Formule trigonométrique

Reï-Vi-Lhô

Bonjour à tous,

Savez-vous s'il existe une démonstration simple (disons au niveau 3e) de la formule trigonométrique bien connue : $cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)$ ?
Si oui, comment peut-on procéder ?

Merci d'avance !

Amicalement.
Olivier.

Arnaud20

En 3e quelle est la définition du cosinus ?

Reï-Vi-Lhô

En 3e, on ne parle que du cosinus d'un angle aigu. On le définit comme étant le rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle par la longueur de l'hypoténuse. (au passage, cette définition n'est licite que si l'on a au prélable montré que ce rapport ne dépend que de l'angle, ce que l'on fait par le théorème de Thalès).

Arnaud20

Donc on ne peut espérer le démontrer que pour 2x soit <90 degré donc x <45 degré ?

Reï-Vi-Lhô

Oui, en effet ! Ma requête peut paraître bizarre, mais j'aimerais bien préparer un exercice pour mes élèves de 3e, où l'on démontre certaines formules trigonométriques avec les moyens du bord, quitte, donc, à montrer des versions moins fortes.

Merci de l'intérêt que tu portes à la question.

Amicalement.
Olivier.

Yalcin

Al Kashi ?

jctout

non al kashi en 1èS

Yalcin

mais c'est montrable par un élève de 4ème, si si je dis la vérité

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

Merci pour vos réponses !

J'ai trouvé une solution... pas très simple, il faut bien le dire !

D'abord, on peut montrer que si $x$ désigne un angle compris entre $0$ et $45°$, alors : $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$.
Pour cela, on considère la figure formée d'un triangle $ABC$ rectangle en $C$ et du symétrique de celui-ci par rapport à la droite $(AC)$. On note $x$ l'angle $CÂB$. Donc, $DÂB=2x$. Il est facile de montrer que si l'on note $E$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AD)$, alors l'angle $DÊB$ n'est autre que $x$.
On a alors : $sin(2x)=\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{AB}cos(x)=2\frac{BC}{AB}cos(x)=
2sin(x).cos(x)$.

Le reste est facile en utilisant les identités remarquables et la formule $cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1$, tout cela étant au programme de 3e.

Amicalement.
Olivier.