Une intégrale à calculer

Bonjour,

j'ai essayé de faire un exercice dans lequel on nous demande de déterminer une relation entre $I_n$ et $I_{n+1}$ où
$$\forall n\in\N,\quad \displaystyle{I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(nt)\cot\left(\dfrac{t}{2}\right) dt}.$$
J'ai pas mal cherché, mais je ne vois pas comment obtenir une telle relation.
Auriez-vous des suggestions ? Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour !
    Il me semble qu'en calculant $I_{n+1}-I_n$ tu as une solution simple. Juste connaître ses formules de trigonométrie.
  • Bien vu!

    Comment as-tu pensé à calculer $I_{n+1}-I_n$?
    Quand on part avec cette idée, tout se simplifie très bien avec quelques formules de trigonométries comme tu le dis, mais je n'aurai pas pensé à calculer cette différence.

    Merci.
  • C'est en général le premier réflexe à avoir quand on doit calculer une expression de ce genre, ici on a sin(n+1)t=sin(nt)cos(t)+sin(t)cos(nt), et le reste s'ensuit...
  • Justement, j'ai commencé comme tu le dis zorg69, mais en utilisant la formule d'addition, je n'ai pas abouti.

    Alors qu'en faisant la différence comme le suggère Rakam, cela vient facilement.
  • J'ai seulement calculé In+1-In et j'y arrive!
  • bonjour

    tu peux déterminer ton intégrale I(n) directement sans passer par la relation de récurrence et en utilisant la relation trigonométrique :

    $\frac{sin(nt)}{tan\frac{t}{2}} = 1 + 2cost + 2cos(2t) + .........+ 2cos(n-1)t + cos(nt)$

    tu intègres de 0 à $\frac{\pi}{2}$ soit

    $t + 2sint + \frac{2}{2}sin2t + ......+ \frac{2}{n-1}sin(n-1)t + \frac{1}{n}sin(nt)$ à calculer de 0 à $\frac{\pi}{2}$ et tu trouves :

    $I_n = \frac{\pi}{2} + 2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{7} + ..........+ \frac{2}{n-1}sin(n-1)\frac{\pi}{2} + \frac{1}{n}sin(n\frac{\pi}{2})$

    en distinguant n = 4p, 4p + 1, 4p + 2 et 4p + 3 tu peux simplifier l'écriture (les sinus disparaissent)

    cordialement
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