Probabilité conditionnelle

Bonjour,

l'exercice suivant est issue du concours CCP 2015 filière TPC. J'ai un problème avec l'exercice de probabilité.

On suppose que Séverine se trouve dans la salle de bal (évènement $E$) avec une probabilité de $P(E)=0.8$.
1) Les informations de Léa sont fiable à $70\%$. Elle dit que Séverine est dans la salle de bal (évènement $E_1$). Quelle est la probabilité que Séverine s'y trouve vraiment?
2) Les informations de Benoît sont fiable à $90\%$ et indépendante de celle de Léa. Léa dit que Séverine est dans la salle de bal et Benoît dit le contraire (évènement $\bar E_2$). Quelle est la probabilité que Séverine s'y trouve vraiment?

Pour la question 1), je n'ai pas de soucis. Voici, toutes les probabilités de l'exercice
$$P(E_1)=0.62,\quad P(E_1\mid E)=0.7,\quad P(E_1\mid\bar E)=0.3,\quad P(E\mid E_1)=\dfrac{28}{31}.$$

Pour la question 2), j'ai l'impression qu'on ne peut pas répondre (ce qui voudrait dire que l'énoncé est faux, ce qui me parait peu probable étant donné qu'il s'agit d'un énoncé de concours). On connait les liens entre $E$, $E_1$ et $E_2$ deux à deux, mais il faudrait le lien mutuel entre les trois pour répondre à cette question.

Est-ce que je me trompe? Avez-vous des idées sur le sujet?

Merci beaucoup pour votre aide.

Réponses

  • Les informations de Benoît et de Léa sont indépendantes, ce qui veut dire que
    $$P(E_1 \cap E_2 / E) = P(E_1 / E) P( E_2 / E) $$

    Cela devrait permettre de faire les calculs, non ?
  • Il me semble que l'indépendance n'a aucune raison d'être conservée quand on conditionne... Tout le problème est là.
  • Pourquoi dis-tu "conservée" ? $E_1$ et $E_2$ ne sont clairement pas indépendants, ils sont fortement dépendants du fait que Séverine soit ou non dans la salle de bal.

    Ce sont les informations qui sont indépendantes, c'est-à-dire ce que disent Benoît et Léa étant donné un événement.
  • Ok merci, j'ai compris ma faute.

    J'ai mal lu l'énoncé, je me suis emmêle les pinceaux et mal traduit l'hypothèse d'indépendance.
    Tu as raison, on obtient le résultat sans soucis avec ta relation.

    Merci beaucoup.
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