[extension de corps] Nullstellensatz

Salut,

J'utilise le Nullstellenstaz dans la situation suivante :

Soit $\mathcal{M}$ un idéal maximal de $\Q[X,Y]$ alors l'extension $\Q[X,Y] / \mathcal{M}$ est un corps et on dispose d'une extension $$\Q \hookrightarrow \Q[X,Y] \twoheadrightarrow \Q[X,Y] / \mathcal{M}$$ algébrique selon le Nullstellenstaz.

Je dispose donc d'un élément primitif $\overline{\zeta} \in \Q[X,Y] / \mathcal{M}$ i.e :
$$\Q[X,Y] / \mathcal{M} =\Q[\overline{\zeta}]$$
Maintenant, je prend un polynôme minimal $F(t)$ de $\overline{\zeta}$ sur $\Q$. J'ai envie de dire que : $F(\zeta) \in \Q[X,Y]$ est dans le noyau de $\Q[X,Y] \twoheadrightarrow \Q[X,Y] / \mathcal{M}$
i.e $(F(\zeta)) \subset \mathcal{M}$ ?

Mais je pense que l'inclusion est stricte et du coup je n'arrive pas à récupérer l'idéal maximal ?
Dans l'idée je voulais faire ça pour décrire les idéaux maximaux de $\Q[X,Y]$ ?

Un petit exemple :
Je prend $\mathcal{M}:=(X^2+1,Y^2-2)$, alors $\overline{X}+\overline{Y}$ est un élément primitif de $\Q[X,Y] / \mathcal{M}$. Son polynôme minimal est $t^4-2t^2+9$ et donc le polynôme $(X+Y)^4-2(X+Y)^2+9 \in \mathcal{M}$.
On peut vérifier que : $$(X+Y)^4-2(X+Y)^2+9 =(X^2+6*Y^2+4*X*Y-3)(X^2+1)+(Y^2-2)(Y^2+4X*Y-6)$$

Réponses

  • En gros, ton idéal maximal correspond à un point, tandis que l'élément de $\Q[X,Y]$ que tu récupères correspond à une courbe passant par ce point.
  • Du coup, je fais la même chose avec un autre générateur $i+2\sqrt{2}$ par exemple ... $P_2:=(x+2*y)^4-14*(x+2*y)^2+81$. Je suis censé retrouver l'idéal $\mathcal{M}$ lorsque je regroupe les deux ?

    J'ai peux être un soucis de calcul sur Gap.
  • Salut flip-flop. Je t'attache 3 exercices corrigés (cours de D.E.A 2002-2003) que je viens de recompiler. L'exercice qui concerne ta question est l'exercice 3.

    Rien à voir : tu connais les Pyrénées ?
    Amicalement.
  • Je réponds à ton deuxième post : ce n'est pas Gap qui a un souci. Tes deux polynômes en $X,Y$ sont bien dans l'idéal maximal mais ils n'engendrent pas l'idéal maximal. L'idéal engendré par ces 2 polynômes n'est pas maximal et de degré résiduel 16. A toi de découvrir la structure du résiduel.
  • Ton idéal maximal correspond à 4 points (sur la clôture algébrique). Tes deux courbes de degré 4 se coupent en 16 points. Tu peux remarquer que chacune de tes courbes est la réunion de 4 droites parallèles.
  • Au boulot flip flop !

    Sinon : non je ne connais pas les Pyrénées, on m'a parlé d'un endroit très sauvage ! Un jour !
  • Au boulot, vraiment ? Tu veux plutôt dire que tu as de quoi faire mumuse, non ? Se pointent des idéaux de dimension 0, des idéaux ``triangulaires'', ...etc... Quelle chance tu as.

    Petite remarque : ton idéal $\mathcal M = \langle X^2 +1, Y^2 - 2\rangle$ est un peu trop simple mais il faut bien commencer par quelque chose. Je veux dire par là que si on pose $\mathbb Q[x,y] = \mathbb Q(x,y) = \mathbb Q[X,Y]/\cal M$, alors le polynôme minimal de $x$ sur $\mathbb Q$ est $f(T) = T^2 +1$, celui de $y$ est $g(T) = T^2 - 2$. Et ``par chance'' $\mathcal M = \langle f(X), g(Y)\rangle$.

