Un problème à problèmes
dans Les-mathématiques
<!--latex-->Salut! C'est encore moi..; Je bloque vraiment sur cet exo, j'ai résolu cette question mais je sais pas si ma réponse est bonne car à vrai dire je ne comprends pas bien ce qu'on demande de faire dans la question...
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<BR>Chercher, dans <!-- MATH $H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2<1 \}$ --><IMG WIDTH="224" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img1.png" ALT="$ H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2<1 \}$"> les points susceptibles de réaliser les extrémums de la fonction <!-- MATH $f : (x,y) \longrightarrow x^2+y^2-x^3-y^3$ --><IMG WIDTH="220" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img2.png" ALT="$ f : (x,y) \longrightarrow x^2+y^2-x^3-y^3$"> dans <!-- MATH $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$ --><IMG WIDTH="223" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img3.png" ALT="$ D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$">. (On remarque que <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img4.png" ALT="$ H$"> est l'intérieur de <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img5.png" ALT="$ D$">).
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<BR>Moi, j'ai cherché les extrémums en tenant compte de <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img5.png" ALT="$ D$"> et j'ai trouvé les points <IMG WIDTH="39" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img6.png" ALT="$ (0,0)$"> (minimum) et <!-- MATH $(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$ --><IMG WIDTH="44" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img7.png" ALT="$ (\frac{2}{3},\frac{2}{3})$"> (maximum). Ensuite, j'ai fait un truc qui me parait bête mais bon, j'essaye pleins de trucs... J'ai remplacé <IMG WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img8.png" ALT="$ x$"> par 0 dans <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img4.png" ALT="$ H$"> et je trouve <IMG WIDTH="49" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img9.png" ALT="$ y^2<1$"> soit <!-- MATH $y\in ]-1,1[$ --><IMG WIDTH="79" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img10.png" ALT="$ y\in ]-1,1[$">. Ensuite j'ai refais la même chose mais en remplaçant <IMG WIDTH="12" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img11.png" ALT="$ y$"> par 0. puis j'ai refais le même travail avec le point maximum. A mon avis, ça ne répond pas à la question donc si vous pouviez m'aider à trouver la réponse, ce serait gentil...
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<BR>Merci d'avance..<BR>
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<BR>Chercher, dans <!-- MATH $H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2<1 \}$ --><IMG WIDTH="224" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img1.png" ALT="$ H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2<1 \}$"> les points susceptibles de réaliser les extrémums de la fonction <!-- MATH $f : (x,y) \longrightarrow x^2+y^2-x^3-y^3$ --><IMG WIDTH="220" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img2.png" ALT="$ f : (x,y) \longrightarrow x^2+y^2-x^3-y^3$"> dans <!-- MATH $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$ --><IMG WIDTH="223" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img3.png" ALT="$ D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$">. (On remarque que <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img4.png" ALT="$ H$"> est l'intérieur de <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img5.png" ALT="$ D$">).
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<BR>Moi, j'ai cherché les extrémums en tenant compte de <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img5.png" ALT="$ D$"> et j'ai trouvé les points <IMG WIDTH="39" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img6.png" ALT="$ (0,0)$"> (minimum) et <!-- MATH $(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$ --><IMG WIDTH="44" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img7.png" ALT="$ (\frac{2}{3},\frac{2}{3})$"> (maximum). Ensuite, j'ai fait un truc qui me parait bête mais bon, j'essaye pleins de trucs... J'ai remplacé <IMG WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img8.png" ALT="$ x$"> par 0 dans <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img4.png" ALT="$ H$"> et je trouve <IMG WIDTH="49" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img9.png" ALT="$ y^2<1$"> soit <!-- MATH $y\in ]-1,1[$ --><IMG WIDTH="79" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img10.png" ALT="$ y\in ]-1,1[$">. Ensuite j'ai refais la même chose mais en remplaçant <IMG WIDTH="12" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img11.png" ALT="$ y$"> par 0. puis j'ai refais le même travail avec le point maximum. A mon avis, ça ne répond pas à la question donc si vous pouviez m'aider à trouver la réponse, ce serait gentil...
