c'etait pas voulu (un petit probleme de connection)

abed

Bien vu, ca marche effectivement. En fait, je pensais surtout a trouver un contre exemple avec des extensions de $\Q$, la je crois que c'est plus complique (au passage merci d'avoir efface les messages precedents)

Bonne soiree Alain.

Alain Debreil

Bonsoir Abed

Il me semble que sur $\Q$, ça marche aussi bien:
$\Q(j)=\Q(j^2)=\Q(i)$ et $X^2+X+1$ est toujours le poly-mini de $j$.

Je me suis focalisé sur $\R \subset \C$ pour être sûr d'avoir une extension de degré 2, donc paire !

Alain

Alain Debreil

Re-bonsoir Abed

J'ai encore répondu trop vite !
$\Q(j)=\Q(j^2)$

Alain Debreil

$\Q(j)=\Q(j^2)$

patrick14

bjour je suis plutot interessé a la math algebrique et ca me plairait bien de correspondre avec des amoureux des math comme ceux que je crois reconnaitre dans ce site .

Alain Debreil

Bonsoir Patrick

Le forum est là pour cela, non ?

Alain

Simoh1

Je confirme Alain D, ce site est bien fait pour discuter des maths.
Yous80