Décomposition de l'identité

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant, posé en 2014 à des oraux de concours.

On considère un espace euclidien $E$ de dimension $n$ et $u_{1},\ldots,u_{p}$ des endomorphismes symétriques de $E$. On note $q_{i} : x \longmapsto \langle u_{i}(x),x \rangle$ pour tout $i \in [| 1,p |]$ et on suppose que :
$$ \forall x \in E \, , \, q_{1}(x)+\ldots+q_{p}(x)= \| x \|^{2} $$
et
$$ \mathrm{rg}(u_{1})+\ldots+\mathrm{rg}(u_{p})=n $$
L'objectif est de démontrer que :
1. $u_{1}+\ldots+u_{p}=\mathrm{Id}_{E}$.
2. $\mathrm{Im}(u_{1}) \oplus \ldots \oplus \mathrm{Im}(u_{p}) = E$

Avec 1, j'arrive à prouver 2, mais je suis incapable de prouver 1. Quelqu'un pourrait-il me proposer une indication ?

Bonne journée à tous,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Quels sont les endomorphismes $f$ symétriques de $(\R^n,<\cdot |\cdot>)$ tels que $<f(x)|x>=||x||^2$ pour tout $x \in \R^n$? (on peut diagonaliser $f$ dans une base convenable. L'hypothèse "symétrique" est indispensable).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • $$ \forall x \in E \, , \,q_{1}(x)+\ldots+q_{p}(x)= \| x \|^{2} $$

    Applique ça à $x+y$ (ou dérive par rapport à $x$, si tu préfères).
  • Deux solutions pour le prix d'une !

    Merci beaucoup...
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