Série

esamb

Bonjour
je cherche à prouver la convergence de la série suivante ($a$ réel) :
$${\displaystyle\sum_{n\geq1}}\frac{n^{2}}{\left(1-a^2 n^{2}\right)^{2}}$$
Voici comment je procède :
Il existe $N(a)\in \mathbb{N}$ tel que $\forall n\geq N(a)$ :
$$a^2 \geq \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^{1-\delta/2}},\quad 0<1-\delta/2<1/2\;(1<\delta<2),$$
par conséquent
$$(a^2n^2-1)^2\geq n^{\delta+2}, \quad 1<\delta<2, \quad \forall n\geq N(a) .$$
Ainsi, il existe une constante $C(a)$ telle que :
$${\displaystyle\sum_{n\geq1}}\frac{n^{2}}{\left(1-a^2 n^{2}\right)^{2}}={\displaystyle\sum_{n<N(a)}}\frac{n^{2}}{\left(1-a^2 n^{2}\right)^{2}}+{\displaystyle\sum_{n\geq N(a)}}\frac{n^{2}}{\left(1-a^2 n^{2}\right)^{2}}\leq c(a)+{\displaystyle\sum_{n\geq1}}\frac{1}{n^{\delta}}\leq C(a).$$
Est-ce un raisonnement qui vous semble correct !?
Merci d'avance.

un_kiwi

Bonsoir, le terme général de ta série est positif. Ensuite :
- que se passe-t-il si $a=0$ ?
- Si $a\ne 0$, trouve un équivalent du terme général de ta série pour en déduire sa nature.

Dom

Il faut aussi retirer les $a$ qui sont des inverses d'entiers non nuls.
Pour le raisonnement proposé :
Quantifier le $\delta$, et le justifier davantage, le lecteur n'a pas à chercher pourquoi c'est vrai.

Remarque : @un_kiwi propose "la" méthode la plus efficace des équivalents (Ne pas oublier de dire que le signe est constant à partir d'un certain rang).

esamb

Merci à vous !

Cordialement.