Caractériser la bouteille de Klein pleine

Le Lui ou un Autre

Bonjour,

Je cherche à démontrer ceci :
«$V$ est une 3-variété compacte à bord, dont le bord est une bouteille de Klein $Kl^2$ et $\pi_1 (V) = \mathbb{Z} \implies V$ est difféomorphe à la bouteille de Klein pleine $Kl^3$».

Mon idée était de prendre 2 variétés vérifiant ces propriétés, les recoller selon leur bord $Kl^2$ pour obtenir une variété fermée $M^3$ vérifiant $\pi_1(M^3)= \mathbb{Z}$ et non-orientable.
Ensuite, je montre que $M^3$ est homéomorphe à une chirurgie non-orientable de $S^3$ : $M^3=(S^3 \backslash (S^0 \times D^3)) \cup (S^1 \times D^2)$ (la décomposition "Heegaard Splitting" permet de montrer que c'est également homéomorphe au fibré non-orientable de fibre $S^2$ sur $S^1$ mais je ne suis pas sûr que ça m'avance plus).
Avec la conjecture de Poincaré, je peux transformer ces homéomorphismes en difféo et j'obtiens donc :
$V \cup V \simeq Kl^3 \cup Kl^3$

Est-ce que je peux déduire le résultat de ça? Je ne connais pas de théorème me permettant de le faire.

Alternativement, si vous connaissez un argument pour dire qu'il existe une seule structure différentiable sur chaque 3-variété topologique, à partir de la conjecture de Poincaré, ça marcherait aussi.

Je suis nouveau dans ce domaine, donc il est possible que j'ai écrit une grosse bêtise, que ma question soit triviale ou pire, que je ne sois pas assez clair. Excusez-moi si c'est le cas (:D

Shah d'Ock

Le "Lui", c'est Samok, ou un autre?

GaBuZoMeu

Comment remplir une bouteille de Klein ?

Shah d'Ock

Houalà.

GaBuZoMeu

Blague à part : Théorème de Moise (sans conjecture de Poincaré).

Le Lui ou un Autre

Une bouteille de Klein pleine, c'est essentiellement la version non-orientable du tore plein (je réponds avec candeur ; j'ai comme l'impression que la question n'était là que pour donner l'occasion de caser un shadok ^^").

Sinon, je ne suis pas Samok, donc je suis sans doute un autre. Si je savais comment faire, je pourrais raccourcir mon pseudo, tiens !


Mais le théorème de Moise semble beaucoup plus accessible que la conjecture de Poincaré
Il semblerait que je me sois emmêlé les pinceaux. Ce ne serait pas le passage "bouteille de Klein topologique => bouteille de Klein différentielle" qui serait compliqué, mais le passage "bouteille de Klein homotopique => bouteille de Klein topologique" ?
Je reviens demain, quand j'aurai les idées plus claires là-dessus. Merci GaBuZoMeu.