isomorphismes d'anneaux

Bonjour, j'ai besoin d'établir un isomorphisme entre les anneaux $A/(x,y)$ et $B/( \bar y )$, où :
- $A$ désigne un anneau commutatif ;
- $x$ et $y$ sont deux éléments de $A$ ;
- $\bar y$ désigne la classe de $y$ dans $B=A/(x)$.
Mais je n'y parviens pas du tout.

J'ai voulu chercher à utiliser le premier théorème d'isomorphisme : en considérant une application $\phi : A \to B/( \bar y )$, j'ai essayé de prouver que son noyau est l'idéal $(x,y)$ et que $\phi$ est surjective, mais sans résultat.

Merci d'avance pour vos idées !

Réponses

  • Salut,

    Je pense que tu n'es pas loin de la solution.

    L'application que tu considères est la composée des projections canonique :

    $$
    f : A \to B \to B / (y)
    $$
    C'est une surjection comme composée de deux surjections.

    Pour le noyau je te laisse continuer
  • Il pourrait t'être utile de t'en remettre aux définitions de base. Tu n'as qu'un problème d'imprécision ou de rédaction, sans le savoir semble-t-il. Le graphe de l'isomorphisme que tu veux est vraiment très très proche d'une identité, mais pour rédiger ça, reprends très exactement la définition "officielle" de qui est $A/J$ quand $J$ est un idéal de $A$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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