Points entiers sur un cercle, sur une sphère

Cette question fait suite à celle posée par soland ici.

Pour quelles valeurs de $n\in\mathbb{N}$ existe-t-il un cercle (resp. une sphère) de $\mathbb{R}^2$ (resp. $\mathbb{R}^3$) contenant exactement $n$ points entiers ?

Réponses

  • Soit $\K$ un sous-corps de $\R$, $\displaystyle{f:t \in \K \mapsto \left (\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right )}$ est une bijection de $\K$ sur $\big \{(x,y)\in \K^2\backslash \{(-1,0)\} \:\big|\:x^2+y^2=1 \big \}$

    Soient $t_1,...,t_n\in \Q$ et soit $k \in \N$ tel que $\forall i \in \{1,...,n\}, kf(t_i) \in \Z^2$. Alors le cercle $\{(x,y) \in \R^2 |x^2+y^2=k^2\}$ contient les points de coordonnées entières $\big (kf(i)\big )_{1 \leq i \leq n}$.
    Donc on sait déjà que pour tout $n\in \N$ il existe un cercle ayant au moins $n$ points à coordonnées entières.
    Je n'ai pas d'idée pour l'égalité.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci Foys. J'étais parvenu à la même conclusion que toi en raisonnant de la façon suivante : soient deux points rationnels $A$ et $\Omega$, alors le cercle $\mathscr{C}$ de centre $\Omega$ passant par $A$ (qui possède une équation à coefficients tous rationnels) contient une infinité de points rationnels (considérer n'importe quelle droite passant par $A$ dirigée par un vecteur à coordonnées rationnelles : celle-ci recoupe $\mathscr{C}$ en un point rationnel). Si $N\in\mathbb{N}$, une homothétie de centre $O$ et de rapport entier adapté permet de transformer $\mathscr{C}$ en un cercle contenant au minimum $N$ points entiers.
  • Vers la fin du document dont je donne le lien, il est montré que
    (1) le cercle de centre $(1/2, 0)$ et de rayon $\frac{1}{2}5^{(k-1)/2}$ passe par exactement $2k$ points à coordonnées entières,
    (2) le cercle de centre $(1/3, 0)$ et de rayon $\frac{1}{3}5^k$ passe par exactement $2k-1$ points à coordonnées entières.

    http://www.math.u-psud.fr/~haglund/CapesExt92(2).pdf
  • Merci soland, c'est pile ce que je cherchais !

    Ce qui résout d'ailleurs le cas des sphères : si $\mathscr{C}$ est un cercle de $\mathbb{R}^3$, il n'est pas difficile de construire une sphère de $\mathbb{R}^3$ contenant $\mathscr{C}$ et dont les seuls points entiers sont ceux de $\mathscr{C}$.
  • La question du plus petit cercle de $\mathbb{R}^2$ contenant exactement $n$ points entiers est plus délicate.
    Pour $n\in\{ 2,3,4,6 \}$ on trouve facilement.
    Voici ma solution pour $n=5$ :53839
  • Et pour le plus petit cercle passant par exactement 7 points entiers ?
  • Oui, et 7777 ?
  • Après avoir étudié les cas où $n\in\{2,3,4,5,6\}$, le cas où $n=7$ me paraît intéressant, mais bon... Je ne vois pas vraiment ce qui justifie ton agacement ?
  • Je ne suis pas agacé; je pense simplement que l'heure est à une solution générale
    Cordialement.
  • Trouver une solution générale semble difficile.

    Je viens de tomber sur ce casse-tête (la solution est accompagnée de références intéressantes) sur le site diophante.fr.

    À en croire le site précédent, le plus petit cercle passant par exactement $7$ points entiers a pour rayon $\frac{25\sqrt{442}}{22}$ [prendre pour centre $\Omega\left(\frac{5}{22},\frac{9}{22}\right)$].53915
  • Pour relancer le fil.

    Dans $\mathbb{R}^2$ le rayon du plus petit cercle contenant exactement trois points entiers est $5/(3\sqrt{2})$, les sommets étant $(0,0)$, $(2,1)$ et $(1,2)$.
    Dans $\mathbb{R}^3$ il est $\sqrt{2/3}$, les sommets étant $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$; plus court que le premier.

