soucis technique dans démo sur Z[i]

emmanuel

Bonjour à tous,
Je cherche à redémontrer le résultat: en notant Z[ i] l\'anneau des entiers de Gauss et p un nombre entier premier, les 2 anneaux quotients
$Z[ i]/ Z[X]/$ sont isomorphes.

pour cela, je considère:
f:Z[X] -> Z[ i]
s:Z[ i] -> Z[ i]/

et j\'aimerais montrer que ker(sof)=.
Plus précisément, ayant déjà montre que ker(f)=, j'aimerais maintenant montrer que ker(sof)=f^-1(ker(s)) + ker(f), ce que je ne parviens pas à faire.
Mon problème me semble basique et, à 3 mois des écrits de l\'agreg, ça ne me rassure pas vraiment!

Merci aux éclaireurs,
Emmanuel

YB0

Bonjour.

Tu devrais essayer de démontrer la propriété générale:

Soient $A$ un anneau $I,J$ deux idéaux. Alors,
$$
(A/I)/(J/I) = A/(I+J).
$$

Puisque $I \subset I+J$, on a un morphisme bien défini
$$
A/I \to A/(I+J)
$$
puis un morphisme
$$
(A/I)/(J/I) \to A/(I+J).
$$

Réciproquement, si $a = x + y \in I+J$, $x\in I$, $y\in J$, le morphisme
$$
A \to A/I
$$
lui associe
$$
a \mod I = y \mod I
$$
qui appartient à $J/I$ ainsi son image dans $(A/I)/(J/I)$ est nulle. On a donc un morphisme
$$
A/(I+J) \to (A/I)/(J/I)
$$
qui est l'inverse cherché.

marwan lahoud0

il faut y aller "à pied" sans réfléchir :

si $x\in ker(sof)$ alors $s(f(x))=0$ ce qui donne $f(x)\in ker(s)$ d'où $x\in f^{-1}(ker(s))$, qui est un ensemble qui contient $ker(f)$

emmanuel

Merci pour vos réponses.

Marwan, quand j'y vais à pied comme tu le propose, je trouve:
$ker(sof)$=$f^{-1}(ker(s))$ et non $ker(sof)$=$f^{-1}(ker(s))$+$ker(f)$.
Je ne trouve pas mon erreur...

emmanuel

Je rencontre exactement le même problème pour montrer que Z[X]/ est isomorphe à Fp[X]/ où Fp=Z/pZ.
En définissant les applications:
g:Z[X]->Fp[X]
h:Fp[X]->Fp[X]/
je veux là encore montrer que:
$ker(hog)$=$g^{-1}(ker(h))$+$ker(g)$...

michel13

Emmanuel, il n'y a pas d'erreur( ou qu'apparemment ...) puisque ces deux ensembles sont égaux (car ker(f) est inclus dans l'image réciproque par f de ker (s) , comme te l'a indiqué Marwan !) !

emmanuel

Michel et Marwan,

Certes, (B inclus dans A) implique (A=A+B)

Mais alors, ce qui me fait perdre les pédales c'est que en utilisant le théorème d'isomorphisme, je peux montrer:

- en prenant $ker(sof)$=$f^{-1}(ker(s))$ que Z[X]/pZ[X] est isomorphe à Z/pZ
- en prenant $ker(sof)$=$f^{-1}(ker(s))$+$ker(f)$ que Z[X]/ est isomorphe à Z/pZ (qui est le résultat que je recherche)

Pouvez-vous me dire si ces 2 résultats sont exacts? Merci d'avance (de me sortir de ce brouillard!)

geo0

YB il faut que $I\subset J$ pour que ca marche

emmanuel

Je reviens à l'assaut:

a) J'arrive à montrer que Z isomorphe à Z[X]/<X²+1>:
f: Z[X] -> Z
P

---

> P(i)
P appartient à ker(f) ssi P(i)=o ssi (X-i) divise P dans C[X] ssi (X²+1) divise P dans Z[X] (puisque (X-i) divise P et P dans Z[X] implique (X-conjugué(i)) divise P) ssi P appartient à <X²+1> et le th d'isomorphisme conclut.

