Polynômes irréductibles

Bonjour,56334

Réponses

  • ATTENTION !!!!

    Un polynôme de degré $4$ peut ne pas avoir de racine dans $\mathbb{Q}$ et être réductible ... $P(x)=(X^2-2)(X^2-3)$
  • Bonsoir,

    Quelles sont les critères d’irréductibilité que tu connais ? Faire attention que le polynôme $P_2$ n'est pas unitaire !

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @flipflop : Ah oui, c'est valable uniquement pour des polynômes de degré 2 ou 3 (à coefficients entiers).

    @Thierry POMA : J'ai vu le critère d'Eiseintein Eisenstein après les autres n'ont pas de nom, on a parlé de polynômes primitifs, de contenu. Je sais également qu'on peut étudier l'irréductibilité d'un polynôme en travaillant dans $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ avec $p$ premier, mais je ne maîtrise pas du tout cette méthode.

    [Gotthold Eisenstein (1823-1852) mérite le respect de son patronyme. ;-) AD]
  • Pour $P_1$ utilise ton deuxième critère avec $p=2$.
  • flipflop
    Dans ${\bf Z}/2{\bf Z}$, $P_1=X^4+X-1$, mais je ne sais pas quoi faire après...

    [Inutile de répéter le message précédent. AD]
  • Tu écris
    $$
    X^4+X+1=(x^2+aX+1)(x^2+bX+1)
    $$
    et tu cherches $a$ et $b$. Si tu ne trouves pas, ton polynôme est premier irréductible dans $\Z/2\,\Z$.
  • $\left | P_2(m) \right |$ est un nombre premier pour $m \in \{\pm 93, \pm 63,-42,-18,-15,3,33,90 \}$ donc $P_2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ par le critère d'Ore.
  • $P_1(4)=163$ est est premier et $P_1$ n'a aucune racine dans le disque $|z-4| \leqslant 1$, donc $P_1$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.

    Même chose pour $P_3$ : $P_3(4) =331$ est premier et $P_3$ n'a aucune racine dans le disque $|z-4| \leqslant 1$, donc $P_3$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.

    Même chose pour $P_4$ : $P_4(4) = 661$ est premier et $P_4$ n'a aucune racine dans le disque $|z-4| \leqslant 1$, donc $P_4$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.

    Même chose pour $P_5$ : $P_5(5)=719$ est premier et $P_5$ n'a aucune racine dans le disque $|z-5| \leqslant 1$, donc $P_5$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.
  • noix de totos: si on est en examen, va falloir bien connaitre les nombres premiers. :-D

    Si deux coefficients sont premiers entre eux (en supposant ton polynôme unitaire),Eisenstein(impardonnable) ne fonctionnera pas. Si tu veux faire de la reduction, il faut absolument prendre un $p$ qui ne divise par le terme constant...

    Et si le pgcd des coefficients vaut 1 (on dit contenu bof), alors l'irréductibilité sur Q est équivalente à celle sur Z, et si tu n'as pas de racines: une factorisation s'impose. Il y a d'autres méthodes (avec les extensions) mais ici on veut te faire calculer, je pense.
  • Siegfried : "Eisenstein", pas Einstein...

    D'autre part, mon message n'avait pour but que de présenter d'autres critères que les sempiternels "Eisenstein" et "réduction mod $p$". En particulier celui-ci, que j'ai utilisé quatre fois, dont la démonstration est relativement simple et facile à vérifier en examen : Soit $P \neq \pm 1$ un polynôme entier et soit $m \in \mathbb{Z}$ tel que $|P(m)|$ soit égal à $1$ ou à un nombre premier. Si $P$ n'a aucune racine dans le disque $|z-m| \leqslant 1$ alors il est irréductible sur $\mathbb{Z}$.

    Et il y en a encore bien d'autres....
  • Salut,

    Comment tu vérifies qu'il n'y a pas de racines dans le disque ?
  • noix de totos: merci pour la correction, pourtant je l'écris toujours bien à la main..

    Mais je n'ai pas dit que ton message était inintéressant, au contraire je ne le connaissais ce critère pas. Le seul hic c'est de connaitre que 661 et 719 etc sont des nombres premiers, mais si tu as d'autres critères (ou une référence), je suis preneur.
  • @FlipFlop : tu peux utiliser des théorèmes de localisation de racines, comme celui d'Eneström-Kakeya, par exemple.

    Un exemple : soit $p$ premier. Montrer que $P=X^{p-1} + 2 X^{p-2} + 3 X^{p-3} + \dotsb + (p-1)X + p$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.

    @Siegfried : Tu peux en trouver par exemple dans le Polya-Szegö, volume 2. Lorsque $P$ est unitaire, tu as le critère de Dumas (il doit y être sur wiki), le critère de Perron, un critère dû à Filaseta, et même celui-ci :

    Soit $P$ un polynôme entier unitaire tel que $P(0) \neq 0$ et on suppose que $P$ a exactement une racine $\alpha$ de multiplicité $1$ telle que $|\alpha| \geqslant 1$. Alors $P$ est irréductible sur $\mathbb{Z}$.
  • Merci beaucoup!!
  • @noix de totos : désolé mais je ne trouve pas ça cool que tu ne fasses pas l'effort de donner un lien

    même google ne connait pas ton critère
  • Merci noix de toto !