    On en espère autant pour cinq points.
    Quel est le rayon de la plus petite sphère contenant exactement cinq points à coordonnées entières ?
  • P.S.
    La sphère circonscrite aux points $(\pm 1,\pm 1,0)$ et $(0,0,4)$ est-elle la plus petite ?
  • Rayon d'un cercle passant par n points à coordonnées entières

    Pour la sphère

    Edit: je m'aperçois que Soland a déjà mentionné le théorème de Schinzel. Sorry.
  • Sauf erreur, ta sphère a pour rayon $\frac94$.
    Or, il me semble que la sphère de centre $\Omega\left(\frac58;\frac58;0\right)$ et de rayon $\frac{11\sqrt2}{8}<2<\frac94$ contient aussi exactement $5$ points entiers :
    $A(-1;1,1)$, $B(1;-1;1)$, $C(1;-1;-1)$, $D(-1;1;-1)$ et $E(2;2;0)$ .
    Sans être certain qu'il s'agit de la plus petite...
  • J'ai trouvé une sphère encore plus petite : celle de centre $\Omega\left(\frac18;-\frac14;0\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{149}}{8}\approx 1,526$, qui contient exactement $5$ points entiers :
    $A(1;1;0)$, $B(1;-1;1)$, $C(1;-1;-1;)$, $D(-1;0;-1)$ et $E(-1;0;1)$.
  • Et plus petite encore, la sphère de centre $\Omega\left(\frac{3}{10};\frac{3}{10};\frac{1}{10}\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{179}}{10}\approx1,338$. Elle contient aussi exactement $5$ points entiers :
    $A(1;0;-1)$, $B(0;1;-1)$, $C(-1;0;0)$, $D(0;-1;0)$ et $E(1;1;1)$.
  • Sans vouloir être indiscret, comlent trouves-tu toutes ces sphères?
  • @Shah : en tirant sur le fil tendu par soland, c'est-à-dire en considérant un rectangle à sommets entiers (dans mon dernier exemple $ABCD$) et en cherchant une sphère passant par $A$, $B$, $C$, $D$ et un cinquième point entier $E$ bien choisi...
  • @ uvdose (tu)(tu)
  • Je propose trois définitions.

    Une $d$-sphère de centre o et de rayon $r$ est l'ensemble des points x de $\mathbb{R}^d$ solution de |ox|$=r$.

    $f(n, d)$ est le plus petit rayon d'une $d$-sphère contenant exactement $n$ points à coordonnées entières.
    $g(n, d)$ est le plus petit rayon d'une $d$-sphère contenant au moins $n$ points à coordonnées entières.

    Songeant à
    $f(3,2) = 5/\sqrt{18} \approx 1.18$
    $g(3,2) = f(4,2) = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$
    $f(3,3) = \sqrt{2/3} \approx 0.816$
    et d'autres "petits cas", on conjecture que
    (1) $g(n,d)\leq f(n,d)$
    (2) $g(n,d+1)\leq g(n,d)$

    La $d+1$-sphère de même centre et de même rayon que la $d$-sphère qui illustre $f(n,d)$ peut contenir des points "inattendus".
    Donc pas de conjecture analogue à (2) pour la fonction $f$.
  • Appeler $d$-sphère une sphère de dimension $d-1$, c'est chercher l'embrouille. ;-)

    PS : la conjecture 1) ne me paraît pas trop dure à établir. La conjecture 2) non plus. (:D

    Que ne ferais-je pour entretenir l'amitié que me porte Soland ?
  • Voici le papier de Schinzel qui prouve que ses cercles font l'affaire et voilà le papier de Kulikowski qui montre que pour tout $(m,n)\in\mathbb{N}^2$, (avec $m\geqslant3$), il existe une hypersphère de $\mathbb{R}^m$ qui contient exactement $n$ points entiers.

    Une question qui me vient immédiatement est :

    Soit $n\in\mathbb{N}$, $n\geqslant4$. Existe-t-il forcément une sphère de $\mathbb{R}^3$ qui contient exactement $n$ points entiers, en exigeant que $4$ de ces points ne soient jamais coplanaires ?
  • Déjà cela ne paraît pas si simple de trouver une sphère de $\mathbb{R}^3$ contenant $n=5$ points entiers sans que $4$ de ces points soient coplanaires ?
  • Cette semaine je participe à un stage de chant liturgique orthodoxe.
    9h par jour, trajets compris.
    A la semaine prochaine...
  • La sphère de centre $\Omega\left(-\frac{19}{14};\frac{17}{14};\frac{4}{7}\right)$ et de rayon $\frac{5\sqrt{42}}{14}$ contient exactement $5$ points entiers :
    $A(0;0;2)$, $B(-3;2;2)$, $C(-1;3;2)$, $D(-1;-1;0)$ et $E(0;3;0)$.
    Quatre de ces points ne sont jamais coplanaires.54109
  • (A) Pour toute valeur de $e$, l'hypersphère S de rayon $\sqrt{1+4e^2}$ centrée en $(\frac{1}{2}+e)\centerdot(1,1,1,1)$ contient les six points obtenus en permutant les coordonnées de $(1,1,0,0)$. Pour $0<|e|<0.5$ elle n'en contient pas d'autres, mais pour $e=0$ elle contient en plus $(0,0,0,0)$, $(1,1,1,1)$ et les points obtenus en permutant les coordonnées de $(1,0,0,0)$ et de $(1,1,1,0)$, soit 16 points. C'est une conséquence de l'existence du réseau entier (Nom?).

