Question de proba, à tout hasard ...

Bonjour,

Suite à certains de mes calculs je me pose une question sur la valeur d'une espérance semblant simple mais dont je ne connais pas de formule générale.
Les hypothèses sont les suivantes : on considère une vecteur aléatoire $X=(X_1,...,X_d)$ \textbf{gaussien} \textbf{centré} de matrice de variance-covariance connue $\Gamma$. Soit $n\leq d$ et $(i_1,...,i_n)$ un $n$-uplet choisi dans l'ensemble $\{ 1,...,d \}$ sans répétition. Existe-t'il une formule donnant, en fonction de $\Gamma$, la valeur de

$$E(X_{i_1} X_{i_2} ...X_{i_n})$$ ?

On peut supposer $n > 2$ car pour $n=1$ et $n=2$ le calcul est direct.

Par exemple, si $d=4$, il faudrait calculer $E(X_1 X_2 X_3)$, $E(X_1 X_2 X_4)$,..., et $E(X_1 X_2 X_3 X_4)$.

J'ai déjà traité "à la main" (c'est à dire sans de formule générale, pour info en utilisant les conditionnelles du vecteur qui sont aussi des gaussiennes et permettent de faire "baisser" la dimension) les cas $d=2$, $3$ et $4$, mais je n'arrive pas à exhiber de récurrence ou de fonction spéciale permettant un calcul direct.

Toute aide sera la bienvenue.

Amicalement,

Réponses

  • Déjà je pense que tu peux te ramener au cas où $n=d$ en supprimant dans $\Gamma$ les termes inutiles (les $\Gamma_{ij}$ tel que $i$ ou $j$ n'est pas dans $ \{i_1,...,i_n\}$) : ils contiennent des informations inutiles puiqu'ils correspondent à des composantes qui ne sont pas dans le produit dont tu cherche à calculer l'espérance.

    Ensuite tu peux réécrire ton vecteur sous la forme $X = \Gamma B$ où $B$ est une vecteur gaussien à composantes {\bf indépendantes} entre elles et centrées. Ton espérance ce calcule alors :

    $$
    E(\prod_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n} \Gamma_{ij} B_{j}))
    $$

    En tenant compte du fait que les $B_j$ sont centrées et indépendantes, le calcul doit pas mal se simplifier...

    @+
  • Petit point de détail pas important pour la suite : il faut poser $X=Q B$ où $\Gamma={}^{t}Q.Q$ pour avoir les $B_j$ indépendants.

    Sinon, c'est la première chose que j'ai essayé de faire, mais si on regarde dans le détail, ce produit de somme ne me semble pas s'écrire si facilement... D'autre part il fera intervenir des produits de moments de gaussiennes centrées, qui s'écrivent comme des fonctions Gamma. On aurait donc une somme de produits de fonctions Gamma ... Ou alors j'ai mal vu les choses ...
  • Une somme de produit, ça doit être ça. A mon avis il ne faut pas s'attendre à une joli formule simple des $\Gamma_{ij}$ (genre avec la trace ou autre déterminant). Mais peut être que je suis pessimiste et que quelqu'un va me prouver que j'ai tort...

    A suivre
  • J'avouerais être également pessimiste après une journée penché sur ces calculs, mais on ne sait jamais ... Peut être quelqu'un aura-t'il eu l'occasion de trouver une formule simple (dans ce cas, celà m'arrange) ou compliquée ( dans ce cas je considérerai que ce n'est pas possible et je ne passerai pas un bon bout de temps à continuer).

    Merci pour ton intérêt et ton aide.

    Amicalement,
  • De rien, c'était un plaisir de mener ce bout de reflexion avec toi.

    @+ pour de nouvelles aventures
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