Cauchy-Lipschitz et contre-exemples

YB0

Bonjour,

Je cherche des contre-exemples aux théorèmes d'existence et d'unicité des solutions d'équations différentielles (Cauchy-Lipschitz ...) montrant qu'ils deviennent faux lorsque l'on affaiblit les hypothèses.






L'exemple suivant est tiré de Bourbaki mais je n'arrive pas à montrer l'inexistence.


On considère $E = C_0(\N)$. C'est l'espace des suites $(x_n) \in
\R^\N$ de limite nulle. C'est un espace de Banach pour la norme
$\|-\|_\infty$.

On définit une application continue $f:E \to E$ par
$$
f(x) = y \qquad y_n = \sqrt{|x_n|}+ \frac{1}{n+1}.
$$

Montrer qu'il n'y a pas de solution de
$$
x' = f(x)
$$
vérifiant $x(0) = 0$.
Ici $x: ]-a,a[ \to E$ est une fonction $C^1$ définie au voisinage de $0\in \R$.


Merci d'avance.

YB0

Pas de réponse donc je remonte le post.

ook

Bonjour,
la réponse a déja été donnée sur le site pendant les vacances de noel.

ook

désolé je n'avais pas remarqué que l'ancien message venait de toi.

Said6

Bonjour,

Je crois qu'ilya pas eu de réponse

Said

YB0

Avis aux amateurs

LIAUTARD1

Bonjour

On considére les deux équations
x'= racine de /x/, / : pour valeur absolue
x'=racine de /x/ +1/(n+1)

La fonction f: t envoyé sur t*t/4,vérife la première sur (0,a),a>0

Soit gn une solution de la seconde avec g(0)=0

vérifier que sur un (0,a) f<=gn,et par suite sur tout intervalle (0,b) ou elles sont simultanement définies f<=gn

donc le gn(t) pout t dans (0,b)ne peuvent pas tendre vers 0.

Indication vérifier que gn'(t)-f'(t) est >0 sur un (0,a),puis onconsidère la borne supérieure des a tels que f<=gn sur (o,a)

Cordialement

YB0

Merci bcp, j'avais perdu espoir d'avoir une réponse.