Majoration uniforme

Bonjour, j'aurais besoin d'aide : je cherche à majorer le module de la fonction $\gamma : (z,t)\in \{ z\in \mathbb{C}\ ;\ {\rm Re}(z)>0\}\times \mathbb{R}_+^* \mapsto t^{z-1}e^{-t}$ indépendamment de $z$ par une fonction intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$, mais j'ai beaucoup de mal.

Tout ce que j'ai réussi à dire pour le moment, c'est que quel que soit $(z,t)\in \{ z\in \mathbb{C}\ ;\ {\rm Re}(z)>0\}\times \mathbb{R}_+^*$ : $|\gamma(z,t)| \le t^{{\rm Re}(z) -1} e^{-t}$.

Merci d'avance !

Réponses

  • Pour $t > 1$, que vaut $\sup_{x > 0} t^{x-1}e^{-t}$ ?
  • Tu ne risques pas de t'en sortir indépendamment de $z$ de partie réelle $> 0$. Tu devrais essayer de majorer uniformément sur tout compact de $\C$ (pour $z$). La majoration que tu as donnée devrait t'aider.
  • Bonjour,

    En dérivant $x\mapsto t^{x-1}e^{-t}$, on a $\frac{d}{dx}(t^{x-1}e^{-t} ) = \ln(t) e^{(x-1)\ln(t)}e^{-t} >0$ donc $x\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ est strictement croissante et $\sup_{x > 0} t^{x-1}e^{-t} = \lim_{x\to +\infty} \sup_{x > 0} t^{x-1}e^{-t} = +\infty$.
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