    Mais c'est faux pour un idéal maximal $\cal M$ quelconque de $\mathbb Q[X,Y]$ : ce n'est pas vrai que $\mathcal M = \langle f(X), g(Y)\rangle$ où $f, g$ sont définis comme ci-dessus. Certes, tu n'as jamais dit cela (pour la bonne raison que c'est moi qui le dit). Exemples ?

    Faire mumuse. Soit $W \subset K^n$ une partie finie où $K$ est un corps commutatif. Montrer que $I(W)$, l'idéal de $W$ i.e. des polynômes de $K[X_1, \ldots, X_n]$ qui s'annullent sur $W$, peut-être engendré par $n$ générateurs. Indépendamment de la taille de $W$. Pour $n=2$, écrire en Gap un algorithme qui ...etc ...

    Je t'assure : vraiment de quoi faire mumuse ... Mais de quoi je me mêle alors que toi tu veux jouer (peut-être) avec les idéaux maximaux de $K[X_1,\ldots, X_n]$ ?
  • Salut,

    Je fixe d'abord un truc informatique, car je découvre Gap en même temps.
    x:=Indeterminate(Rationals,1);;y:=Indeterminate(Rationals,2);;
    P:=x^2*y^2+2;
    Q:=x^2+1;
    R:=y^2-2;
    base:=[P,Q];
    PolynomialDivisionAlgorithm(R,base,MonomialLexOrdering());
    

    On a bien : $y^2-2 = (x^2+1)*y^2-(x^2*y^2+2)$,

    Gap ne retrouve pas cette relation, disons que gap ne fait pas ce que je pense qu'il fait :-D Je vais tester avec les bases de Groebner.

    Oui j'ai "compris" l'histoire des $4$ droites et des $16$ intersections. Bon donc j'ajoute une nouvelle équation :
    $Pxy:=(x+y)^4-2*(x+y)^2+9$
    $Px2y:=(x+2*y)^4-14*(x+2*y)^2+81$
    $Px3y:=(x+3*y)^4-34*(x+3*y)^2+361$
    Je trouve : $\mathcal{M}=(Pxy,Px2y,Px3y)$.

    Stop pour aujourd'hui, je me suis grillé le cerveau avec l'informatique
  • @ Claude :

    Pour l'exemple (contre-exemple), bon je peux prendre $\mathcal{M}=(X^2+1, Y-(X+1))$ ou encore $\mathcal{M}=(X^2+1, Y^2+X)$.

    Je voulais prendre $\mathcal{M}=(X^2+5,? )$ pour éviter $\Q[ i]$ et chercher la bagarre avec $\Z[i\sqrt{5}]$ mais je suis sur le corps donc y'a pas de problème d'anneau d'entier ici :-D
  • @GBZM (tu) : J'adopte

    Je réponds à ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1359928,13599701 $$
    \xymatrix @C = 3cm{

    \Q [A,B] \ar[d] \ar[r]^{A \to X+Y}_{B \to X+2Y} &\Q[X,Y] \ar[d]^{\pi_I} \ar[r]^{\pi} & \Q [X,Y ] / \mathcal{M} \\

    \Q[A,B] / I \ar[r] & \Q[X,Y] /I \ar[ur]

    }
    $$ Je note $F_1(T)$ le polynôme minimal de $i+\sqrt{2}$ et $F_2(T)$ celui de $i+2\sqrt{2}$ et on note $I:=(F_1(X+Y),F_2(X+2Y))$ l'idéal dans $\Q[X,Y]$. Si je comprends, il s'agit de trouver le quotient $\Q[X,Y] / I$.