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<BR>Merci d'avance..<BR>
Réponses
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Je n'ai pas trop regarder ce que tu as fait mais on te demande des points susceptibles d'être des extremums et toi tu réponds que tu as trouvé un minimum et un maximum donc en fait tu réponds à plus que la question, non ?
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Je ne comprend pas bien ce que tu as fait mais ce que je sais c'est que les points susceptibles de réaliser le maximum sont ceux de la frontière (en général plus faciles à étudier car on diminue d'une dimension) et ceux de l'intérieur qui annulent le gradient (en général en nombre fini, en tous cas ils sont isolés).
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Pitou : Ici, la frontière n'est pas dans l'ensemble.
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Certes mais Jimmy dit (je cite) "j'ai cherché les extremums en tenant compte de D" donc le sous-entendu dans mon post c'était qu'il ne devait pas s'en occuper enfin bon je n'ai pas dû être assez clair, merci pour cette précision.
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Je reformule donc : il est assez clair que $f$ est positive sur $H$ et que le seul point où elle s'annule est l'origine (elle est nulle sur la frontière $D \backslash D$ mais cela ne nous concerne pas comme le dit GERARD). On a donc un seul minimum et pour d'éventuels maxima on résout $grad \, f = 0$ (étant entendu qu'une solution sera (0,0) )... C'est mieux comme ça ;-) ?
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En fait, les points de l'interieur "susceptible d'etre des extrema de la fonction" sont sans doute les points critiques. Tu as les deux points que tu as trouves l'un minimum global, l'autre maximum local. En fait, si tu etends la fonction a la frontiere, il y a aussi un ou des maxima sur la frontiere, mais ils ne te sont pas demandes.
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au premier abord on a 4 points critiques dans le disque ouvert unité
à savoir (0,0); (2/3,2/3); (0,2/3); (2/3,0)
pour lesquels on conclut aisément (max local en (0,0) et min locaux pour les trois autres points)
Oump. -
<!--latex-->Salut! C'est encore moi..; Je bloque vraiment sur cet exo, j'ai résolu cette question mais je sais pas si ma réponse est bonne car à vrai dire je ne comprends pas bien ce qu'on demande de faire dans la question...
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<BR>Chercher, dans <!-- MATH $H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2<1 \}$ --><IMG WIDTH="224" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img1.png" ALT="$ H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2<1 \}$"> les points susceptibles de réaliser les extrémums de la fonction <!-- MATH $f : (x,y) \longrightarrow x^2+y^2-x^3-y^3$ --><IMG WIDTH="220" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img2.png" ALT="$ f : (x,y) \longrightarrow x^2+y^2-x^3-y^3$"> dans <!-- MATH $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$ --><IMG WIDTH="223" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img3.png" ALT="$ D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$">. (On remarque que <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img4.png" ALT="$ H$"> est l'intérieur de <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img5.png" ALT="$ D$">).
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<BR>Moi, j'ai cherché les extrémums en tenant compte de <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img5.png" ALT="$ D$"> et j'ai trouvé les points <IMG WIDTH="39" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img6.png" ALT="$ (0,0)$"> (minimum) et <!-- MATH $(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$ --><IMG WIDTH="44" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img7.png" ALT="$ (\frac{2}{3},\frac{2}{3})$"> (maximum). Ensuite, j'ai fait un truc qui me parait bête mais bon, j'essaye pleins de trucs... J'ai remplacé <IMG WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img8.png" ALT="$ x$"> par 0 dans <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img4.png" ALT="$ H$"> et je trouve <IMG WIDTH="49" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img9.png" ALT="$ y^2<1$"> soit <!-- MATH $y\in ]-1,1[$ --><IMG WIDTH="79" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img10.png" ALT="$ y\in ]-1,1[$">. Ensuite j'ai refais la même chose mais en remplaçant <IMG WIDTH="12" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/01/10/47207/cv/img11.png" ALT="$ y$"> par 0. puis j'ai refais le même travail avec le point maximum. A mon avis, ça ne répond pas à la question donc si vous pouviez m'aider à trouver la réponse, ce serait gentil...
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<BR>Merci d'avance..<BR>
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