    (B) Une hypersphère de rayon inférieur à 1 contient un point à coordonnées entières au plus.

    Conclusion : $f(6,4)$ n'existe pas.

    P.S. Conclusion hâtive; il faut examiner d'autres ensembles de 6 points.
  • Je ne comprends pas le (B). L'hypersphère de centre $(0;\frac12;\frac12;\frac12)$ et de rayon $\frac{\sqrt3}{2}$ contient les $8$ points entiers $(0;\frac{1\pm1}{2};\frac{1\pm1}{2};\frac{1\pm1}{2})$ .
  • J'ai écrit des sottises, comme trop souvent.
    Il faudra tester d'autres sixtuples de points, comme je l'ai dit.
  • L'hypersphère de $\mathbb{R}^4$ de centre $\left(\frac12;\frac13;\frac13;\frac13\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{33}}{6}\approx0,957$ contient exactement $6$ points entiers :
    $(0;0;0;1)$, $(1;0;0;1)$, $(0;0;1;0)$, $(1;0;1;0)$, $(0;1;0;0)$ et $(1;1;0;0)$.
  • Formidable.
    Peut-on prouver qu'il n'y en a pas de plus petite ?
  • Soit $P$ l'ensemble des points de $\mathbb{R}^4$ dont les coordonnées appartiennent à $\{ 0, 1 \}$.
    Soit $S_1$ l'ensemble des hypersphères contenant exactement six points entiers.
    Soit $S_2$ le sous-ensemble de $S_1$ dont les six points entiers appartiennent à $P$.
    Les rayons des hypersphères de $S_2$ valent $\sqrt{11/12}$ ou plus.
    Il semble bien que $f(6,4)=\sqrt{11/12}$ auquel cas l'hypersphère donnée par uvdose dans son dernier fil illustre ce fait.
  • Comment fais-tu pour démontrer que le rayon d'une hypersphère de $S_2$ est supérieur ou égal à $\sqrt{\frac{11}{12}}$ ?
  • On peut se restreindre aux sphères centrées dans le tesseract $(x_1,x_2,x_3,x_4), \quad 0\leq x_i\leq 1$.
    Soit $A:(a_i)$ un point du tesseract et $N:(n_i)$ un point entier hors du tesseract.
    Une au moins des coordonnées $n_i$, mettons $n_1$, nest pas dans l'intervalle $]-1,2[$.
    Il s'ensuit que $|a_1-n_1|\geq 1$, puis que $(a_1-n_1)^2\geq 1$.
    Le calcul de la distance $|AN|$ via Pythagore donne donc une valeur $\geq 1$.

    Nous cherchons donc les hypersphères passant par six sommets du tesseract exactement et dont le rayon ne dépasse pas $\sqrt{11/12}<1$.
    La sphère d'équation
    $A(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2) +Bx_1+Cx_2+Dx_3+Ex_4+F=0$ et le point $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ sont incidents ssi le produit scalaire
    $(A,B,C,D,E,F)\cdot((a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2) ,a_1,a_2,a_3,a_4,1)=0$.
    Je procède comme suit. Pour chacun des sommets $(a_i)$ je construis le vecteur $((a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2) ,a_1,a_2,a_3,a_4,1)$. Cet ensemble de 16 vecteurs a 8008 sous-ensembles à 6 éléments. Mon ordi calcule l'orthogonal de chacun de ces sous-ensembles qui se trouve être de dimension 0, 1 ou 2.
    Si la dimension est 0 je jette le sixtuplet correspondant. Si elle est 1 je compte les sommets du tesseract que l'hypersphère correspondante contient. S'il y en a plus que six, je jette.
    Si la dimension est deux, on a affaire à un faisceau d'hypersphères à 1 paramètre. Je choisis l'hypersphère du faisceau qui a le plus petit rayon, je compte les sommets ... etc.

    Je donnerai le résultat de cette procédure dans un avenir proche.
  • Le scan informatique décrit plus haut donne le résultat suivant :

    On a $f(6,4)=\sqrt{11/12}$. L'hypersphère S donnée par uvdose réalise ce minimum.
    On obtient toutes les hypersphères réalisant le minimum en appliquant à S les isométries du réseau $\mathbb{Z}^4$.

    Soland.
  • J'ai résumé les résultats obtenus jusqu'ici.
    Commentaires et rectifications bienvenus,
    en particulier pour les ? et les [...]54197
    54199
    54201
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