    Alors, je note $A:=X+Y$ et $B:=X+2Y$, et j'obtiens un isomorphisme (de $\Q$-algèbre) : $\Q[X,Y] \to \Q[A,B]$, l'idéal $I$ se "transforme" (je fais le faignant) en $I:=(F_1(A),F_2(B))$. et on a : $$
    \Q [A,B] / (F_1(A),F_2(B)) \simeq (\Q [A] [ B]/ F_1(A)) / F_2(B) \simeq \Q [ i,\sqrt{2} ] [ B ] / F_2(B)
    $$ Mais $F_2$ se décompose en un produit de $4$ facteurs dans $\Q [ i,\sqrt{2} ]$. Du coup,
    $$
    \Q [A,B] / (F_1(A),F_2(B)) \simeq \Q [ i,\sqrt{2} ]^4
    $$ Et on retrouve le degré $16$.

    Bon ceci est explicite mais j'ai un peu la flemme de tout faire (mais faut le faire proprement). Mais par exemple on a un morphisme $\Q[X,Y] \to \Q[ i,\sqrt{2}]^4$ est donnée par $X \to i+4\sqrt{2}$, $Y \to -3\sqrt{2}$ dont le noyau est $(Y^2-18, 3X^2+8XY+99)$ ... Mouhais je ne comprends plus rien :-D à part que cet idéal est dans la liste donnée par Sage !
  • On voit bien que tu t'amuses (post précédent). Vu les (contre-)exemples dans un autre post. Suite de cet autre post avec un idéal maximal $\mathcal M $ de $K[X,Y]$ et $K(x,y) = K[x,y] = K[X,Y]/\mathcal M$. Ce qui est vrai c'est que $\mathcal M = \langle f(X), g(X,Y)\rangle$ où $f(T)$ est LE polynôme minimal de $x$ sur $K$ et $g(X,Y)$ UN polynôme unitaire en $Y$ obtenu à partir du polynôme minimal de $y$ sur $K(x)$. Sur $K(x)$ et pas sur $K$.
    Ceci est le but de l'exercice 3. On ne peut pas faire mieux que 2 générateurs i.e. $\mathcal M$ n'est pas 1-engendré (souviens toi de ta première tentative). Et ensuite, tu t'es mis à jouer avec 3 générateurs ...etc..

    Bref, dans le cadre des idéaux maximaux de $K[X,Y]$, un système ``triangulaire'' de deux générateurs (je ne définis pas ce que c'est par précaution). Concrètement, l'obtention d'un tel système générateur peut être réalisée via des bases de Grobner pour un certain ordre lexicographique. Dit autrement, les bases de Grobner permettent, dans un contexte à préciser mais j'ai la flemme, de calculer des polynômes minimaux.
  • En poursuivant avec SageMath :57326
  • Oui :-D je suis en train de regarder l'exercice 3. D'ailleurs, vu de loin ça me fait penser à une méthode pour trouver les idéaux maximaux de $\Z[X]$ ... C'est plus simple car $\Z$ est principal ... le prof avait conclu l'exercice par la petite phrase : " Vous voyez, le but de la géométrie algébrique c'est de décrire les idéaux de $\Z[X_1,\dots X_n]$."

    Je n'en suis pas là, revoir les bases !
    Merci pour ton aide ;-)
  • @GBZM

    Hum, je pense comprendre ... je vais faire un autre exemple !
  • C'est très simple. On retrouve le polynôme minimal de l'élément primitif choisi de l'extension, de degré 4, et l'expression de $x$ comme polynôme de degré $<4$ en cet élément primitif.
  • Hum du coup, si je prends l'idéal $\mathcal{M}:=(X^2+1,Y^2+X)$, on n'a pas cette propriété mais si je fais Groebner.
    Je trouve : $(X+Y^2,Y^4+1)$.

    Tout idéal maximal de $\Q[X,Y]$ s'écrit $\mathcal{M}=(F(X),Y-P(X))$ avec $\deg(P) <\deg(F)$ et $F$ est irréductible sur $\Q[X]$ ?
  • En mode : flop flip.