    J'avais trouvé un critère assez marrant :

    Soit $P$ un polynôme dans $\mathbb{Z}[X]$ : $P=\sum_{i=0}^n a_i X^i$ avec $a_i \in [0,9]$ tel que $P(10)$ est un nombre premier alors la polynôme est irréductible.

    $339671$ est un nombre premier donc $1+7x+6x^2+9x^3+3x^4+3x^5$ est irréductible.

    La démonstration est élémentaire mais je ne me souviens plus du tout ... c'est peut-être un critère de Polya lien ici
  • @Reuns : comme quoi, l'homme est toujours plus fort que la machine...

    Blague à part, mes interventions ici, comme pour d'autres intervenants, sont en général assez rapides et j'avoue ne pas toujours me souvenir des références. Ceci dit, je crois savoir que Michael Filaseta http://people.math.sc.edu/filaseta/, bien connu des arithméticiens, avait écrit un livre remarquable sur l'irréductibilité : il est possible que certains des critères évoqués ci-dessus proviennent de là, mais je ne peux pas le garantir.

    En revanche, on trouve des démonstrations de certains d'entre eux dans le livre Arithmetic Tales de Bordellès, Springer, 2012.

    @FlipFlop : l'un des critères de Filaseta dont je parlais ci-dessus est le même que le tien, mais avec les coefficients $a_i$ du polynôme vérifiant $a_i \in \{0,\dotsc,10^{15} \}$.
  • Bonjour
    Si on sait que dans $Z/2Z[X]$ tout 4ième degré sans racine et distinct de $X^4+X^2+1=(X^2+X+1)^2$ est irréductible
    (le seul irréductible de degré 2 est $X^2+X+1$)
    le passage à $Z/2Z[X]$ pour $P_1,P_3,P_5$ donne tout de suite, sans calcul, leur irréductibilité dans $Z/2Z[X]$, donc dans $Q[X]$

    Pour $P_4$, le passage modulo 2 donne $X^5-1$ qui se factorise tout de suite en 2 irréductibles de $Z/2Z[X]$ : là on ne peut conclure tout de suite.
    Mais si $P_4$ était réductible dans $Z[X]$, puisqu'il n'a pas de racine dans $Z$ ( les diviseurs de 5 ne sont pas racines),
    il se factoriserait en degré2xdegré3, et en revenant à $Z/2Z[X]$ , on arrive à une contradiction, puisque dans $Z/2Z[X]$ , $P_4$ n'est pas divisible par un second degré.
    Donc $P_4$ est irréductible dans $Z [X]$ donc dans $Q [X]$, car le contenu est 1

    Pour $P_2$, évidemment on ne peut travailler dans
    $Z/2Z[X]$, mais en passant dans $Z/3Z[X]$, le polynôme obtenu a 2 racines évidentes, 1 et 2=-1, qui donnent la décomposition en 3 facteurs irréductibles de $Z/3Z[X]$ et avec le même raisonnement que pour $P_4$, $P_2$ est irréductible sur $Q[X]$.
  • Merci pour votre aide à tous ! ;-)
  • J'aurais une autre question : est-ce que si l'on a deux corps isomorphes, disons K et L, peut-on dire qu'un polynôme P a une racine dans K si et seulement si P a une racine dans L ? (Je n'ai pas eu de cours sur les corps).
  • Et $P$ est à coefficients dans quoi ?
  • Oui, peut-être que j'ai été un peu imprécis : P est à coefficient dans K disons.

    Je demande ça parce que j'aimerais déterminer si $X^4+2$ a une racine dans le corps $F_{5^2}$. Pour cela, j'ai considérer l'isomorphisme de corps $f : F_{5^2}[X]\to F_{5}[X]/(X^2+2)$, où $(X^2+2)$ est irréductible dans $F_{5}[X]$.
    $f(X^4+2)=1$ et $1$ n'a pas de racines dans $F_{5}[X]/(X^2+2)$.
  • Qu'est-ce qu'une racine dans $L$ d'un polynôme à coefficients dans $K$ ?
    Je te pose ces questions pour que tu précises ton problème (en pensant qu'une fois que tu l'auras suffisamment précisé, la réponse te semblera évidente).
    PS : le $f$ que tu as écrit me semble bizarre comme isomorphisme de corps. Sans doute une coquille à corriger.
  • Mon problème est donc de savoir si le polynôme $P=X^4+2$ a une racine dans $F_{5^2}$ ou pas, et hormis ce que j'ai proposé, je n'ai pas vraiment d'autres idées.
  • Je t'ai posé une question et j'ai fait une remarque à propos du $f$ que tu as écrit. Ne veux-tu pas y réfléchir ?
  • Ah oui, mince, ce serait plutôt $f :F_{5^2}\to F_5[X]/(X^2+2)$...
  • Reste la question : qu'est-ce qu'une racine dans $L$ d'un polynôme à coefficients dans $K$ ?

