Question sur les séries entières

Balix

J'ai une question basique, mais je n'arrive pas à mettre la main sur le résultat correspondant.

Si je prends la fonction $f(x) = \sqrt{1-x}$ , elle est développable en série entière sur $] -1 ; 1[ $, mettons

$f(x) = \sum _{n\geq 0} a_n x^n $

Le fait que $f$ est définie en 1 implique-t-il la convergence de la série $ \sum_ {n\geq 0} a_n $ ?

Utilisateur anonyme

Si tu parle de la fonction particulière $f(x)=\sqrt{1-x}$ il suffit d'étudier la convergence de sa série en 1 (Tu dois connaitre les $a_n$).

Et si tu parle d'un cas général c'est faux. Il suffit de chercher un contre exemple.

Tryss

Contre exemple usuel :

$f(x) = \frac{1}{1+x}$

Pour $x\in ]-1,1[$, $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

De plus, on a $f(1) = \frac{1}{2}$, mais on n'a pas la convergence de la série $\sum (-1)^n$

Said Fubini

par contre la réciproque est vraie :
C'est le théorème d Abel https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'Abel_(analyse)

aléa

Les $(a_n)$ étant, à l'exception du premier, tous négatifs, le résultat vient ici d'un argument de convergence monotone.

Balix

Merci pour les réponses, c'est clair maintenant.

@Alea, j'ai besoin d'un petit coup de main supplémentaire ,

je trouve $a_n=\frac{-1}{2^n}*\frac{3*5*...*(2n-3)}{n!}$

En majorant le 2eme quotient, j'arrive juste à $|a_n| \leqslant \frac{1}{4n}$

Sinon en travaillant un peu plus, je tombe sur $a_n=\frac{-1}{2^{2n-1}*n}*\binom{2n-2}{n-1}$ mais ça me donne rien je tombe plus ou moins sur $(e/2)^n $

Autrement, la suite des sommes partielles est décroissante, mais je vois pas par quoi elle serait minorée.

aléa

L'important, c'est d'avoir le signe: $1-f(x)=\sum_{n\ge 1}b_n x^n$, avec $b_n\ge 0$.

Maintenant, tu peux par exemple regarder le $\sup$ pour $N$ décrivant $\mathbb{N}$ et $x$ décrivant $[0,1]$ de $\sum_{n=1}^N b_n x^n$. On calcule le sup en $x$ des sup en $N$ ainsi que le le sup en $N$ des sup en $x$: c'est pareil et ça donne le résultat voulu.

Ou si tu préfères, tu peux appliquer le théorème de convergence monotone pour l'intégration par rapport à la mesure de comptage.

Balix

Je sèche encore... je trouve bien que les 2 sont égaux à la somme de b_n , mais je vois pas l'argument pourquoi ils sont finis.

alea a écrit:

Ou si tu préfères, tu peux appliquer le théorème de convergence monotone pour l'intégration par rapport à la mesure de comptage.

ça c'est au dela de mes connaissances actuelles.

aléa

N'oublie pas que tu connais explicitement la fonction $f$ !

Balix

Tu veux dire $\sum _{n\geq 1}b_n = 1 - f(1)= 1 $ ?

ça reviendrait à ma question de départ sur les a_n

Ah non, je crois que je viens de trouver en écrivant :
1 - f(x) est majoré par 1 , donc $\forall N,\sum _{n\geq 1}^Nb_n \leq 1 $ et là j'ai une suite croissante majorée.