    Réflexion : Si je considère l'ensemble algébrique $V(X+Y^2,Y^4+1)$ dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ sur $\overline{\Q}$ : notre idéal $\mathcal{M}$ est vu comme l'intersection de $4$ droites d'équation $[Y:=\zeta]$ où $\zeta^4=1$ et d'une parabole $\mathcal{P}$ d'équation $X=Y^2$ ... chaque droite coupant la parabole en $1$ point (bon y'a $\infty$ aussi passons) je note le point $A_\zeta$ et j'ai une action de Gal$(\Q[\zeta] | \Q)$ sur les $4$ points.

    L'idée est de faire varier les $4$ droites en introduisant un paramètre $t$ (une translation selon l'axe $(Oy)$ pour balayer entièrement la parabole et induire un action de Gal$(\Q[\zeta] | \Q)$ sur la parabole toute entière ... On voit bien qu'il va y avoir un problème lorsque les cartes droites vont se rencontrer au sommet de la parabole ...

    On note $A_{\zeta,t} := V(X+Y^2,Y^4+1+t)$ et on a paramétrisation de la parabole : $\mathcal{P}:= \{ A_{\zeta,t}, \ (\zeta, \ t )\}$ et une action de Gal$(\Q[\zeta] | \Q)$ sur $\mathcal{P}$ qui va faire un truc louche pour $t=-1$.
  • Ton avant dernier post. Soit $R$ un anneau commutatif quelconque et $I$ un idéal de $R[X,Y]$ de la forme $I =\langle F(X), Y-P(X)\rangle$. ``Comme toi'' mais sans rien de plus. Alors dans le quotient $R[x,y] = R[X,Y]/I$, on a $y = P(x)$, donc $R[x,y] = R[x]$.

    Crois tu encore à ta question à la fin du post (l'avant dernier) ``Tout idéal maximal .... s'écrit .... ?''.
  • Claude, j'y crois a moitié faut que j'échange $X$ avec $Y$ déjà !
  • Je fais suite à ce message

    Petite bifurcation avant de faire l'exercice 3.

    @Claude : tu m'as parlé des Pyrénées, tu as fais des sommets là bas ? un 3000m ? j'ai fais un joli sommet (enfin presque) frontière entre France et Italie ... l'aiguille de Scolette pas très intéressant niveau marche (gros éboulis a remonter au mieux) mais le panorama est grandiose.

    Le but est de décrire les idéaux maximaux de $\Z[X]$.

    Soit $\mathcal{M}$ un idéal maximal de $\Z[X]$, alors $\mathcal{M} \cap \Z$ est un idéal premier. Ceci est un résultat sur les idéaux premiers :" l'image réciproque par un morphisme d'un idéal premier est un idéal premier "(je passe la démonstration, c'est le 1er théorème d'isomorphisme).

    Bref $\mathcal{M} \cap \Z = (0)$ ou $\mathcal{M} \cap \Z =(p)$ où $p$ est premier dans $\Z$.

    Le premier cas est a exclure.

    En effet dans ce cas pour tout $p$ premier, on a $(\mathcal{M},p)=(1)$ par maximalité de $\mathcal{M}$. Prenons alors $g \in \mathcal{M} \setminus \{0\}$, alors $g$ est non constant et $g:=a_0+a_kX^k+\dots+a_nX^n$ on choit $p$ ne divisant pas $a_k$, alors la réduction de $g$ modulo $p$ n'est pas inversible dans $\Z / p\Z [X]$. Mais comme $(\mathcal{M},p)=(1)$ il existe $u$ et $v$ dans $\Z[X]$ tel que : $gu+pv=1$, en réduisant modulo $p$, on voit que $g$ est inversible ... contradiction.

    Bref, $\mathcal{M} \cap \Z =(p)$ où $p$ est premier dans $\Z$.

    On considère alors la réduction modulo $p$ :
    $$
    \Z[X] \twoheadrightarrow \Z/ p \Z [X]
    $$

    qui induit une bijection entre les idéaux maximaux de $\Z[X]$ contenant $p$ et les idéaux de maximaux $\Z/ p \Z [X]$.
    Ainsi il existe $F \in \Z[X]$ tel que la réduction modulo $p$ soit irréductible et tel que $\mathcal{M}=(p,F)$.


