Composée de deux fonctions DSE

fbi

Bonjour,
sous réserve de son existence, la composée de deux fonction DSE est-elle DSE ?
Je ne vois aucun résultat concernant cette question dans la littérature.
Je précise que cette question m'a été posée lors de la présentation de la leçon "Fonctions DSE" pendant la préparation de l'oral de l'agreg interne.
Cordialement.

Magnéthorax

Regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_entière#Substitution

Dans un livre classique d'analyse genre calcul infinitésimal, ça doit y être.

fbi

OK,
merci,
je vais chercher dans le Dieudonné mais cela risque de dépasser mes compétences ...

Magnéthorax

J'ai regardé vite fait, ça y est. C'est typiquement le genre de truc un peu sale à écrire.

Poirot

À la main c'est en effet plutôt "sale" à prouver. Sinon on peut utiliser la théorie des fonctions holomorphes pour justifier ce fait. Cela prouve le résultat sur $\mathbb C$. Sur $\mathbb R$ il suffit de remarquer qu'une fonction DSE au voisinage (réel) de $a$ définit une fonction DSE donc holomorphe au voisinage (complexe) de $a$ par convergence de la série entière.

Archimède

Je pense qu'il suffit d'utiliser la propriété d'associativité des familles absolument sommables de nombres complexes.