Degré de transcendance

jaccuzzi

bonjour,

Alors suite a quelques discussions sur ce forum j'avais cru progresser mais non en fait! Voici mon problème. Je considère 10 polynômes $p_1,...,p_{10}$ définis sur 9 variables. J'avais cru comprendre que ces polynômes étaient forcement dépendant algébriquement. Mais Sage me dit le contraire....enfin il renvoie 0 sur le code suivant...est-ce normal? Merci a vous!

var('X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3');

P1=X1+Y1+Z1
P2=X2+Y2+Z2
P3=X3+Y3+Z3
P4=X1*Y1+Y1*Z1+X1*Z1
P5=X2*Y2+Y2*Z2+X2*Z2
P6=X3*Y3+Y3*Z3+X3*Z3
P7=X1*X2+Y1*Y2+Z1*Z2
P8=X1*X3+Y1*Y3+Z1*Z3
P9=X2*X3+Y2*Y3+Z2*Z3
P10=X1*Y1*Z1

A.<X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10>=PolynomialRing(QQ,19)
I=A.ideal(p1-P1,p2-P2,p3-P3,p4-P4,p5-P5,p6-P6,p7-P7,p8-P8,p9-p9,p10-P10)
I.elimination_ideal([X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3]).gens()[0]

GaBuZoMeu

Il vaut mieux ne pas faire de faute de frappe et éviter de taper p9 à la place de P9.

Tu obtiendras alors une belle relation algébrique entre p1,...,p10

christophe c

J'avais cru comprendre que ces polynômes étaient forcement dépendant

J'ai posé justement une question similaire récemment. Il existe un polynôme (facile à trouver à partir de la célèbre injection polynomiale de $\N^2$ dans $\N$) de deux variables envoyant injectivement $\Z^2$ dans $\Z$. Bon entre linéaire et algébrique, il y a des différences, mais je te le signale en passant.

GaBuZoMeu

Quel rapport avec la choucroute, Christophe ?

christophe c

Bin j'ai pensé qu'il y en aurait peut-être un tout petit? :-S Mais en fait, je crois que j'ai mal suivi (ta réponse sur p9...) la réponse: jaccuzi avait l'air de dire que "pas forcément de dépendance algébrique", mais à la réflexiion ce n'est peut-être pas ce qui a été dit, et même plutôt le contraire (en relisant): "il y a une dépendance".

GaBuZoMeu

C'est d'une clarté limpide ! :-D

christophe c

C'est général, pour tout anneau commutatif, $n+1$ polynômes à $n$ variables sont toujours algébriquement dépendant?

GaBuZoMeu

On est ici dans un anneau des polynômes sur $\Q$ (PolynomialRing(QQ,19)).

christophe c

De mon téléphone : merci j'ouvrirai un fil pour ma question un peu HS.