    Bon bah pour $\Q[X,Y]$ il suffit de faire pareil. Finalement, $\mathcal{M} = (F(X),G(X,Y))$ avec $G(X,Y)$ irréductible dans le quotient $\Q[X]/F(X)$.
  • Vu (les idéaux maximaux de ..)

    A propos des Pyrénées : on est des petits joueurs (on a commencé sur le tard). Et donc, on se contente de franchir tous les cols que l'on peut franchir entre l'Espagne et la France. Cela nous amuse beaucoup. Une fois, en louant les services d'un guide (espagnol), nous avons fait l'ascension des Posets (3300 m et des poussières) ; manque de pot, il ne faisait pas beau (en clair, on n'y voyait rien) mais comme on avait retenu le guide, il a bien fallu monter. Il y a dix jours, pendant une semaine, petites randos en étoile autour des Mallos de Riglos.
  • @Claude

    Entre col et sommet mon coeur balance :-D J'ai le sentiment qu'un col offre un panorama plus local ... un sommet s'ouvre sur l'environnement extérieur ! A faire, en vélo / voiture ... col de la croix de fer vu magnifique sur les aiguilles d'Arves (voir la bouteille d'Evian), col du Galibier, d'une part pour voir la performance humaine du tracé de cette route de légende ... d'autre part le panorama, au col, sur le massif des écrins ... le levé du soleil est magique !

    Bon, c'est un peu hors sujet, j'espère qu'AD ne va pas fermer le post ... j'ai du mal avec le ne, merci pour les corrections AD ;-) je fais beaucoup de fautes !
    @Maths
    Je répond à ce message

    On a vu que tout idéal maximal de $\Q[X,Y]$ est de la forme $(F(X), G(X,Y))$ où $G(X,Y)$ se réduit modulo $F(X)$ en un polynôme $G(x,Y)$ irréductible dans $\Q[x][Y]$.

    On note $x$ la réduction de $X$ dans $\Q[X] / F(X)$ et $y$ la réduction de $Y$ dans ${\Q(x) [Y] \over (G(x,Y))}$.

    Alors $y$ est algébrique sur $\Q$ (transitivité de l'algébricité), on note $\Pi(Y)$ son polynôme minimal sur $\Q$. De plus, $x \in \Q[Y] / \Pi(Y)$, il existe $\Gamma \in \Q[Y]$ tel que $x=\Gamma(Y)$. (L'hypothèse n'est pas démontrée, $x \in \Q[Y] / \Pi(Y)$ ... )

    Du coup, $${\Q[X,Y] \over \mathcal{M}} = {\big\lgroup\Q[Y] / \Pi(Y) \big\rgroup[X] \over (X-\Gamma(y)}={\Q[Y,X] \over (\Pi(Y),(X-\Gamma(Y))} $$

    EDIT : j'ai mis en rouge la partie fausse suite au massage de Claude.
    @GBZM : j'ai fais quelques tests avec Sage ... Merci, pour le code ... j'aime bien comme langage. C'est un peu de la programmation objet. J'ai un anneau R et je veux créer un idéal ... R.ideal ... c'est très clair !
  • Je ne comprends pas du tout : dans ta dernière ligne, tout à droite, figure un quotient du type $\Q[Y,X] / \langle \mathrm {trucs}\rangle$. Faudrait quand même que trucs soient des polynômes de $\Q[Y,X]$.

    Par ailleurs, est ce que tu prétends toujours que $\cal M = \langle .., .. \rangle$ comme ``autrefois'' ?? Exprès, je ne mentionne pas ce qui est à l'intérieur de $\langle\quad\rangle$ (c'est ce que tu y avais mis). Prétendre ce que tu prétendais autrefois, c'est prétendre, en notant avec un surligné les classes modulo $\cal M$:
    $$
    \Q[X,Y]/\mathcal M \quad\buildrel {\rm def} \over =\quad \Q[\overline X,\overline Y] = \Q[\overline X]
    $$
    C'est un peu comme si tu prétendais (relire mon post auquel tu prétends répondre) que toujours
    $$
    K(x,y) = K(x)
    $$
    Par ailleurs, je crois comprendre que ``quelque part'' tu as dû échanger $X$ et $Y$. Mais cela ne change rien au fait que $K(x,y)$ ce n'est pas toujours non plus $K(y)$.

