[Débutant] Lemme de Yoneda

Salut,

Je suis vraiment débutant en théorie des catégories et j'ai une question sur le lemme de Yoneda.

Je n'ai pas revu la démonstration mais il me semble que pour chaque objet $A$ d'une catégorie $\mathcal{C}$, on associe un foncteur covariant : $$F_A : \mathcal{C} \to \textbf{Ens}$$ définie de la manière suivante :
$$\text{Pour } X \text{ un objet de la catégorie } \mathcal{C}, \quad F_A(X)=\text{Hom}_\mathcal{C}(A,X)$$
Je ne décrit pas les flèches mais si $\iota : X \to Y$, $F_A(\iota) : F_A(X) \to F_A(Y)$ est la composition à gauche par $\iota$.
Le lemme de Yoneda permet de faire une injection super super bonne :
$$
\mathfrak{Y} : \mathcal{C} \longrightarrow \ \textbf{Fonteur}(\mathcal{C}, \textbf{Ens})
$$
Ce qui permet de voir un object de $\mathcal{C}$ comme un foncteur $\star$ (je dois être clair, expliquer les détails et donner les définitions)

Ma question est : est-ce qu'il y a d'autres foncteurs que ceux provenant des objets : un foncteur
$$\mathbf{Fant} \infty \textbf{me} \quad : \mathcal{C} \longrightarrow \textbf{Ens}$$ non naturellement isomorphe à un objet de la catégorie $\mathcal{C}$.

Réponses

  • De mon téléphone: Yoneda est juste une mise en scène dans le cadre catégorique du fait que les deux formules qui suivent équivalentes:

    1) A

    2) pour tout X : si si A alors X alors X

    Si ça peut t'aider......
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @cc Un objet d'une catégorie ce n'est pas forcément un ensemble, mais c'est une sorte de carte d'identité, les ensembles ont une carte d'identité (Yoneda(A)) ... mais y'a plein d'autres, non ? Pour l'instant, j'aime bien le foncteur $\textbf{Fant}\infty\textbf{me}[\Delta] / (\Delta^2)$ ... Je veux bien expliquer dans le langage des catégories, dérivée et toi c'est quoi ton objet mathématiques que tu aimes bien en ce moment ?
  • Mettons que $\mathbf{Annpf}$ est la catégorie (essentiellement petite) des anneaux commutatifs de présentation finie. Soit $A$ n'importe quel anneau commutatif. Il donne un foncteur $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}( \cdot, A) : \mathbf{Annpf}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}$ qui fournit une "carte d'identité" de $A$.
  • Merci @GBZM

    Tu as juste pris une plus grosse catégorie ! Bon, vérification car j'ai pas l'impression qu'on puisse prendre n'importe quoi non plus, non ?
  • Dans l'exemple que j'ai donné, tu peux vérifier que les anneaux commutatifs correspondent aux foncteurs $\mathbf{Annpf}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}$ exacts à gauche (préservant les limites projectives finies).
  • @gbzm

    Pour un anneau commutatif, présentation fini ça veux dire quoi ?

    Et pourquoi tu as pris le foncteur Hom$^{op}(-,A)$ et pas Hom$(A,-)$
  • Ca veut dire, comme d'hab, nombre fini de générateurs et nombre fini de relations : $\Z[X_1,\ldots,X_n]/(P_1,\ldots,P_q)$. (*)

    Je ne comprends pas ta deuxième question. J'ai pris le foncteur $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}( \cdot, A)$, qui est un foncteur contravariant de $\mathbf{Annpf}$ dans $\mathbf{Ens}$, c.-à-d. un foncteur de $\mathbf{Annpf}^{\mathrm{op}}$ dans $\mathbf{Ens}$.

    (*) P.S. Il y a aussi une caractérisation catégorique dans la catégorie des anneaux commutatifs : $R$ est de présentation finie si et seulement si $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}( R, \cdot)$ commute aux limites inductives filtrantes.
  • D'accord, pas vu le $\Z$.

    Pour la deuxième question : je voulais dire pourquoi ne pas prendre Hom$_{\text{ann}} (A, - )$ ... qu'importe. Je vais prendre un peu de temps pour comprendre l'exemple.
  • Pour l'instant, j'en suis là :

    Le foncteur que tu as défini $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}( \cdot, A) : \mathbf{Annpf}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}$ permet de créer un foncteur, à l'aide du foncteur oublie$^{\text{op}}$ $ : \mathbf{Ann}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Annpf}^{\mathrm{op}} $ (hum, je n'aime vraiment pas le $\bullet^{\text{op}}$).

    Je veux dire que : (je parle car je n'arrive pas a faire la preuve formelle,oublie ce que j'ai dis avant) je peux prendre le foncteur $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}( \cdot, A) : \mathbf{Ann}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ens}$ qui représente l'objet $A$.

    Et on peut penser que si il y a assez d'objet dans $\mathbf{Annpf}$, ça force ton foncteur à représenter $A$. Du coup c'est un $\textbf{Phant}\infty\textbf{m}$ pour la catégorie $\mathbf{Annpf}$ si l'on prend $A$ non de présentation fini.

    Encore très loin d'une preuve !
  • Mais on a les mêmes morphismes !
  • J'ai peut-être mal compris ta question, car la fin de ton message m'est un peu obscur et le contre-exemple de GaBuZoMeu y répond certainement mais me semble un peu compliqué pour ce que j'ai compris de la question. Tu cherches un foncteur $F: \mathcal{C} \to \textbf{Ens}$ pour une catégorie quelconque $\mathcal{C}$ tel que $F$ n'est pas naturellement isomorphe à $F_A$ pour n'importe quel objet $A$ de $\mathcal{C}$, n'est-ce pas (tu as écrit: "non naturellement isomorphe à un objet de la catégorie $\mathcal{C}$" mais j'interprète ta question ainsi)?

    Or il me semble assez facile de trouver un contre-exemple trivial : par exemple, tu prends pour $\mathcal{C}$ la catégorie des anneaux intègres (les morphismes sont les morphismes unitaires) et pour $F$ le foncteur d'oubli. Tu prends pour $X$ l'anneau à deux éléments : on a que $F(X)$ est un ensemble à deux éléments. Par ailleurs, pour tout $A$, on a que $F_A(X)$ est au plus un singleton. On a donc: pour tout $A$, $F$ n'est pas naturellement isomorphe à $F_A$.
  • Oui Alesha, tu as bien compris ma question. Merci, de ta réponse. Je regarde demain, a tête reposé ;-)
  • S'il s'agit de trouver un exemple trivial, on peut faire encore plus trivial : Soit $\mathcal{C}$ la catégorie avec un seul objet $O$ et une seule flèche : l'identité de $O$. Un foncteur de $\mathcal{C}$ dans $\mathbf{Ens}$ est essentiellement un ensemble. Parmi ces ensembles, les seuls naturellement isomorphes au foncteur $F_O$ sont les singletons.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.