    (Tu supposes avoir un isomorphisme $\sigma : K\to L$, à ce que j'ai compris).
  • Oui, mais du coup ce que je veux montrer ne marche plus : $K=F_{5^2}$ ne contient pas de polynômes, je suis un peu perdu...
  • Tu nages en pleine confusion, reprends-toi !
    Un polynôme à coefficients dans $K$ n'est pas un élément de $K$, mais de $K[X]$.
    Je reprends toujours ma question. Tu as un polynôme $P\in K[X]$ et un isomorphisme de corps $\sigma : K\to L$. Une racine de $P$ dans $L$, tel que, ça n'a pas de sens. Comment faire pour donner un sens ? (Peut-être en utilisant $\sigma$ ?)
  • Oui, il faut dire une racine de $\sigma(P)$ dans $L$.
  • On progresse. Mais ...
    petite question : $\sigma$ est un isomorphisme de $K$ sur $L$. Or $P$ n'est pas un élément de $K$, mais de $K[X]$. Que veut donc dire dire $\sigma(P)$ ?

    (Je t'embête, mais c'est pour ton bien, je t'assure ! :-D)
  • Je ne sais pas...
  • Voyons. Si $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0$ avec les $a_i$ dans $K$, ne vois-tu pas de manière naturelle de fabriquer un polynôme à coefficients dans $L$ en utilisant $\sigma : K\to L$ ?
  • (désolé pour cette réponse tardive, j'avais des problèmes de réseau...)

    Si évidemment, il suffit de prendre $\sigma(P)=\sigma(a_n) X^n + ... + \sigma(a_1) X + a_0$.
  • Une coquille : $\sigma(a_0)$.
    Bon. Faisons l'abus de notation de désigner encore par $\sigma : K[X] \to L[X]$ l'extension, définie comme tu l'as fait, de $\sigma$ aux polynômes.
    Soit maintenant $\alpha\in K$ une racine de $P$. Peux-tu me donner une racine de $\sigma(P)$ dans $L$ ?
    Soit $\beta\in L$ une racine de $\sigma(P)$. Peux-tu me donner une racine de $P$ dans $K$ ?
  • Bonjour,

    Je pense que c'est ce que voulait GaBuZoMeu. Toutefois, la notation $\sigma(P)$ me dérange un peu. En effet, $\sigma:\Bbb{K}\to\Bbb{L}$ est supposé être un isomorphisme de corps. Mais alors, comment aurait-on $\sigma(P)\in\Bbb{L}[X]$, où $X$ est une indéterminée ?

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @ Thierry,

    C'est de bonne guerre. Tu n'as jamais noté $\overline P$ le polynôme conjugué de $P\in\C[X]$ ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Bonjour GaBuZoMeu : Nos messages se sont croisés. Bonne fin de journée !!

    Bonjour EV : Oui c'est vrai, tu as raison. Bonne fin de journée à toi aussi !!

    ;-)
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Oui, j'ai oublié de "copier-coller" le sigma pour $a_0$...

    $\sigma(a)$ est une racine de $\sigma(P)$ dans $L$ ;
    $\sigma^{-1}(\beta)$ est une racine de $P$ dans $K$.
  • Est-ce que ça répond à ta question de départ :
    est-ce que si l'on a deux corps isomorphes, disons K et L, peut-on dire qu'un polynôme P a une racine dans K si et seulement si P a une racine dans L ?
  • Oui, $P$ a une racine dans $K$ ssi $\sigma(P)$ a une racine dans $L$.
    Mais du coup, je ne vois pas trop quel homomorphisme considérer pour étudier si $X^4+2$ admet ou non une/des racine(s) dans $F_{5^2}$...
  • Là tu as un polynôme à coefficients entiers, et les (images des) entiers sont préservés par n'importe quel homomorphisme.
    Concrètement, qui est $\mathbb{F}_{25}$ ?
    Quoi qu'il en soit, il est isomorphe à $\mathbb{F}_5[T]/(T^2+2)$ (j'ai pris $T$ pour ne pas me mélanger les pinceaux). Reste à voir si $X^2+4$ a une racine dans ce corps, c.-à-d. si $-2$ est une puissance quatrième dans $\mathbb{F}_5[T]/(T^2+2)$. Comme le groupe multiplicatif de ce corps est cyclique d'ordre 24 ...
  • $F_{25}=F_5 \times F_5$

    Je ne comprends pas bien pourquoi tu dis que :

    $X^2+4$ a une racine dans ce corps, c.-à-d. $-2$ est une puissance quatrième dans $\mathbb{F}_5[T]/(T^2+2)$.
  • Bon, il faudrait que tu apprennes tout de même quelques petites choses sur les corps finis. On n'a certainement pas d'isomorphisme de $\mathbb{F}_{25}$ avec $\mathbb{F}_5\times\mathbb{F}_5$ ! (Juste un isomorphisme des groupes additifs sous-jacents).
    Pour la suite, c'est une coquille : je voulais écrire $X^4+2$ a une racine ...
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