    Bien sûr, tu n'as jamais affirmé que $K(x,y) = K(x)$ ni que $K(x,y) = K(y)$. Mais il faut bien que je te pousse dans des retranchements.
  • J'ai mis en rouge mon erreur + corrections (Y,y,etc)
  • Sois franc : est ce que tu affirmes que $\mathcal M$ est de la forme $\langle \Pi(Y), X - \Gamma(Y)\rangle$ ?

    Par ailleurs, c'est quoi cette histoire de $x$, qui a la troisième ligne est un habitant de $\Q[X] / \langle F(X)\rangle$. Alors que dans les lignes 1,2, c'est visiblement un habitant de $\Q[X,Y]/\mathcal M$. Bien sûr, le corps $\Q[X] / \langle F(X)\rangle$ s'injecte dans $\Q[X,Y]/ \cal M$. Mais ce n'est pas une raison pour abuser de ... Bon, ok, ce n'est pas mortel. Mais surtout, en lignes $4,5$, $x$ serait un habitant d'un autre anneau (en rouge d'une part et entre parenthèse à la fin de la ligne 5).

    Qui es tu $x$ ? Pourrais tu éviter de vouloir habiter plein de maisons différentes (je ne parle pas qu'à $x$ ici)?

    Et au fait, des exemples PERTINENTS, qui pourraient permettre de contrôler ? ... Contrôler quoi ? C'est à toi de le dire (ici, je parle à flip-flop). Une annonce franche du genre : j'affirme que tout idéal maximal de $\Q[X,Y]$ est de la forme truc. Et moi, j'affirme que tu es capable (susceptible) de contrôler la véracité de tes dires.
  • Notons :
    1. Tout idéal maximal de $\Q[X,Y]$ s'écrit sous la forme $\mathcal{M}=(F(X), G(X,Y))$ avec $F$ irréductible sur $\Q[X]$, et tel que $G(X,Y)$ se réduit modulo $F(X)$ en un polynôme irréductible de $(\Q[X]/F(X))[Y]$.
    2. Tout idéal maximal de $\Q[X,Y]$ s'écrit sous la forme $\mathcal{M}=(\Pi(Y),X-\Gamma(Y))$ avec $\Pi(Y)$ irréductibles dans $\Q[Y]$ et $\Gamma \in \Q [ Y ]$.

    J'affirme que 1. est valide.
    Pour 2. j'ai besoin de temps supplémentaire pour décider.
    Mais j'affirme que je me suis trompé dans le message d'hier (partie rouge, il y a une erreur, en dehors des problèmes $X$ $x$).
  • Pour 2.

    Bon simplement, $\mathcal{M}:=(X^2+1,Y^2-2)$. semble être un contre exemple ... c'est ce que tu me dis, Claude, depuis deux jours (td)

    Je le fais formellement, on a bien remarqué que j'ai un peu de mal à ne pas mélanger les habitations ..."vient chez moi j'habite chez une copine "

    On considère : $$\pi : \Q[X,Y] \longrightarrow \Q[X,Y] / \mathcal{M}$$
    On note : $x:=\pi(X)$ et $y:=\pi(Y)$.

    Ainsi $\Q[X,Y] / \mathcal{M}=\Q[x,y]$ et bien entendu $\Q[x,y]$ n'est n'y égal à $\Q[x]$ n'y a $\Q[y]$.

    Mais si $\mathcal{M}$ peut s'écrire sous la forme prédite par 2. du message juste au dessus. Alors forcément,
    $\Pi(y)=0$ et $x=\Gamma(y)$ de sorte que : $\Q[x,y]=\Q[y]$ (puisque $x$ est un polynôme en $y$). Contradiction.
  • Vu. Evidemment, des contre-exemples, c'est monnaie courante. Car c'est quand même assez rare que $\Q[x,y]$ soit égal à $\Q[x]$ ou à $\Q[y]$. Cela se saurait.
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