Opérateur auto-adjoint radial

J'ai un opérateur auto-adjoint radial $T$ [c-à-d $ T(f)=0$ si $f(x)=g(|x|)$ ] définie sur un domaine $D$ de $ L^2(\R)$ vers $ L^2(\R)$.
Ma question.
Soit $b\in\R$. Peut-on dire qu'il existe $c>0$ tel que pour tout $f\in L^2(\R)$ $$\big\| f \big \|_2 \leq c \big\| [T-b](f) \big \|_2$$
Merci d'avance.

Réponses

  • Moi je dis non.
  • Je n'ai pas compris ta définition de $T$, mais $\forall f, \|f\| \le C\| (T-b) f\|$ c'est possible ssi $\inf_{\|f\| = 1} \| (T-b) f\| > 0$

    donc ssi $b \not \in \sigma(T)$.

    Et un opérateur auto-adjoint a toujours un spectre non-vide.
  • Voila mon opérateur $T=i(x \frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}) $ définie sur $D=\{ u\in L^{2}(\R^2); Tu\in L^(\R^2)\}$.

    Il est auto-adjoint donc $T-(b+ic)$ avec $c\in\R^{\star}$ est inversible, il est aussi radial.

    Peut on calculer $\inf_{||f||=1}\Big [(T-bf \Big]$ avec $b\in\R^{\star}$
  • ça revient à résoudre $T f = a f$.

    localement $(x-y)^a$ est solution, donc j'ai peur que le spectre soit $\mathbb{C}$
  • Oui, $(x-y)^{a}$ sont des fonctions propres de l'opérateur $T$, mais $(x-y)^{a}$ n'est pas dans $L^2(\R^2)$ donc pas de fonctions propres, donc l'opérateur n'a que le spectre continu.
  • Regarde ça Approximate_point_spectrum à mon avis on est dans ce cas

    Tu saurais le démontrer (ou l'infirmer) ? (j'ai un doute sur $Re(a) < 0$)
  • Elles ne sont pas dans $L^2$ on passe en coordonnées polaires puis on trouve une intégrale ivergente de la forme $\int^{\infty}_{0} \frac{1}{t^{-2a-1}} dr$
  • Les fonctions propres $(x-y)^{a}$ ne sont jamais dans $L^2$.

    S'il existe $c>0$ tel que pour tout $f\in L^2(\R)$ $$\big\| f \big \|_2 \leq c \big\| [T-b](f) \big \|_2$$ alors on a :

    l'image $R( [T-b])$ est fermé et $(T-b)$ est injectif donc $b\not\in \sigma(T)$ par le théorème du graphe fermé.

    Le lien que tu m'a donné traite seulement le cas d'un opérateur borné, est il vrai pour un opérateur non borné
  • Si $\lambda \in \sigma(A)$ alors $R(A-\lambda I)$ est dense dans $H$ implique $(A-\lambda I)^{-1}$ est non borné (la définition du spectre continu)(je suppose que $A$ est non borné)
  • Je ne comprends rien. Ton opérateur $T = ix \partial_x - i y \partial_y$ est tout sauf borné. Et il a de jolies approximate eigenvalues au moins pour $Re(a) \ge 0$.

    Pourrais-tu être plus clair ?
  • On peut trouver $ u\in L^2$ tel que $Tu\not\in L^2$ au sens des distributions, donc l'opérateur $T$ n'est défini que sur son domaine maximale $D=\{u\in L^2, Tu\in L^2\}$.

    On a $T$ est borné de $(D,|||_2) \to L^2$ ssi $(D,|||_2)$ est un espace de Banach.

    Les fonctions $(x-y)^{a}$ ne sont jamais dans $L^2$ car si $\int_{R^{2}} | (x-y)^{a} |^2 dxdy \leq \infty$ alors par Fubini $\int^{\infty}_{0}r^{2\Re(a)+1}dr < \infty$ et $\int^{2\pi}_{0} \frac{d\theta}{|\cos(\theta)-\sin(\theta) |^2} <\infty $ le sont, ce qui est impossible.


    Je reprends l'autre post ici, Ma question était $|| Lf ||^2=|| Tf ||^2+||Sf ||^2$ avec $L$ est inversible et $T$ et $S$ sont injectifs.

    L'exemple que tu m'as donné c-a-d $L=I, \quad T=P$ et $S=I-P$ ne convient pas car:

    si $V$ est un sev fermé de $H$ et $P$ la projection orthogonale sur $V$ on a $Ker P= \overline{ V}^{\perp}$, donc $P$ n'est pas injectif. non?
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