Produit d'espaces de Hilbert

supspé

Bonsoir,

Est ce que le produit fini et infini d'espaces de Hilbert est un espace de Hilbert.

Merci.

TomasV

Bonsoir

C'est assez loin et flou pour moi mais il me semble que le produit tensoriel d'espaces de Hilbert de dimension infinie n'existe pas .

supspé

Oui, déjà comment on va y définir un produit scalaire en cas de produit tensoriel infini. Pour le cas fini je pense on a pas un problème.

Par exemple , Pour $H$ et $K$ des espaces de Hilbert, on peut définir le produit scalaire sur $H\star K$ par: $$\Big<(x,y);(z,t)\Big>_{H\star K}= \Big<x;z\Big>_H+\Big<y;t\Big>_ K$$

remarque

Vla aut chose : https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces

Pour la question initiale, ben sur un produit fini on peut facilement mettre une structure hilbertienne telle que les facteurs soient orthogonaux. Dans le cas dénombrable, sans doute que oui aussi. Dans le cas non dénombrable, ptêt ben que non d'une façon qui soit compatible avec la structure hilbertienne des facteurs.

aléa

Pour avoir un sens, la question doit être reformulée: un produit d'espace est un objet ensembliste.
Ainsi, on peut se demander si un produit d'espaces de Hilbert peut être muni d'une structure d'espaces de Hilbert.
Pour un produit fini, la réponse est oui, et un produit scalaire raisonnable (*) n'est pas très difficile à prouver.
Pour un produit infini, il n'y a pas de manière raisonnable de le faire (penser à $\R^{\N}$), par contre il existe des manières déraisonnables de le faire, car on doit toujours pouvoir mettre en bijection un espace de Hilbert avec un ensemble de même cardinalité.
Là encore, la question mérite d'être précisée.

(*) en un sens à méditer

remarque

Il ne faudrait pas non plus confuser produit cartésien et produit tensoriel.

supspé

Merci à tous, je viens de trouver un fichier sur le net qui en parle.

igrec27

Bonjour,
Que penser de cet article:
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/meca_q/cours_chap4.pdf
On y lit ceci:
L'espace de Hilbert de la fonction d'onde, décrivant l'état spatial de la particule est :
 $Hespace = L^2 (R^3)$
L'espace de Hilbert du spin, décrivant l'état de spin est lui de dimension 2 : $Hspin = C^2$
 Alors l'espace de Hilbert total est le produit tensoriel : Htot = Hespace ⊗ Hspin

Pour l'auteur ca ne semble poser aucun problème.
Et si on a un opérateur hermitien sur Hspin et un autre sur Hespace, ils commutent sur Htot
en prenant $O1 \otimes Id$ et $Id \otimes O2$ 
peut on dire qu'il commutent?

igrec27

Habituellement l'intéret des produits tensoriels est qu'on a des produits AB et que quand on les dérive
on obtient une somme A'B + AB'. 
Ce qui est conservé c'est la somme (dans une direction donnée) du moment orbital et de la projection
du spin.
Dans l'article on introduit donc un produit ternsotiel du spin et de Hspace
le probleme c'est que le moment orbilal fait intercenir des opérateurs de position et d'impulsion
qui ne commutent pas. Impossible donc de faire apparaitre L + S.

Alain Connes est plus précis en nour rappelant qu'il n'y a qu'un seul espace hilbertien a base dénombrable $L^2 (N)$ 
Dans cet espace on peut trouver les suites définies sur N de carré sommables
Elles apparaissent comme spectre d'opérateurs discrets. Comme par exemple la multiplication par 1/n.

De plus des fonctions continues sur le segment [0 1] peuvent etre vues comme définies a partir
de son sous ensimble dence des nombres de Q (éléments de la base hilbertienne)
un exemple d'opérateur sur ces fontions est la multiplication par x qui est un opérateur continu.

Alain Connes nous dit ensuite que si ces deux types d'opérateurs ont leur
place sur cet espace de Hilbert unique, ils ne vont pas commuter.
Si on peut dianaliser un type d'opérateur, l'autre ne sera pas diagonal.

Et donc finalement pas besoin de cherher un produit d'espace de Hilbert dans ce cas.

Yanel

@supspé Est ce que tu peux partger le lien de ce fichier 

Hypocrates

Je crois qu'il y a des produits tensoriels topologiques aussi, des produits topologiques d'espaces de Hilbert.