b) J'arrive à montrer que Fp[X]/<X²+1> isomorphe à Z[X]/<p, X²+1>:
g : Z[X] -> Fp[X] -> Fp[X]/<X²+1>

P appartient à ker(g) ssi classe de P dans Fp appartient à <X²+1> ssi P appartient à { pZ[X] + (X²+1)Z[X] } = <p,X²+1> et le th d'isomorphisme conclut.

c) Je n'arrive pas montrer que Z/pZ isomorphe à Z[X]/<p,X²+1> avec p entier premier :
h : Z[X] -> Z -> Z/pZ

P appartient à ker(h) ssi P(i) appartient pZ et là je bloque… si quelqu'un peut m'aider...

emmanuel

<!--latex-->Je reviens à l'assaut:
<BR>
<BR>a) J'arrive à montrer que Z isomorphe à Z[X]/<X²+1>:
<BR>f: Z[X] -> Z
<BR>P ---> P(i)
<BR>P appartient à ker(f) ssi P(i)=o ssi (X-i) divise P dans C[X] ssi (X²+1) divise P dans Z[X] (puisque (X-i) divise P et P dans Z[X] implique (X-conjugué(i)) divise P) ssi P appartient à <X²+1> et le th d'isomorphisme conclut.
<BR>
<BR>b) J'arrive à montrer que Fp[X]/<X²+1> isomorphe à Z[X]/<p, X²+1>:
<BR>g : Z[X] -> Fp[X] -> Fp[X]/<X²+1>
<BR>
<BR>P appartient à ker(g) ssi classe de P dans Fp appartient à <X²+1> ssi P appartient à pZ[X] + (X²+1)Z[X] = <p,X²+1> et le th d'isomorphisme conclut.
<BR>
<BR>c) Je n'arrive pas montrer que Z/pZ isomorphe à Z[X]/<p,X²+1> avec p entier premier :
<BR>h : Z[X] -> Z -> Z/pZ
<BR>
<BR>P appartient à ker(h) ssi P(i) appartient pZ et là je bloque…<BR>

emmanuel

dernière tentative au cas où il y aurait de bonnes âmes insomniaques, sinon promis juré je ne relancerai plus ce post!

Alain Debreil

Bonsoir Emmanuel

Tu écris "P appartient à ker(h) ssi P(i) appartient pZ"
mais comme dans b) $P(i)$ est la classe de $P$ modulo $(X^2+1)$ et
$P \in (X^2+1)\Z[X] + p\Z[X] = $.

Alain

emmanuel

ne pas y voir de la mauvaise volonté de ma part (pour tout vous dire je suis un ingénieur qui découvre l'algèbre fondamentale - c'est dire...), mais la conclusion ne me saute pas aux yeux, vous serait-il possible de détailler en quelques étapes.

Grand merci d'avance,
Emmanuel

Alain Debreil

Bonsoir Emmanuel

Ou alors je passe à coté de quelque chose, mais la démo que tu acceptes en b), tu la refuses en c) ?

Essayons de rentrer dans le détail:
$P(i) \in p\Z$ avec $P \in \Z(X)$.
L'idéal $p\Z[X]$ satisfait cette condition.

Recherchons maintenant les polynômes $Q \in \Z[X]$ tels que $Q(i)=P(i)$.
Ecrivons la division euclidienne de $Q$ par $(X^2+1)$
$Q(X) = (X^2+1) S(X) + R(X)$, c'est à dire $Q(i) = R(i) = P(i)$.
Ou encore $Q(X) - P(X) \in (X^2+1)\Z[X]$.

L'ensemble des $P \in \Z[X]$ tels que $P(i) \in \Z$ est donc l'idéal $p\Z[X]$ auquel on ajoute un polynôme de $(X^2+1)\Z[X]$.

Cela donne $p\Z[X] + (X^2+1)\Z[X]$

Est-ce plus clair ?

Alain

emmanuel

Merci beaucoup Alain,
Le coup de la division euclidienne me plait beaucoup et me confirme que ma démo du b) relevait plutôt du tatonnement.
Très bonne journée,
Emmanuel

JC5

Pourquoi ne pas le faire directement et sans passer par les noyaux?
Je pense qu'a la main, ca doit se faire en 3 lignes... non?